2022학년도 수능 수학 확률과통계 23번~30번 해설
홀수형 기준입니다.
혹시 본인이 못 푼 문제인데
어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면
이 글을 보지 말것.
남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.
풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나
다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면
매우 환영이다.
원하시는 문제로 바로 가고싶으면
N번 문제로 가고싶다면
N )
이 형태로 검색하시면 됩니다.
예를들어 24번으로 가고싶으면 24 )
쉬운건 빠르게 넘어가면서
비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.
23 )
이항정리의 기본 예제이다.
따라서 답은 4번
24 )
이항분포의 기본 예제이다.
V(2X) = 2²V(X) = 40
따라서 V(X)=10이고
V(X)=npq = n × 1/3 × 2/3 = 2n/9 = 10
따라서 n = 45
따라서 답은 4번
25 )
우선 (나)조건을 만족하는 (a, b)는
3² - 2² = 5 이고
2² - 3² = -5 이므로
(2, 3), (3, 2) 뿐이다.
즉 a=2, b=3
또는 a=3, b=2 이다.
- a=2, b=3인 경우 -
이 식에 값을 대입하면
근데 c, d, e는 자연수라고 한다.
따라서 c, d, e가 0이면 안된다.
1이 7개 있는걸 c, d, e에게 나눠줘야하는데
c, d, e가 무조건 1을 하나씩은 가져야한다.
그럼 일단 나눠주고 보자.
그러면 c = c'+1
d = d'+1
e = e'+1
이렇게 표현 가능하다.
따라서 이제
이걸 만족하는 음이아닌 정수해 (c', d', e')의 개수를 구하면 된다.
많이 익숙한 기본예제형태가 되었다.
1이 4개있는걸 3명에게 중복허용해서 나눠준다.
따라서 이때 경우의 수는 15이다.
- a=3, b=2인 경우 -
이 식에 값을 대입하면
공교롭게도 아까와 똑같은 상황이 되었다.
따라서 이것의 경우의 수도 15이다.
따라서 최종적인 경우의 수는
15+15 = 30
따라서 답은 1번
26 )
우선 확률을 구하라 하니까
전체 경우의수부터 구해보자.
10장의 카드중 임의로 3장을 동시에 꺼낸다.
따라서 전체 경우의 수는 120이다.
이제 꺼낸 3개의 카드에 적힌 숫자중
가장 작은 수가 4 이하이거나 7 이상인 경우의 수를 구해야한다.
- 가장 작은수가 4 이하인경우 -
우선 1~10중에서 3장 꺼내는데
가장 작은수가 4 이하려면
우선 1~4중에서 하나는 무조건 뽑아야하고
나머지는 뭘 뽑든 상관이없다.
근데 여기서 잘못생각할수 있는게
잘못된풀이부터 보여주겠다.
1~4중에서 하나 뽑아야되니까 이때 경우의수 4
그리고 나머지 3장은 남은 9장중 아무거나 뽑으니까
이때 경우의수 9C2 = 36
따라서 경우의수는 4×36= 144..?
전체 경우의 수가 120인데
가장 작은수가 4 이하인 경우의수가 144인 말도안되는 상황이 벌어진다.
경우의 수를 셀때
같은 경우를 여러개 중복해서 센것이다.
왜그럴까?
일단 1~4중에서 하나 뽑는 경우의수 4인 것까진 맞다.
근데 이 다음이 문제다.
나머지 2장을 남은 9장중 아무거나 뽑으니까 9C2 이다?
그럼 남은 9장중 1~4 사이의 숫자가 뽑힐수도 있는거다.
그러면 무슨일이 벌어지냐면
처음에 1~4중에서 하나 뽑은게 1이라고 쳐보자.
그럼 그 다음에 2장 뽑을때 2~4중에 뽑힐수도 있다.
예를들어 최종적으로 뽑은게 1, 2, 7 이라고 해보자.
근데 처음에 1~4중에서 뽑은게 2면?
그리고 그다음에 2장뽑았을때 뽑힌게 1,7 이라면?
이것도 최종적으로 뽑은게 1, 2, 7이다.
