2023학년도 9월 모의평가 수학 공통 16번~22번 해설
혹시 본인이 못 푼 문제인데
어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면
이 글을 보지 말것.
남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.
풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나
다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면
매우 환영이다.
원하시는 문제로 바로 가고싶으면
N번 문제로 가고싶다면
N )
이 형태로 검색하시면 됩니다.
예를들어 23번으로 가고싶으면 23 )
쉬운건 빠르게 넘어가면서
비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.
16 )
일단 로그가 나왔으니,
로그 자체가 정의되기 위한 x의 범위부터 구해줘야한다.
문제를 풀 때 이 작업을 하기 귀찮다고 미뤄놓으면
문제를 풀다가 까먹게된다.
이것때문에 잘 풀어놓고 허무하게 틀릴 수 있다.
물론 이 문제는 쉬운 문제라서, 늦게 찾아도 크게 문제될 것은 없었다.
이제 방정식을 풀어주자.
따라서 답은 7
17 )
따라서 답은 16
18 )
기본적인 Σ의 성질 문제
따라서 답은 13
19 )
사차함수와 x축의 교점이 4개가 생기도록 하는
자연수 k의 개수를 구하는 문제이다.
일반적으로 최고차항의 계수가 양수인 사차함수의 그래프는
아래와 같이 생겼다.
이 그래프가 x축과 4번 만나려면,
x축의 위치는
극대보단 작은곳, 그리고 극소보단 큰곳
에 위치해야한다.
그러면 사잇값 정리에 의해
최소 4개의 실근을 가지게 될거고,
사차방정식은 최대 실근이 4개니
결론적으로 이 방정식은 4개의 실근을 갖게된다.
따라서, 저 사차함수의 극댓값은 양수여야하고,
극솟값은 모두 음수여야한다.
그러려면, 극대지점과 극소지점의 좌표를 구해서
값을 비교해보면 될것이다.
극점의 좌표를 구하기 위해 좌변의 식을 미분하면
따라서, x=-1, x=2 에서 극소
x=0 에서 극대를 가진다.
두 극솟값 모두 음수이고,
극댓값은 양수이므로, 대입해서 정리해주면
위의 3가지 부등식을 전부 만족해야 하므로,
0<k<5 임을 알 수 있다.
이 범위에서 k의 개수는 1, 2, 3, 4로 총 4개이다.
따라서 답은 4
20 )
우선 f(x)와 g(x)가 어디서 어떻게 만나는지 모르겠기 때문에
f(x)와 g(x)의 그래프를 먼저 그려보면서
문제 상황을 파악할 필요가 있다.
우선 f(x)는 삼차함수고, 식을 다 알려줬으니
나름 정확하게 그래프를 그릴 수 있다.
우선 (0, 0)을 지나며,
극점의 좌표를 구하기 위해 미분해주면
f'(x) = 3x²+2x-1 = (3x-1)(x+1)
따라서 f(x)는 x=-1, x=1/3 에서 극점을 가지며,
따라서 f(x)는 x=-1 에서 극대, x=1/3 에서 극소이다.
따라서 f(-1)이 극댓값, f(1/3)이 극솟값이다.
f(-1)=1 이고 f(0)=0 이니 f(1/3)은 해볼것도 없이 음수이고,
이를 토대로 y=f(x) 의 그래프의 개형을 그리면
이제 이 조건을 풀면서 k값을 알아내야 한다.
일단 k<0 이므로,
y = g(x) 의 y절편은 x축 아래쯤에 놓으면 될것이고
좀 쉬워보이는 부분은 x>0 인 구간이다.
실제 시험볼때는 바로 '접할 때' 를 보면 되겠지만,
해설글이므로 일반적인 상황까지 전부 보겠다.
x>0 에서 f(x)와 g(x)는
0번 만날수도 있고, 1번 만날수도 있고, 2번 만날수도 있다.
일단 2번 만나는 건 불가능하다.
x<0 에서 f(x)와 g(x)가 최소 1번은 만나기 때문이다.
