2023학년도 6월 모의평가 수학 확률과통계 23번~30번 해설
혹시 본인이 못 푼 문제인데
어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면
이 글을 보지 말것.
남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.
풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나
다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면
매우 환영이다.
원하시는 문제로 바로 가고싶으면
N번 문제로 가고싶다면
N )
이 형태로 검색하시면 됩니다.
예를들어 17번 문제로 가고싶으면 17 )
쉬운건 빠르게 넘어가면서
비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.
제 생각에 가장 출제자의 의도에 근접했다 생각한 풀이만 담았습니다.
이번 확통은 객관적으로 쉬웠습니다.
수능은 이것보다 어렵게 출제될 확률이 높습니다.
23 )
b, c만 나열하면 a는 알아서 들어간다.
a끼리는 구별이 안되기때문에, a는 나열할 필요가 없다.
b가 나열되는 경우의수 : 5
c가 나열되는 경우의수 : 4
5×4 = 20, 따라서 답은 2번
24 )
두 장의 카드에 적힌 수의 차가 1이려면,
A에서 뽑은게 1이고, B에서 뽑은게 2
A에서 뽑은게 2이고, B에서 뽑은게 1 또는 3
A에서 뽑은게 3이고, B에서 뽑은게 2 또는 4
따라서 경우의수는 5개이며,
전체 경우의수는 3×5 = 15 이므로
우리가 구하고자 하는 확률은, 5/15 = 1/3
따라서 답은 1번
25 )
이건 여사건을 이용하는게 더 쉽게 풀린다.
왜냐면, 문제에서 묻는게
P의 좌표가 2 이상일 확률인데
P의 좌표가 2 이상이라는건,
4번의 시행에서 두번 이상 움직인다는 뜻이고,
그러면 P는 2번 움직이거나 3번 움직이거나 4번 움직여야한다.
여사건을 이용하지 않으면, 이 세가지 경우를 전부 구해야한다.
하지만 여사건을 이용하면 줄일 수 있다.
전체 확률에서, P의 좌표가 2 이상이 아닐 확률을 빼겠다는 것이다.
P의 좌표가 2이상이 아니라는건, P의 좌표가 2 미만이라는것
따라서, P가 1번만 움직이거나, 움직이지 않거나
여사건에서는 이 두가지 경우만 보면 되는것이다.
그래서 여사건으로 풀것이다.
우선, 6의 약수는 1, 2, 3, 6 이므로
1번의 시행에서 6의 약수가 나올 확률은 2/3 이다.
그리고 '주사위'를 여러번 던지는 것이므로
이것은 독립시행이다.
따라서, 우리가 배웠던 독립시행의 확률 을 이용하자.
- P가 1번만 움직이는 경우 -
주사위를 던졌을 때,
주사위의 눈이 6의 약수인 경우가
4번의 시행 중 1번 뿐이었다는거다.
일어날 확률이 2/3 인 사건이
4번의 독립시행 중 1번만 나타날 확률은
- P가 한번도 움직이지 않는 경우 -
이것도 똑같이 한다.
따라서, 여사건의 확률은 8/81 + 1/81 = 1/9 이고
따라서 최종적으로 우리가 구하고자 하는 확률은
1 - 1/9 = 8/9
따라서 답은 4번
26 )
우선 이걸 당장은 알수 없다.
n의 값을 모르기 때문이다.
따라서, 문제에서 준 조건에 맞는 n 값부터 먼저 찾아야한다.
그 다음 찾으라는거 찾으면 된다.
이거는 결국 '이항정리를 두 번 하는 문제'이다.
n의 값을 찾는것은, x^5 의 계수가 12임을 이용하면 될것이다.
우선 n=3 임을 찾았다.
이제 이걸 구하면 된다.
따라서 답은 2번
27 )
중복을 허락해서 택한뒤 나열하는거니까,
중복순열 문제이다.
그냥 (가)와 (나) 조건 둘다 만족하게 하면서,
중복허용해서 나열하면 끝난다.
우선 (가) 조건을 만족시켜보자.
양 끝 모두에 대문자가 나오려면,
양 끝엔 각각 X, Y 둘 중 하나는 와야하고
중복을 허락하여 나열하는거기때문에,
둘다 X가 오거나 둘다 Y가 오는것 둘다 가능하다.
따라서, 양 끝에 대문자를 나열하는 경우의 수는
2×2 = 4 이다.
다음으로 (나) 조건
a는 한번만 나온다는건
a가 아무튼 나오긴 나온다는것이다.
그러므로, 그냥 a 하나를 배열시키면 된다.
나머지는 a 빼고 아무거나 들어가면 되는거다.
a 하나를 배열시키는 경우의 수는
일단 양끝은 (가) 조건 위배니까 안되고
그럼 남은자리 4개니까, 결론적으로
a 하나를 조건에 맞게 배열하는 경우의수는 4 이다.
따라서, (가) 조건과 (나) 조건에 맞게
X, Y를 양 끝에 배열하고, a를 하나 배열하는 경우의 수는
4×4 = 16 이다.