즉 이런식으로 구하면 같은게 중복해서 더해진다.
그래서 이렇게 구하면 안된다.
왜 문제였냐면
뽑는 3개의 카드중
1~4가 몇개있을지 모르기때문이다.
이걸 위와같은 방법으로 구하고싶으면
뽑는 3개중 1개가 1~4 인 경우
뽑는 3개중 2개가 1~4 인 경우
뽑는 3개중 3개가 1~4 인 경우
이렇게 나눠서 해야한다.
물론 복잡한건 아니라 하라면 할순 있는데
더 효율적인 방법이 있다.
여사건을 이용할것이다.
가장 작은수가 4 이하인 사건의 여사건은
가장 작은수가 5 이상인 사건이다.
전체 경우에서 이걸 빼주면 되는거다.
가장 작은수가 5 이상인 사건은 구하기 쉽다.
왜냐면 5~10 에서만 3개 뽑으면 되기 때문이다.
따라서 여사건의 경우의수가 20이다.
따라서 우리가 진짜 구하고자 하는
가장 작은수가 4 이하인 경우의수는
전체 - 여사건 = 120-20 = 100
- 가장 작은수가 7 이상인경우 -
1~10 중에서 3장 꺼내는데
가장 작은수가 7 이상이려면
7~10중에서만 3장 꺼내야한다.
따라서 경우의 수는 ₄C₃ = 4 이다.
따라서
꺼낸 3개의 카드에 적힌 숫자중
가장 작은 수가 4 이하이거나 7 이상인 경우의 수는
100+4 = 104 이다.
따라서 확률은
104/120 = 13/15
따라서 답은 3번
27 )
통계문제가 등장했다. 점수자판기다.
뭔가 무섭게생기고 문제길이 긴거빼곤 아무것도 없는문제이다.
1회 충전 주행거리를 확률변수 X라 하면
확률변수 X가 정규분포 N(m, σ) 를 따른다.
표본평균과 모평균의 신뢰구간이 등장했다.
따라서 표본평균으로 모평균 추정 문제이다.
문제에서 준 이 조건에 의해
다음과 같은 결론을 얻는다.
a를 표준화하면 -1.96이며
b를 표준화하면 1.96이다.
따라서 여기서 신뢰상수는 1.96이다.
따라서
이 식은 다음과 같이 쓸수 있다.
문제에서 묻는건 b-a(신뢰구간의 길이) 니까
아래의 값을 구하는 문제이다.
b-a = 0.392σ
이제 이 값을 알아내기 위해
이것의 식을 쓰고
문제에서 제시한 이 조건을 이용하면 될것이다.
우선 이 문장에 의해
c를 표준화하면 -2.58이며
d를 표준화하면 2.58이다.
따라서 신뢰상수는 2.58이다.
라는 결론을 얻을수 있다.
따라서
이 식은 아래와 같이 표현 가능하다.
여기서
이걸 이용해 a와 c의 관계식을 쓰면
1.34 = 0.067σ
따라서 σ = 20
σ값을 알았으므로 이제 답을 구할수 있다.
b-a = 0.392σ = 7.84
따라서 답은 2번
28 )
(가)조건부터 풀어보자.
규칙이 바로 눈에 보이지않으니
일단 x값을 하나씩 대입해볼것이다.
f(1)≥1
f(2)≥√2
f(3)≥√3
f(4)≥2
f(5)≥√5
따라서 정리하자면
f(1)이 될수 있는값 : 1, 2, 3, 4
f(2)가 될수 있는값 : 2, 3, 4
f(3)이 될수 있는값 : 2, 3, 4
f(4)가 될수 있는값 : 2, 3, 4
f(5)가 될수 있는값 : 3, 4
그다음 (나)조건을 풀어보자.
따라서 함수 f(x)의 값은
1, 2, 3, 4중 3개의 값만 가질수 있다.
만약 f(x)가 1, 2, 3을 가진다면, f(x)=4일수는 없는거다.
그리고 치역의 원소의 개수가 3이라 했지
3 이하라고 안했으므로
f(x)는 무조건 1, 2, 3, 4중 3개의 값을 가져야한다.