그럼 최소 3번 만난다는거고 이건 문제 조건에 모순이다.
이번엔 0번 만나는 경우를 보자.
그럼 x<0 에선 2번 만나야한다.
삼차함수와 일차함수가 2번 만난다 = 접한다
x<0 에서 g(x)의 기울기는 -4 이므로
x<0 에서 f(x)의 기울기가 -4 가 되는 지점이 존재해야하며,
그 지점에서 f(x)=g(x) 여야한다.
f'(x)=-4 가 되는 지점이 존재하는지 보기 위해
f'(x)=-4 라는 이차방정식을 세워서 판별식을 이용해봤는데
판별식이 음수이다. 따라서 f'(x)는 절대 -4가 될수 없다.
따라서, f(x)와 g(x)는 x<0 에서 접하지 않는다.
따라서, f(x)와 g(x)는 x<0 에서 한 번 만난다.
따라서, f(x)와 g(x)는 x>0 에서도 한 번 만난다.
그런데 y=g(x)의 y절편은 음수이고
x>0에서 y=f(x)는 삼차함수의 일부이므로
여기서 f와 g가 한 번 만나려면 가능한건 '접하는 경우'밖에 없다.
결론 : f(x)와 g(x)는 x>0 에서 접하는 지점이 있다.
x>0 에서 f(x)와 g(x)가 접한다 → f'(x)=4 이다.
따라서, f'(1) = 4 이고,
문제 조건에 맞추려면 x=1에서 f(x)와 g(x)가 접해야한다.
그러려면 f(1) = g(1) 이어야 한다.
이제 k값까지 전부 알았으니,
x<0 에서 f(x)와 g(x)가 어디서 만나는지 알 수 있다.
따라서, f(x)와 g(x)는 x=-1 에서 만난다.
이것들을 종합하여 f(x)와 g(x)의 그래프를 그리면,
이제 이 부분의 넓이만 구하면 되는데,
넓이를 구하려면 f(x)-g(x)를 -1부터 1까지 적분해야 할것이고
g(x)는 x<0 인 부분과 x>0 인 부분의 식이 다르니
-1부터 0까지 적분, 0부터 1까지 적분
이렇게 나눠서 적분을 두 번 계산해야한다.
그냥 이걸 계산하면 답이 나오겠지만,
삼차함수를 두번씩이나 적분하는건 꽤 귀찮은데다가
분수도 여러개 나와서 계산실수할 여지가 많으므로
계산을 좀 더 간단히 만들어서 풀것이다.
x>0에서 g(x) = 4x-3 인데, 이걸 x<0 인 부분까지 연장해서
x=-1 까지 그린다음 (-1, 1)과 연결한다.
우리가 원하는건 녹색으로 칠한 부분의 넓이이니,
검은색으로 칠한 부분의 넓이를 구한 뒤
빨간 부분의 넓이(삼각형의 넓이)를 빼주는 방향으로 갈것이다.
이러면 적분 한 번으로 넓이를 계산할 수 있게 된다.
삼각형의 넓이는
밑변이 8이고 높이가 1이므로,
삼각형의 넓이는 4이다.
이러면 계산을 또 간단히 할수 있는데,
왜 기함수를 -1부터 1까지 정적분하면 0인가요 라고 묻는다면
해설글에서 기본개념을 설명할 순 없으니, 정적분의 성질부터 공부하고 오자.
따라서 30S = 80 이고
답은 80
21 )
일단, 문제에서 준 비율관계 정보만 그대로 그림으로 옮기면
P에서 x축에 내린 수선의 발을 R,
Q에서 x축에 내린 수선의 발을 S라 하면
삼각형 APR과 삼각형 CQS는
닮음비가 1:4 인 닮음 관계이므로,
SQ의 길이는 RP의 길이의 4배이다.
그런데 SQ의 길이가 바로 Q의 y좌표이므로
따라서 b = a+2 이다.
