2022학년도 9월 모의평가 수학 확률과통계 23번~30번 해설
혹시 본인이 못 푼 문제인데
어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면
이 글을 보지 말것.
남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.
풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나
다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면
매우 환영이다.
원하시는 문제로 바로 가고싶으면
N번 문제로 가고싶다면
N )
이 형태로 검색하시면 됩니다.
예를들어 24번으로 가고싶으면 24 )
쉬운건 빠르게 넘어가면서
비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.
23 )
확률변수 X가 이항분포를 따른다.
따라서 E(X) = 60×1/4 = 15
따라서 답은 3번
24 )
우선 확률이니까
전체 경우의 수부터 구해보자.
1, 3, 5, 7중 임의로 한개
2, 4, 6, 8중 임의로 한개
선택하니까 전체 경우의 수는 4×4 = 16 이다.
그리고 a×b > 31 이려면
우선 a가 1, 3 인건 불가능하다.
b의 최댓값이 8인데
3×8 = 24로 아무리 b가 커도
a가 3 이하이면 31보다 커질수 없다.
따라서 a는 5거나 7이어야한다.
a가 5인 경우,
b가 8이면 a×b = 40 > 31
이기 때문에 경우의수 1
a가 6인 경우,
b가 6 이상이면 6×6 = 36 > 31
이기 때문에 경우의수 2
따라서 a×b>31 인 경우의 수는 3이고
전체 경우의수가 16이니까
확률은 3/16, 따라서 답은 3번
25 )
우선 항이 두개인 식의 거듭제곱을 전개하라 했으니
이항정리 문제임을 알수 있고
1/x² 의 계수와 x의 계수가 같다고 했으니
1/x² 의 계수와 x의 계수를 각각 구한다음
이 두개가 같다고 놓으면 a값을 구할수 있을것이다.
따라서 답은 2번
26 )
우선 여기서 조건부확률 문제임을 알 수 있다.
꺼낸 2개의 공이 모두 흰색인 사건을 Y라 하고,
주사위가 5 이상의 눈이 나오는 사건을 X라 하면
Y가 일어났을 때, X도 같이 일어날 확률
즉 P(X|Y) 를 구하라는것
- 첫번째 풀이 : 공식풀이 -
우선 P(Y)부터 구해보자.
우선 주사위에서 5 이상의 눈이 나오는 경우와
4 이하의 눈이 나오는 경우는 다르게 취급해야한다.
A와 B에 들어있는 흰공의 비율이 다르기때문이다.
A는 6개중 2개가 흰공이지만
B는 6개중 3개가 흰공이다.
- 주사위에서 5 이상의 눈이 나오는 경우 -
이건 X와 Y가 둘다 일어나는거니까
X∩Y의 경우의수를 구하는거다.
주사위에서 5 이상의 눈이 나오는 경우의 수 = 2
그리고 A주머니에서 흰 공 2개를 꺼내는 경우의 수 = 1
따라서 2×1 = 2
- 주사위에서 4 이하의 눈이 나오는 경우 -
이건 X가 일어나지 않으면서 Y가 일어나는거니까
(X의여사건)∩Y 의 경우의 수를 구하는거다.
주사위에서 4 이하의 눈이 나오는 경우의수 = 4
그리고 B주머니에서 흰 공 2개를 꺼내는 경우의 수 = ₃C₂ = 3
따라서 4×3 = 12
X∩Y + (X의여사건)∩Y = Y 이므로
사건 Y의 경우의 수는 2+12 = 14이며,
사건 X∩Y의 경우의 수는 2이다.
따라서 P(X|Y) = P(X∩Y) / P(Y) = 1/7
따라서 답은 1번
27 )
통계문제다. 점수자판기가 나왔다.
표본평균이 등장했고
표준정규분포표까지 등장했으니
표본평균과 표준화까지 전부 알고있어야 풀수있다.
