이차방정식 #4 - 이차식의 인수분해
바빠서 좀 쉬다왔습니다.
- 개요 -
이번에 뭘 할거냐면
이런문제를 푸는법을 알려줄거다.
즉 이번에 배우고자 하는것은
'근을 가지고 이차방정식을 작성하는 방법'
- 기본 사고과정 -
우선 이차방정식을 작성할건데
이 이차방정식이 -4와 3을 근으로 한다는 것은
이 이차방정식에 -4 대입하면 그 값은 0
3 대입해도 그 값은 0
이라는 것이고
이것은 인수정리에 근거하여
-4로 나누어떨어진다는 거니까
이 이차방정식은 (x+4)를 인수로 갖는다.
같은 논리로
3으로 나누어떨어진다는 거니까
이 이차방정식은 (x-3)을 인수로 갖는다.
따라서 이차방정식을 아래와같이 작성할 수 있다.
(x+4)와 (x-3)을 인수로 가지므로
저 둘의 곱으로 표현 가능하며
여기서 a는 아직 '계수'를 모르기때문에 임시로 적어놓은것이다.
(x+4)(x-3)을 전개하면 이차식이 나오기때문에
여기까지만 하면 된다.
정확히는, 이미 근 두개에 대한 식을 썼으므로
더이상 근이 나오지는 않을거고 이대로 적으면 된다.
근데 이 문제에선 계수를 알려준다.
x²의 계수가 1이라 한다.
따라서 이차항이 x²이다.
이걸 전개했을때 이차항이 x² 려면
a=1 이어야한다.
따라서 답은
- 연습 -
2와 -7을 근으로 한다는건
2나 -7로 나누었을때 나누어떨어진다는것
따라서 (x-2)와 (x+7)을 인수로 갖는다.
이차방정식이므로 인수 두개 찾았으면 여기서 끝내면 된다.
여기까지 알아낸걸로 이차방정식을 작성하면
여기서 a는
전개해보면 알겠지만
a가 의미하는건 이차항의 계수이다.
따라서 a=2 이고
따라서 답은
- 일반화 -
α와 β를 근으로 한다는건
(x-α)와 (x-β)를 인수로 갖는다는것
그리고 x²의 계수가 a니까
이것들을 가지고 이차방정식을 작성하면
참고로, a와 α는 다른 문자이다.
a는 영어 알파벳이지만
α는 그리스어 알파벳이며, '알파'라고 읽는다.
- 예제 -
1 )
그냥 숫자만 바꾼문제이다.
이거 못풀면 그냥 여기 내용 자체를 모르는거니까 다시읽어보고
그래도 이해안되면 '인수정리' 를 모른다는거니까
거기부터 공부하고오자.
아무튼 문제풀이
-1/3, 1 을 근으로 한다는건
(x+1/3)과 (x-1)을 인수로 갖는다는것
그리고 x²의 계수가 3이므로
이 정보들을 이용해 이차방정식을 작성하면
답은
2 )
허수가 등장해서 당황스러울수 있지만
사실 그냥 숫자만 바꾼거라
제대로 공부했다면 이정도는 가소로울 뿐이다.
아까 문제 풀때와 같은 논리로
(x + 1/2-3i) 와 (x + 1/2+3i) 를 인수로 갖는거고
x²의 계수가 4이므로
이 정보들을 이용해 이차방정식을 작성하면
이대로 답을 제출해도 맞지만
합차공식이 보이기때문에
그것까지 적용해서 적을수 있어야한다.
그리고 출제자는 그렇게 적기를 의도하기 때문에
출제자의 의도대로 해주는게 맞다.
합차공식 적용해서 정리하면
따라서 답은 4x²+4x+37 = 0
추가로, =0 까지 잊지 말고 적어줘야 방정식이다.
4x²+4x+37은 그냥 다항식이다.