이제 a값만 구하면 되고,
a에 대한 관계식 하나만 쓰면 된다.
구체적으로 알고있는 숫자인
b와 a 사이의 간격은 2이다.
를 이용할것이다.
Q에서 x축에다 내린 수선에다가
P에서 수선을 내린 뒤
수선의 발을 X라 하면
직각삼각형 BQX가 만들어지며
이 때 빗변 BQ의 기울기는 m이다.
아쉽게도 m이 미지수라 이걸론 a값을 알아낼 수 없으나,
m에 관한 관계식을 하나 더 쓸 수 있다.
QC의 기울기가 -m 이라는것이다.
이제 이 둘을 더하면 m + (-m) = 0이 되어야 하므로
따라서 a = 2/9 이고,
b = a+2 = 20/9 이므로
마무리계산하면
따라서 답은 220
22 )
일단 f(x)의 개형을 어느정도 그려낼 수 있다.
최고차항의 계수가 양수이고 극대를 가지니까,
극소도 가지는 이러한 그래프가 그려질것이다.
이제 g(x)가 x<t 에서 어떤 함수인지 알아볼 필요가 있다.
그다음, 일단 g(x)가 연속인지, 미분가능한지도 볼 필요가 있어보이니
연결지점인 x=t 를 분석해보겠다.
x=t 에서의 좌극한, 우극한, 함숫값 셋다 f(t) 이다.
따라서, g(x)는 x=t 에서 연속이며, 함숫값은 f(t) 이다.
따라서, g(x)는 x<t에서
f(x)를 y=f(t)를 기준으로 접은(대칭이동한) 함수이다.
이건 이해를 돕기 위한 예시이다.
x=t, y=f(t) 를 기준으로
x<t 인 f(x)의 그래프를 그대로 접어올린다.
g(x)가 어떤 함수인지 알았으니
이제 문제 조건을 자세히 해석해보자.
g(x)=0 의 실근을 다루려면
g(x)는 f(x)를 이용해 정의된 함수기 때문에,
f(x)를 분석하면 g(x)를 알 수 있을것이고,
따라서 f(x)를 분석할것이다.
그리고 실근을 다루려면 결국 이 f(x)라는 함수의 그래프에서
x축이 어디에 위치해야 하는가를 알아야 할것이다.
일단 극댓값이 8이니
극대지점보단 아래에 x축이 위치해야 할것이다.
x축이 존재할만한 위치 케이스는 딱 4가지이다.
극댓값이 양수이므로,
극대점 위에 x축이 있는 경우는 생각하지 않는다.
1. 변곡점(극대점과 극소점의 정중앙)
2. 극대와 극소 사이이면서 변곡점이 아닌곳
3. 극솟값
4. 극솟값 아래
------ 1. 변곡점 ------
딱 극대와 극소 정중앙에 x축이 있다고 해보자.
나름 특수한 상황이니 이걸 따로 다루는것이다.
t값을 변화시키면서 h(t)가 어떻게 변하는지 보겠다.
- t가 매우 작은경우
실근은 무조건 4개이다.
따라서, 이때 h(t) = 4 이다.
- f(t)가 극솟값과 같아지는 경우
실근은 무조건 4개이다.
따라서, 이때 h(t) = 4 이다.
이런 식으로 하면,
f(t)가 처음으로 0이 되기 전엔 어차피 항상 h(t)=4 일 것이므로
바로 '불연속이 생길만한 지점'으로 넘어간다.
- f(t)값이 처음으로 0이 되는 경우
이 때 실근은 3개이며, h(t)=3 이다.
그리고, t가 이것보다 아주 조금만 커지면
바로 h(t)=2 가 된다.
h(t)의 함숫값은 3이고 우극한은 2인것이다.
따라서 여기서 h(t)는 불연속이다.(첫번째불연속)
이것도, 이런식으로 하면
t가 극대지점보다 작을땐 어차피 항상 h(t)=2 일 것이므로
바로 다음으로 나오는 특수한 상황으로 넘어간다.