따라서 난 여기서
f(x)가 가질수 없는 값을 기준으로 상황을 분류할것이다.
- f(x)≠1 인 경우 -
f(x)≠1 이라면
f(x)값이 2, 3, 4 중 하나여야하며
2, 3, 4 이 세개는 무조건 함숫값으로 가져야한다.
f(1)이 될수 있는값 : 2, 3, 4
f(2)가 될수 있는값 : 2, 3, 4
f(3)이 될수 있는값 : 2, 3, 4
f(4)가 될수 있는값 : 2, 3, 4
f(5)가 될수 있는값 : 3, 4
여기서 f(5)가 눈에 띄는데
f(5)만 함숫값 2를 가질수 없다.
즉 함숫값 2는
f(1), f(2), f(3), f(4) 중에 골라서 가야한다.
근데 함숫값 2가 꼭 하나만 골라서 가야한다는법은 없다.
f(1)=2, f(2)=2, f(3)=2 여도
f(4)=3, f(5)=4 라면
(가)와 (나) 조건 둘다 만족하기 때문이다.
따라서 f(x)가 함숫값 2를 갖게되는 x값의 개수에 따라 나눌것이다.
일단 함숫값 2를 나눠줘서 처리한 다음,
3, 4는 모두가 가질수 있는 함숫값이니까
그 다음엔 3, 4를 부담없이 나눠주면 되는거고
그러면 상황이 좀 쉬워질것이라는 논리이다.
f(x)=2를 만족하는 x값이 1개인 경우
x값을 1~4중 하나 선택해야한다.
따라서 이때 경우의수 4
그러면 나머지 남은 4개의 x값중
함숫값 3, 4를 맘대로 가져가면 된다.
물론 적어도 하나씩은 가져가야한다.
'적어도' 하나씩이니까 여사건으로 풀것이다.
여사건 : 3만 갖거나, 4만 갖는 경우
그런 경우의 수는 2이다.
3만 갖거나, 4만 가질거기때문이다.
그리고 전체 경우의수는 3, 4중 하나를 선택하는 행위를
4번 반복하므로 2⁴ = 16이다.
따라서 구하고자하는 경우의수는 16-2 = 14
따라서 이때 경우의수 14
따라서 f(x)=2를 만족하는 x값이 1개인 경우의 수는
4×14 = 56
f(x)=2를 만족하는 x값이 2개인 경우
x값을 1~4중 두개 선택해야한다.
따라서 이때 경우의수 ₄C₂ = 6
그러면 나머지 남은 3개의 x값중
함숫값 3, 4를 맘대로 가져가면 된다.
물론 적어도 하나씩은 가져가야한다.
이때 경우의수도 아까와 같은 논리로
여사건의 경우의수가 2이고
전체 경우의수가 2³ = 8 이니까
따라서 이때 경우의수 = 8-2 = 6
따라서 f(x)=2를 만족하는 x값이 2개인 경우의 수는
6×6 = 36
f(x)=2를 만족하는 x값이 3개인 경우
x값을 1~4중 세개 선택해야한다.
따라서 이때 경우의수 ₄C₃ = 4
그러면 나머지 남은 2개의 x값이
각각 3과 4를 가져야한다.
따라서 이때 경우의 수는
가능한 조합이 (3,4), (4,3) 두개 뿐이므로 2이다.
따라서 이때 경우의 수 = 2
따라서 f(x)=2를 만족하는 x값이 3개인 경우의 수는
4×2 = 8
f(x)=2를 만족하는 x값이 4개인 경우
f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=2 라는건데
그러면 (나)조건에 위배된다.
따라서 이런 경우는 존재하지 않는다.
