2023학년도 9월 모의평가 수학 미적분 23번~30번 해설
혹시 본인이 못 푼 문제인데
어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면
이 글을 보지 말것.
남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.
풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나
다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면
매우 환영이다.
원하시는 문제로 바로 가고싶으면
N번 문제로 가고싶다면
N )
이 형태로 검색하시면 됩니다.
예를들어 16번으로 가고싶으면 16 )
쉬운건 빠르게 넘어가면서
비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.
23 )
극한값 계산하면 ln4-ln2 = ln2
따라서 답은 1번
24 )
따라서 답은 2번
25 )
따라서 답은 5번
26 )
흔한 기출문제니 바로 간다.
분자를 4x로 만든건
치환적분 깔끔하게 하기 위해서이다.
따라서 답은 3번
27 )
일단 문제에서 준 대로 표시해보겠다.
E₁은 직사각형의 대각선의 교점이므로
E₁은 저 직사각형의 정중앙에 있는 점이다.
따라서 삼각형 A₂D₁E₁과 삼각형 B₂C₁E₁은 합동이다.
따라서, 첫째 항을 구하기 위해서는
삼각형 하나의 넓이를 구한 뒤 2배 해주면 된다.
직각이등변삼각형이니 한 변의 길이만 구하면 될거고,
한 변의 길이는 대각선의 절반이니, 피타고라스로 구하면
이제 첫째항의 값을 구해주면
따라서, 첫째 항의 값은 17/4 이다.
이제 공비만 구해서 계산하면 끝
우리의 목적은 A₂B₂의 길이를 구하는것이다.
빨간색으로 표시한 두 삼각형이 합동이므로,
삼각형 A₂E₁B₁은 이등변삼각형이다.
따라서 A₂E₂와 B₂E₂는 길이가 같다.
선분 D₁A₂와 선분 D₁B₁은 서로 수직인데,
선분 D₁B₁의 기울기가 -1/4 이므로
선분 D₁A₂의 기울기는 4이다.
기울기가 4라는건 tan값이 4라는거고
우리는 D₁A₂의 길이를 알고있으니
삼각비 이용하면 길이를 다 알아낼 수 있다.
따라서 이 직각삼각형의 밑변은 1/4 이다.
E₁은 직사각형 A₁B₁C₁D₁ 의 중점이고,
삼각형 A₂E₁B₂가 이등변삼각형이므로
A₂E₂ 의 길이는 2 - 1/2 = 3/2 이다.
따라서, R₁에서의 도형과 R₂에서의 도형은
2 : 3/2 라는 길이의 닮음비를 가지고 있으며
따라서 넓이의 닮음비는
따라서 r = 9/16 이고, 마무리계산
따라서 답은 3번
28 )
나의 문제풀이스킬이 꽤 많이 들어간 문제라서,
이 문제는 맞았더라도 일단 해설을 읽어보는걸 추천한다.
문제에서 준 정보만 표시해보겠다.
이제 f(θ)와 g(θ)를 구하기 위한 작전을 세워야하는데,
f(θ)는 이등변삼각형인거 바로 보이니까 쉽다 쳐도
g(θ)는 꽤 만만치 않아보이니
g(θ)를 구하는 방법을 생각해보자.
OP와 DE는 평행하므로,
∠ADE = θ 이며,
따라서 삼각형 AOP와 삼각형 ADE는
공통각을 갖고, 각 하나가 θ로 똑같으니
AA 닮음이다.
그런데, 삼각형 AOP는
두 변의 길이가 1로 같으므로(원의 반지름)
이등변삼각형이다.
따라서 삼각형 ADE도 이등변삼각형이다.
따라서, AD의 길이와 DE의 길이가 같다.
구하려는 넓이가 둘다 이등변삼각형이므로,
변의 길이 찾고, 그 두 변 사이의 끼인각 찾아서
계산하면 끝날것이다.
근데 난 여기서 어떻게 할거냐면,
최종적으로 묻는 식의 형태를 보자.
f와 g의 '비율'을 구하라는 문제이다.
따라서, 꼭 f(θ)와 g(θ)를 둘다 θ로만 표현할 필요는 없다.
둘의 '비율관계'만 구하면 되는거다.
예를 들어, g(θ)는 f(θ)의 3θ배 이다? 라고 구했으면
그냥 그대로 g(θ) = 3θf(θ) 대입하면 되는거다.
비율을 구하기 위해, 이런 아이디어를 쓸것이다.
변 PD의 길이를 x로 잡는다.
이제 f(θ)를 구해보자. 아마 x에 대한 식이 나오겠지만
어차피 하다보면 g(θ)도 x에 대한 식이 나오면서
마지막 계산에서 x가 약분될것이다.
f(θ)를 구하려면, 두 변 사이의 끼인각을 알아야한다.
삼각형 AOP와 삼각형 APD는
둘다 이등변삼각형이고, 공통인 밑각을 갖고 있으므로
삼각형 AOP와 삼각형 APD는 AA 닮음이다.
따라서, ∠APD = θ 이다.
그리고, 삼각형 OAP와 삼각형 POC 또한
각각의 대응변의 길이가 모두 같으므로, 둘은 합동이다.
따라서, ∠POC = θ 이다.
이제 끼인각 ∠CPD = α라 하고 α값을 구해보겠다.
그림이 꽤 복잡하니 설명해주겠다.
원 안에 사각형 AOCP가 나왔으니
원에 내접하는 사각형인가 하고 봤더니
O는 원 위의 점이 아니라서 원에 내접하는 사각형이 아니다.