우선 이 문장에서
표본평균의 평균이 각각 220, 240 임을 알수 있고
여기서 215 < 220(평균) 이니까
정규분포의 그래프에서 구하고자 하는 넓이는
빨간색으로 칠한 부분이다.
따라서
이 식의 의미는
0.3413은 갑자기 왜 구했냐면
표준정규분포표에 0.3413이 등장하기 때문이다.
따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
근데 220이 모평균이므로
220을 표준화하면 Z=0 일것이다.
따라서 215를 표준화하면 Z=-1 이어야한다.
215 < 220 이므로 Z=1일수는 없다.
따라서 표본평균의 표준편차가 5이다.
확률변수 X의 모표준편차를 σ 라 하면
표본평균의 표준편차는 σ / √n 이다.
따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
다음으로
이걸 구해볼거다.
이 조건에 의해 Y의 모표준편차는 1.5σ 이며
이 문장에 의해 Y의 표본평균의 표준편차는
1.5σ / √(9n) = σ / 2√n = 2.5 이다.
표준정규분포표를 이용해야 하니까
235를 표준화해줄 필요가 있다.
평균이 240이고 표준편차가 2.5니까
235는 표준화하면 Z=-2 이다.
따라서 구하고자 하는건
이거고
표준정규분포표를 이용해 이것의 값을 구하면
따라서 답은 5번
28 )
(가)부터 풀어볼것이다.
만약 f(3)=1 이라 해보자.
그러면 이 조건을 만족하기 위해 f(4)=4 여야한다.
f(3)=2 라 하면 f(4)=3
f(3)=3이라 하면 f(4)=2
f(3)=4라 하면 f(4)=1 또는 f(4)=6
f(3)=5라 하면 f(4)=5
f(3)=6이라 하면 f(4)=4
따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
f(3)의 값이 정해지면
f(4)는 (가)조건에 의해 거의 정해진다.
왜 '거의' 정해진다 했냐면
f(3)=4라 하면 f(4)=1 또는 f(4)=6 이기 때문이다. 즉 예외가 있다.
다음으로 (나)조건을 풀어볼것이다.
일단 여기서 바로 알수 있는게
집합 X에 1보다 작은수는 존재하지 않기때문에
f(3)=1 일수는 없다.
다음으로 (다)조건을 풀어볼것이다.
여기서도 (나)에서와 같은 논리로
f(4)=6 일수는 없다.
아까 (가)조건 풀때
f(3)=4라 하면 f(4)=1 또는 f(4)=6
이라고 했는데
f(4)=6일수는 없다 했으니
f(3)=4라 하면 f(4)=1 이다.
따라서 (가)조건과 합하면
다음과 같은 결론을 얻는다.
f(3)의 값이 정해지면 f(4)의 값은 알아서 정해진다.
즉 f(3)의 값만 정해주면 f(4)는 정해줄 필요없이 알아서 자리를 찾아간다.
이제 (나)조건과도 합해서 최종적인 결과를 낼 차례이다.
f(3)의 값을 기준으로 경우를 나눌것이다.
f(3)만 정해주면 f(4)까지 자동으로 정해지기 때문에
풀이가 편리해진다.
- f(3)=2 인 경우 -
우선 (가)조건에 의해 f(4)=3 이다.
그리고 (나)조건에 의해 f(1)=f(2)=1 이다.
그리고 (다)조건에 의해
f(5)>3, f(6)>3 이다.
f(1)부터 f(4)까지의 값이 다 정해졌기때문에
f(5)>3, f(6)>3 을 만족하기만 하면 된다.
따라서 이때의 경우의 수는
f(5)가 될수있는게 4, 5, 6 으로 3개
f(6)도 될수있는데 4, 5, 6 으로 3개
따라서 경우의수는 3×3 = 9
- f(3)=3인 경우 -
우선 (가)조건에 의해 f(4)=2 이다.
그리고 (나)조건에 의해
f(1)<3, f(2)<3 이다.