- 극댓값이 뒤집히면서 x축에 접하게 되는 경우
이 순간 h(t)=3 이 되고
좌극한은 2, 우극한은 4이다.
따라서, 이 때 h(t)는 불연속이다.(두번째불연속)
- f(t)가 두번째로 0이 되는 경우
이 순간 h(t)=3 이고
좌극한은 4, 우극한은 2이다.
따라서, 이 때 h(t)는 불연속이다.(3번째불연속)
불연속이 되는 t값이 두 개 여야 하는데,
벌써 3개나 나왔으니
문제조건에 모순이고
따라서 이 상황은 불가능함 을 알 수 있다.
------ 2. 극대와 극소 사이이면서 변곡점이 아닌 곳 ------
여기도 굳이 또 해 볼 필요 없이,
f(x)=0 이 되는 곳(f(x)=0의 실근) 에서
h(t)는 불연속점이 생길수밖에 없으니
불연속점은 최소 3개이고
이 또한 문제조건에 모순이다.
따라서 이 상황은 불가능하다.
------ 3. 극솟값 ------
일단 f(x)=0 인 곳에서는 불연속점이 생길수밖에 없음을 알고있으니
일단 f(x)=0 실근 2개가 바로 불연속점이다.
그리고 문제상황을 맞춰야하니,
더 이상의 불연속점은 등장하면 안된다.
하지만 아까 x축이 변곡점에 있을 때 해봐서 알았듯이
극대점이 뒤집히면서 x축에 접하면
h(t)가 불연속이 된다.
따라서, 이 때도 불연속점은 최소 3개이고
따라서 이 상황 역시 불가능하다.
------ 4. 극솟값 아래 ------
남은게 이거밖에 없으니
이게 정답이 되는 상황일거고
디테일한 값들은,
'f(x)가 x=3에서 8이라는 극댓값을 갖는다'
라는걸 이용해서 정하면 된다.
일단 f(x)=0 인 지점이 하나 있고,
같은 논리로 여기서 h(t) 불연속
또 같은 논리로
극댓값이 뒤집히면서 x축에 딱 접하게된다면
이때도 h(t) 불연속점 1개
더이상 불연속점 생기면 안됨
따라서, g(x)의 그래프는
h(t)가 불연속이 되는 순간 x축과 접해야한다.
만약 접하지 않고 그냥 일반적인 실근이 생긴다면,
h(t)의 불연속점은 2개 추가될테니, 총 3개가 되므로 모순
만약 x축과 만나지 않는다면,
h(t)는 이 때 연속이고
h(t)의 불연속점은 1개밖에 없게되므로 모순
딱 f(x)의 극댓값이 뒤집히면서
그 극댓값이 x축에 접하게 되는 상황을 그려보면
따라서, f(x)의 극솟값은 4이다.
그래야 극댓값인 y=8을 뒤집었더니
y=0 에 접하게 된다는 것이 말이 된다.
(3, 8)을 y=4를 기준으로 대칭이동했으니
(3, 0)이 된것이다.
이제 f(x)의 그래프를 나름 정확하게 그릴 수 있다.
극소점의 x좌표를 k라 하고, k값을 구해보자.
f(x)의 도함수인 f'(x)는 이차함수이므로
정적분을 이용해 k값을 알아낼 수 있다.
이제 k값까지 알아냈으니
f(x)를 전부 작성할 수 있고
마무리계산하면 끝이다.
f(x)는 x=3에서 y=8과 접하며,
y=8과 한번 더 만나는지점을 α라 하겠다.
그럼 f(x)를 이렇게 쓸 수 있다.
α값을 구하기 위해 관계식 하나만 쓰면 되고,
f(5)=4 라는것을 알고있으니 대입만 해주면 된다.
이제 진짜 대입해서 마무리계산하면 끝
문제상황의 f(x)의 그래프를 보여줄테니 참고 바란다.
따라서 답은 58