따라서 f(x)≠1인 경우의수는
56+36+8 = 100
- f(x)≠2 인 경우 -
f(x)≠2 이라면
f(x)값이 1, 3, 4 중 하나여야하며
1, 3, 4 이 세개는 무조건 함숫값으로 가져야한다.
f(1)이 될수 있는값 : 1
f(2)가 될수 있는값 : 3, 4
f(3)이 될수 있는값 : 3, 4
f(4)가 될수 있는값 : 3, 4
f(5)가 될수 있는값 : 3, 4
f(1)=1이어야 하는 이유는
누군가는 함숫값으로 1을 가져야하는데
(가)조건에 의해 함숫값으로 1을 가질수 있는게 f(1) 뿐이다.
이제 나머지 3, 4를 나눠주면 된다.
아까와 같은 논리로
여사건의 경우의수 = 2
전체 경우의수 = 2⁴ = 16
따라서 이때 경우의수 = 16-2 = 14
따라서 f(x)≠2 인 경우의수는 14
- f(x)≠3 인 경우 -
f(x)≠3 이라면
f(x)값이 1, 2, 4 중 하나여야하며
1, 2, 4 이 세개는 무조건 함숫값으로 가져야한다.
f(1)이 될수 있는값 : 1
f(2)가 될수 있는값 : 2, 4
f(3)이 될수 있는값 : 2, 4
f(4)가 될수 있는값 : 2, 4
f(5)가 될수 있는값 : 4
이제 나머지 2, 4를 나눠주면 된다.
아까와 같은 논리로 하는데
주의할건 이때 여사건의 경우의수는 1이다.
f(5)=4이기 때문에
f(2), f(3), f(4)가 전부 2여도 조건을 만족하기 때문이다.
여사건의 경우의수 = 1
전체 경우의수 = 2³ = 8
따라서 이때 경우의수 = 8-1 = 7
따라서 f(x)≠3 인 경우의수는 7
- f(x)≠4 인 경우 -
f(x)≠4 라면
f(x)값이 1, 2, 3 중 하나여야하며
1, 2, 3 이 세개는 무조건 함숫값으로 가져야한다.
f(1)이 될수 있는값 : 1
f(2)가 될수 있는값 : 2, 3
f(3)이 될수 있는값 : 2, 3
f(4)가 될수 있는값 : 2, 3
f(5)가 될수 있는값 : 3
이제 나머지 2, 3를 나눠주면 된다.
아까와 같은 논리로
여사건의 경우의수 = 1
전체 경우의수 = 2³ = 8
따라서 이때 경우의수 = 8-1 = 7
따라서 f(x)≠4 인 경우의수는 7
따라서 최종적인 답은
전부 더해주면
100+14+7+7 = 128
따라서 답은 1번
29 )
통계다. 또 점수자판기이다.
근데 이건
이 식 하나때문에
공통범위 수학을 잘 못하는 학생은 어려워했을거같다.
이 문제에서 가장 중요한 핵심은
'확률밀도함수가 x축과 이루는 면적은 1'
이라는것이다.
Y의 확률밀도함수가 g(x)라 했는데,
Y가 가질수 있는 값의 범위가 0≤Y≤6 이므로
g(x)의 정의역은 0≤x≤6 이다.
이 문장을 보면
g(x)의 정의역이 0≤x≤6인데
0≤x≤6인 모든 x에 대하여 저거란다.
즉 함수 g(x)를 다 알려준거다.
f(x)를 이항하면
따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
g(x)는 f(x)를 x축기준 대칭이동한다음,
y방향으로 k만큼 평행이동시킨것이다.
일단 f(x)를 x축기준 대칭이동시키자.
그다음 k만큼 평행이동시키자.
여기서 핵심은
g(x)도 확률밀도함수기 때문에
g(x)≥0 이어야 한다.
즉 g(x)의 그래프는 무조건 x축보다 위에 있어야 하고
g(x)가 x축과 이루는 면적이 1이어야한다.
이게 g(x)의 그래프이다.
이게 x축과 이루는 면적이 1이 되도록 하는
k값을 구하면 된다.
따라서 전체 넓이 = 1 이라는 식을 세우면
정리하면 6k=2
따라서 k=1/3
이제 마무리로 이것만 구하면 된다.
k=1/3 이므로
6k=2 , 15k=5 이다.
우선 g(2) = 1/6 이다.