그리고 (다)조건에 의해
f(5)>2, f(6)>2 이다.
f(3)과 f(4)의 값은 이미 정해졌기때문에
나머지 값만 조건 만족하게 정해주면 된다.
f(1)이 될수있는거 2개
f(2)가 될수있는거 2개
f(5)가 될수있는거 4개
f(6)이 될수있는거 4개
따라서 경우의수는 2×2×4×4 = 64
- f(3)=4인 경우 -
우선 (가)조건과 (다)조건에 의해 f(4)=1 이다.
그리고 (나)조건에 의해
f(1)<4, f(2)<4 이다.
그리고 (다)조건에 의해
f(5)>1, f(6)>1 이다.
f(1)이 될수있는거 3개
f(2)가 될수있는거 3개
f(5)가 될수있는거 5개
f(6)이 될수있는거 5개
따라서 경우의수는 3×3×5×5 = 225
- f(3)=5인 경우 -
(가)조건에 의해 f(4)=5 이다.
그리고 (나)조건에 의해
f(1)<5, f(2)<5 이다.
그리고 (다)조건에 의해
f(5)=f(6)=6 이다.
f(1)과 f(2)의 값만 정해주면 된다.
f(1)이 될수있는거 4개
f(2)가 될수있는거 4개
따라서 경우의수는 4×4 = 16
- f(3)=6인 경우 -
(가)조건에 의해 f(4)=4 이다.
그리고 (나)조건에 의해
f(1)<6, f(2)<6 이다.
그리고 (다)조건에 의해
f(5)>4, f(6)>4 이다.
f(1)이 될수있는거 5개
f(2)가 될수있는거 5개
f(5)가 될수있는거 2개
f(6)이 될수있는거 2개
따라서 경우의수는 5×5×2×2 = 100
따라서 마무리로 전부 더하면
9+64+225+16+100 = 414
따라서 답은 4번
29 )
통계다, 또 점수자판기다.
이산확률변수 X,Y가 등장했고 이산확률분포표가 등장했다.
우선 10×V(Y) 의 값을 지금 구할수는 없다.
a, b, c의 값을 모르기 때문이다.
이런 경우엔 두가지 풀이이 있다.
1. a, b, c에 대해 나타낸다음 정리해서
문제에서 준 여러 단서와 엮어서 처리한다.
2. a, b, c의 값을 다 구해서 처리한다.
a, b, c 미지수가 3개니까
a, b, c로 이루어진 관계식을 3개 만들어야한다.
우선 어떤 방법이 쉬울지는 해봐야 안다.
우선 여기서 바로 알수 있는게
확률분포표의 성질중 하나
확률을 전부 더하면 1이다.
따라서 a+b+c+b+a = 1 이다.
그리고 문제에서 V(X)의 값을 줬다.
따라서 a, b, c를 가지고 관계식을 하나 더 쓸수 있다.
32a + 8b = 31/5 라는 관계식을 추가로 얻었다.
이번엔 V(Y)를 a, b, c에 대해 나타내볼것이다.
아름답게도 전에 구해놨던 관계식이랑 엮어져서
값을 구할수 있게 되었다.
아까 두가지 풀이법이 있다고 설명했는데
하다보니 첫번째 풀이법대로 된것이다.
따라서 답은 78
30 )
그냥 사인펜 나눠주는건데
그거가지고 여러가지 조건을 붙여놓은거라
차근차근 하면 어렵지는 않은 문제이다.
다만 실수할만한 요소가 많으니 급하게하지 말자.
괜히 30번이 아니다.
일단 같은 종류의 사인펜이므로
학생들은 사인펜을 '몇개' 받느냐에만 관심이 있다.
즉 사인펜끼리는 구별하지 않는다.
우선 (가)조건부터 풀어볼건데
이 조건에 의해 각 학생은 일단 최소 1개는 받아야한다.
그니까 일단 1개씩 나눠주고 생각하자.
그다음에는 아무렇게나 나눠줘도 된다.
ABCD 1개씩 준다음 나머지 A에게 전부 몰아줘도 된다.