물론 a와 대문자 두개만 배열했고, 나머지는 아직 배열 안했다.
6자리중 3개 배열 완료했으니, 남은 건 3자리이다.
그 3자리는, 그냥 아무거나 가면 된다.
일단 배열할것이 a, b, X, Y 인데,
a는 아까 이미 하나 배열했으니, 더이상은 배열할 수 없다.
a를 더 배열하면 (나) 조건에 위배된다.
따라서, b, X, Y 중에 아무거나 뽑아서 3자리 채우면 끝이다.
그러는 경우의 수는, 중복순열이므로 3×3×3 = 27 이다.
따라서 최종적인 경우의 수는
16×27 = 432
따라서 답은 3번
28 )
이건 28번치고 쉬웠던 느낌이다.
이 문장에서부터 벌써 여사건을 구하고싶다.
여사건이 없으면 어떻게 해야되냐면,
(5의 배수인 경우) + (3500 이상인 경우) - (5의 배수이면서 3500 이상인 경우)
이렇게 풀어야 되는데,
이게 못 풀 정도는 아니지만, 그래도 귀찮은건 사실이다.
여사건으로는 한방에 해결할 수 있다.
근데 이 문제는, 어차피 여사건도 경우를 나눠야해서
결과적으로는 여사건으로 푸나, 여사건을 안써서 푸나
풀이 난이도나 시간 자체는 별 차이 없었다.
그냥 아무렇게나 풀자.
여사건 : 5의 배수가 아니면서 3500 미만인 경우
그런데, 1, 2, 3, 4, 5 중에서 뽑는거니까
일단 첫번째로 나열되는 숫자가 3보다 작으면
완성된 숫자는 무조건 3500보다 작다.
앞자리가 애초에 3보다 작기때문이다.
따라서, 일단 첫번째로 나열되는 숫자가 1이나 2 이면
무조건 3500보다 작다.
첫번째로 나열될 숫자를 1과 2중 하나 고르고,
나머지는 5의 배수만 안되게 아무렇게나 나열하면 되는것이다.
첫번째로 나열될 숫자를 고르는 경우의 수는
1과 2 둘중 하나니까 2
나머지 4개의 숫자중 3개 배열하는 경우의 수는,
5가 있는경우와 없는경우를 나눠서 생각해봐야한다.
만약 5가 있다면, 5는 마지막 자리엔 올수 없다.
따라서 5가 갈수 있는곳은 2자리 뿐이다.
그럼 5 까지 배열완료될것이다.
그럼 남은건 두자리이고, 이 두자리에 배열하는 경우의 수는
남은숫자 3개니까 3×2 = 6 이다.
따라서,
첫번째로 나열되는 숫자가 3보다 작으면서,
5가 나열되게 하는 경우의 수는
2 × 2 × 6 = 24
다음으로, 5가 없다면, 완성된 숫자가 5의 배수가 될 수는 없으므로
그냥 아무렇게나 배열하면 된다.
5 제외하고 남은 3개를,
남은 3자리에 배열하면 된다.
그런 경우의 수는 3×2×1 = 6
따라서,
첫번째로 나열되는 숫자가 3보다 작으면서,
5가 나열되지 않게 하는 경우의 수는
2 × 6 = 12
따라서, 첫번째로 나열되는 숫자가 3보다 작게 되는
경우의수는, 24 + 12 = 36 이다.
근데 아직 하나 남았다.
첫번째로 나열되는 숫자가 3이어도 3500보다 작을 수 있다.
두번째로 나열되는게 5가 아니면 된다.
따라서, 3을 일단 첫번째로 배열하고
그다음에 올 숫자를 배열하는 경우의 수는
1 × 3 = 3 이다.
(2,3,4 중 하나 고르는거라서 3이다)
그다음, 5가 있는경우와 없는경우를 또 생각해봐야한다.
5가 있다면, 5가 올 수 있는 자리는 하나밖에 없다.
따라서, 이때 경우의수는 1
그다음 나머지 2개는 아무렇게나 배열하면 되므로
이때 경우의수는 3×2 = 6
5가 없다면, 5 빼고 아무렇게나 배열하면 되므로
이때 경우의수는 3×2×1 = 6
따라서, 첫번째로 나열되는 숫자가 3이 되는
경우의 수는, 6 + 6 = 12 이다.
따라서, 최종적인 경우의 수는
첫번째로 나열되는 숫자가 3보다 작게 되는 경우
+
첫번째로 나열되는 숫자가 3인 경우
= 36 + 12 = 48 이다.
확률을 구하라 하므로, 전체 경우의수를 나눠주면 된다.
전체 경우의수는, 서로다른 5개중 4개를 택해 나열하는거니까
5×4×3×2 = 120 이다.
따라서, 여기서 구해지는 확률은
48/120 = 2/5 이다.
근데 여기서 구한 2/5 는 여사건의 확률이었다.
따라서, 우리가 구하고자 하는 최종적인 확률은
1 - 2/5 = 3/5 이다.
따라서 답은 4번
29 )
이런건, 함수 f : X→X 라니까
그냥 집합 X 두개 그려놓고 풀면 된다.