이제 넓이를 구하면
정리하면 넓이는 7/24 이다.
따라서 p=24, q=7
p+q = 31
따라서 답은 31
30 )
우선 확률문제이다.
그리고 이 문장으로 인해
조건부확률 문제임을 알아낼수 있다.
조건부확률 문제니까
확률을 구할때, 전체 경우의수 대신
이걸 만족할 확률을 분모에 넣을것이다.
각각은 5번의 시행 후 흰공의 개수, 검은공의 개수 인데
주사위를 던지는거기 때문에 각각의 시행은 독립시행이다.
이걸 만족시키기 위한 a_5, b_5 의 가능한 조합은
(4, 3), (6, 2), (8, 1), (10, 0)
이 4가지이다.
(4, 3)인 경우는
5 이상의 눈이 2번
4 이하의 눈이 3번
나온 경우이고
(6, 2)인 경우는
5 이상의 눈이 3번
4 이하의 눈이 2번
나온 경우이고
(8, 1)인 경우는
5 이상의 눈이 4번
4 이하의 눈이 1번
나온 경우이고
(10, 0)인 경우는
5 이상의 눈만 5번
나온 경우이다.
각각의 경우의수를 구해보자.
우선
5 이상의 눈이 나올 확률 = 1/3
4 이하의 눈이 나올 확률 = 2/3
- (4, 3)인 경우 -
5 이상의 눈이 2번,
4 이하의 눈이 3번 나온거고
독립시행이니까
다음과 같다.
- (6, 2)인 경우 -
5 이상의 눈이 3번,
4 이하의 눈이 2번 나온거고
독립시행이니까
다음과 같다.
- (8, 1)인 경우 -
5 이상의 눈이 4번,
4 이하의 눈이 1번 나온거고
독립시행이니까
다음과 같다.
- (10, 0)인 경우 -
5 이상의 눈만 0번 나온거고
독립시행이니까
다음과 같다.
따라서
이걸 만족할 확률은
이게 분모에 들어가는거다.
분자에 들어갈건
이 두개를 전부 만족할 확률이다.
던지는 과정중에 흰공과 검은공의 개수가 같아지는 순간이 존재하냐는거다.
하나씩 보자.
- (10, 0)인 경우 -
이건 누가봐도 존재하지 않는다.
검은공의 개수가 0이기 때문이다.
- (8, 1)인 경우 -
이것도 존재하지 않는다.
검은공의 개수가 1이어도
흰공의 개수는 2개씩 늘어나기 때문에
흰공의 개수가 1일수 없다.
- (6, 2)인 경우 -
흰공은 2개씩 늘어나는데
검은공은 1개씩 늘어나므로
딱 세번째 시행에서만 가능하다.
(흰2 검1 검1), (검1 흰2 검1), (검1 검1 흰2)
이 세가지 경우만 가능한것이다.
즉 세번의 시행중
한번은 5 이상의 눈이 나오고
두번은 4 이하의 눈이 나와야한다.
그리고 그 뒤의 두번의 시행에서
5 이상의 눈만 두번 나와야한다.
그래야 흰공과 검은공 개수 합이 7 이상이 된다.
따라서 여기서 구하고자 하는 확률은
- (4, 3)인 경우 -
이것도 마찬가지로
흰공은 2개씩 늘어나는데
검은공은 1개씩 늘어나므로
딱 세번째 시행에서만 가능하다.
(흰2 검1 검1), (검1 흰2 검1), (검1 검1 흰2)
이 세가지 경우만 가능한것이다.
즉 세번의 시행중
한번은 5 이상의 눈이 나오고
두번은 4 이하의 눈이 나와야한다.
그리고 그 뒤의 두번의 시행에서
5 이상의 눈이 1번
4 이하의 눈이 1번 나와야한다.
그래야 흰공과 검은공 개수 합이 7 이상이 된다.
따라서 여기서 구하고자 하는 확률은
따라서
이 두개를 전부 만족할 확률은
얘가 분자에 들어가는것이다.
따라서 최종적으로 우리가 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.
따라서 p=131, q=60이고
131+60=191
따라서 답은 191