일단 1개씩 나눠주고 나니
사인펜이 10개 남았다.
이 10개를 A, B, C, D에게
그냥 아무렇게나 나눠줄것이다.
이때 각각의 학생이 받는 사인펜의 수의 합이 10이다.
따라서 이때 각각의 학생이 받는 사인펜의 수를
각각 a, b, c, d라 하면
a+b+c+d = 10 이다.
a, b, c, d는 0 이상의 정수이다.
이때 사인펜을 못받을수도있으니 0도 가능하다.
즉 저 식을 만족하는 음이 아닌 정수해 (a, b, c, d)의 개수를 구하면 된다.
근데 이대로 끝내면 안된다.
아직 (가)조건밖에 생각 안했기 때문이다.
이번엔 (나)조건까지 넣어서 생각해보겠다.
따라서 a,b,c,d≤8 이다.
즉 a=9거나 a=10이면 안된다.
9 이하면 9 포함이니까 a=9여도 되는거아니냐 할수있는데
a=9면 처음에 나눠준것까지 합해서 총 10개가 되니까 안되는거다.
따라서 한 학생이 나머지 사인펜을 전부 받는경우
한 학생이 나머지 사인펜을 하나빼고 다 받는경우
이 두가지를 빼줘야한다.
한 학생이 나머지 사인펜을 전부 받는 경우의 수는
학생 4명이니까 넷중 1명이 가질것이다. 따라서 4
한 학생이 하나빼고 다 받는경우는
우선 하나빼고 다 받을학생을 골라주자. 이때 경우의수 4
그다음 남은 하나를 받을학생을
나머지 3명중 골라주자. 이때 경우의수 3
따라서 최종적으로 빼줘야할 경우의 수는
4 + 4×3 = 16 이다.
따라서
여기서 16을 빼줘야한다.
아직 끝내면 안된다.
(나)조건까지밖에 안풀었다.
이번엔 (다)조건까지 넣어서 생각해보겠다.
핵심 키워드는
'적어도' 한 학생이 짝수개의 사인펜을 받는다는것
즉 짝수개의 사인펜을 받는 학생이
2명 또는 4명 이라는거다.
이러면 경우를 나눠야해서 번거로우니
'여사건'으로 풀것이다.
여사건 = 아무도 짝수개의 사인펜을 받지 못하는것
즉 모두 홀수개의 사인펜을 받는것
근데 아까
이 식을 세울때
이미 사인펜을 1개씩 나눠줬으니까
이미 학생들은 1개씩 갖고있다.
1은 홀수이다.
따라서 a, b, c, d는 짝수여야한다.
그래야 받은 사인펜의 총 수가
1+a, 1+b 이런식으로 해서 홀수가 될것이다.
a가 짝수라면
a = 2a' 형태로 표현 가능하다는말이다.
다른것도 같은 논리로 가능하다.
물론 a', b', c', d' 은 음이 아닌 정수이다.
a+b+c+d=10 이 식에 대입하면
따라서 경우의 수는
근데 여기서 주의할건
(나) 조건을 만족해야 하므로
a'이 5가 되면 안된다.
a'이 5가 되면 a가 10이 되고
결론적으로 한 학생이 사인펜 11개를 가져가버려서
(나)조건에 위배되기 때문이다.
따라서 a', b', c', d' 중 하나가 5가 되는 경우의 수를 빼줘야한다.
그런 경우의 수는 4이다.
따라서 56을 여사건의 경우의 수로 그대로 쓸게 아니라
여기다가 4를 또 빼주면 그게 여사건의 경우의 수이다.
56-4 = 52
여기서 구한건
'모든 학생이 홀수개의 사인펜을 받는 경우의 수' 이다.
즉 여사건이다.
따라서
아까 (나)조건까지 만족하는 경우의수 270 가지 중
52 가지는 여사건의 경우의수 라는거다.
그럼 여사건의 경우의수를 빼주면 된다.
따라서 답은 218