(가) 조건부터 풀어보자.
이것의 뜻은 쉽게 설명하자면,
f(x)=4 가 되게하는 x가 있다.
라는 뜻이다.
즉, 무언가는 4에 대응되어야 한다.
물론 몇개가 어떻게 대응되는지는 아직 모른다.
이것의 진짜 의미는, (나)조건을 풀다보면 드러나게 된다.
기출에서 많이 봤던 모양이다.
이런건 f(1)이나 f(5)의 값을 기준으로 나누면서 풀었었다.
예를 들자면,
f(1)=5 이면 f(3)과 f(5)가 전부 5여야 하고
f(5)=1 이면 f(3)과 f(1)이 전부 1이어야 한다.
그래서 '최솟값 f(1)' 이나 '최댓값 f(5)' 를 정해주면
경우의 수를 줄일 수 있다.
그리고, 여기선 f(1)의 값을 기준으로 나눌거다.
왜냐면, (가) 조건이 f(1)에 대한 조건이기 때문이다.
그리고, f(1)=5 인 경우엔 무조건 f(3)=f(5)=5 이어야 하므로,
f(1)=5 인것부터 보는게 쉽다.
따라서, f(1)=5 인 경우부터 볼것이다.
- f(1) = 5 인 경우 -
f(1)=5 이면, (가)조건을 만족하지 못한다.
왜냐면, (가)조건에 의해 f(f(1)) = 4 인데
f(1)=5 이면, f(f(1)) = f(5) 이고
(나) 조건에 의하면, f(1)≤f(5) 여야하기 때문에
f(5)의 값은 5밖에 안된다. 절대로 4가 될 수 없다.
그래서 f(1)=5 인 경우의 수는 0 이다.
- f(1) = 4 인 경우 -
f(1) = 4 이면, (가) 조건을 만족하기 위해
f(4) = 4 여야한다.
왜냐면, f(f(1)) = 4 라는게 (가) 조건인데,
f(1)=4 니까 결국 f(4) = 4 여야한다.
다음으로, (나) 조건을 만족하기 위해서는
4 ≤ f(3) ≤ f(5) 여야한다.
따라서, 이걸 만족하게 하는 f(3)과 f(5)는
f(3)=4 이고 f(5)=4
f(3)=4 이고 f(5)=5
f(3)=5 이고 f(5)=5
이 3가지이다.
따라서, f(1)=4 인 경우에서
f(4)의 값을 정하는 경우의수는 1
f(3)과 f(5)의 값을 정하는 경우의수는 3
이젠 (가)와 (나)조건 둘다 만족하게 됐으므로
이제 남은것 f(2)만 정하면 된다.
따라서, f(2)만 아무데나 넣어주면
f(1)=4 인 경우의수를 구하는게 완료된다.
f(2)는 1~5 중 아무거나 하면 되니까 경우의 수는 5이다.
따라서, 이때의 경우의 수는
1×3×5 = 15
- f(1) = 3 인 경우 -
이것도 하던대로
(가) 조건을 만족하려면
f(3) = 4 여야한다.
근데, (나) 조건상
f(1) ≤ f(3) ≤ f(5) 여야 하는데,
f(1) = 3 , f(3) = 4 이므로
f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 2 이다.
이제 (가)와 (나) 조건 둘다 만족하므로
f(2)와 f(4)의 값만 정하면 된다.
정하는 경우의 수는 5×5 = 25
따라서, 이때의 경우의 수는
2×25 = 50
- f(1) = 2 인 경우 -
이것도 하던대로
(가) 조건을 만족하려면
f(2) = 4 여야한다.
그리고, (나) 조건을 만족하려면
2 ≤ f(3) ≤ f(5) 이어야 하므로
f(3)과 f(5)를 정하는 경우의 수는
남은건 f(4) 뿐이고,
f(4)는 아무거나 가지면 되니까
f(4)를 정하는 경우의 수는 5 이다.
따라서, 이때의 경우의 수는
10×5 = 50
- f(1) = 1 인 경우 -
이 경우는 (가) 조건을 만족할 수 없다.
f( f(1) ) = 4 여야하는데,
f(1)=1 이면, f( f(1) ) = f(1) = 4 이기 때문이다.
따라서 이때 경우의수는 0이다.
- 최종 계산 -
0 + 15 + 50 + 50 + 0 = 115
따라서 답은 115
30 )
이런 문장에서, 조건부확률 문제임을 알 수 있다.
따라서, 우리가 구하고자 하는 확률은
분모와 분자를 둘다 구하면 된다.
우선 전체 경우의수는, 그냥 12개중 3개 뽑는거니까
- b-a ≥ 5 일 확률 -
따라서, b-a ≥ 5 일 확률은
- b-a ≥ 5 이면서 c-a ≥ 10 일 확률 -
따라서, b-a ≥ 5 이면서 c-a ≥ 10 일 확률은
- 마무리 계산 -
따라서 p=7, q=2 이고
p+q = 7+2 = 9
따라서 답은 9