따라서, 원에 내접하는 사각형으로 만들기 위해
원을 연장해서 그린 뒤 거기에 원주각을 만든다 치면
중심각이 2θ이므로 원주각은 중심각의 절반인 θ이다.
이러면 원에 내접하는 사각형이 완성되었고,
원에 내접하는 사각형은 마주보는 두 각의 합이 π이므로
(α+θ) + θ = π, ∴ α = π-2θ 이다.
따라서, 이제 f(θ)를 구하면
드디어 g(θ)를 구할 차례이다.
g(θ)의 한 변의 길이는 어렵지 않게 구할 수 있다.
g(θ)의 한 변의 길이는
윗각(꼭지각)이 θ이고
밑변이 아닌 변의 길이가 x인
이등변삼각형 APD의
밑변의 길이이다.
P에서 DA에다 수선의 발을 내리면
빗변의 길이가 x이고 각 하나가 θ/2인 직각삼각형이 완성되니
삼각비 적용하면 된다.
이제 g(θ)를 구하면
이제 마무리하면 된다.
따라서 답은 4번
29 )
이게 어렵게 느껴지는 이유는
그냥 문제가 말이 너무 많다.
x도 있고 t도 있고 s도 있고 g(t)에다가 f(s)에다가 역함수에다가
복잡하긴 한데, 이런 문제는
쏟아져 나오는 함수와 변수들을 잘 정리해서
관계식만 몇개 써주면 깔끔하게 풀린다.
1. 구하고자 하는것이 무엇인가?
2. 그걸 구하려면 알아야 할 것이 무엇인가?
이 정도만 파악한 뒤,
관계식 몇개 써주면 된다.
1. 구하고자 하는것
h'(1)을 구하는 문제이다.
h(t)는 g(t)의 역함수이므로,
역함수의 미분법을 이용하면 될것이다.
역함수이므로, h(g(t))=t 라는 식은 항상 성립하고(항등식),
이걸 미분하면 h'(1)을 구할 수 있다.
따라서, h'(1)을 구하라는 건 다르게 말하면
g(t)=1 일 때, 1/g'(t) 의 값을 구하시오. 라는 뜻이다.
2. 그걸 구하려면 알아야 할 것
일단 g(t)=1 을 만족하는 t값부터 찾아보자.
그러려면 g(t)가 뭔지도 알아야한다.
근데 문제를 보면 꽤나 간단하다.
g(t)는 그냥 f(s)이다.
주의할건, g(t)의 정의 자체가 f라는 함수이다 라는건 아니고
f(s)의 '값'을 t에 대한 함수 g(t)로 쓰겠다는 말이다.
아직 s와 t 사이의 관계까지는 잘 모르겠다.
아무튼 특별한 관계가 있음은 분명하고
그렇다는건 s와 t 사이의 관계식을 적을 수 있다는것
우리는 g'(t)를 알아야하니,
양변을 t에 대해 미분한다 치면
그런데, 우리는 f(x)를 전부 알고있으니
f'(s)도 알 수 있다.
s값도 구한다 치면
g(t)=f(s)=1 일 때를 보는거니까
f(s)=1 의 실근은 s=0 이고
따라서, g(t)=1 일 때, g'(t)의 값은
아래와 같다.
따라서, 우리는 ds/dt 의 값만 구하면 되고,
이는 다시 말하자면
's와 t 사이의 관계식을 쓴 뒤 미분하라' 는 뜻이다.
3. 구해야 할 것 알았으면 풀기
아직 s와 t의 관계는 모르기때문에
s와 t 사이의 관계식을 적어줘야하는데,
아직 한 번도 쓰지 않은 조건이 있다.
(t, 0)과 (x, f(x)) 사이의 거리가 최소가 될 때의 x값을 s라 하고,
그 때의 함숫값 f(s)를 g(t)라 하자. 는 것이다.
문제 상황 이해를 위해, 임의로 (t, 0)을 잡고
거리가 최소가 되는 상황을 구해보자.
(t, 0)과 (x, f(x)) 사이의 거리가 최소가 될 때는
(t, 0)에서 (x, f(x))를 연결하면
그게 (x, f(x)) 에서의 f(x)의 접선이 되면서
"(t, 0)과 (x, f(x))를 연결한 선이 접선과 수직하게 되는 때"이다.
'점과 직선 사이의 거리'를 구할 때와 비슷한 논리이다.
하지만 이 거리를 직접 구할 필요는 없다.
우리의 목적은 어디까지나 's와 t 사이의 관계식' 이기 때문이다.
그래서, 방금 접선과 수직인 걸 알아냈으니
이걸로 s와 t 사이의 관계식을 쓸거다.
s와 t 사이의 관계식을 알았으니,
이제 양변을 미분해서 ds/dt 알아내서
이 식에 대입하면 끝이다.
진짜 마무리계산
따라서 답은 3
30 )
거의 수학2 문제
(가) 조건부터 볼건데,
-3 이하인 모든 x에서 함숫값은 f(-3) 이상이다.
즉, x≤-3 에서 f(x)의 최솟값은 f(-3)이다.
일단은 이정도로밖에 모르겠는 게,
f(x)가 사차함수라는것 이외엔 딱히 정보가 없어서
여기서 더이상 뭔가를 알아낼 게 없다.
그래서 (나) 조건으로 넘어갈것이다.
이 식은 x>-3 의 범위에서 항상 성립한다.
따라서, x>-3 인 범위 내에서는 항등식처럼 취급해도 문제가 없다.
일단, x>-3 에서 항등식이므로, x=0을 대입해도 성립할것이다.
왜 x=0을 대입하냐면, x=0을 대입하면 좌변이 0이 되기 때문이다.
따라서, f'(0)=0 이다.
그리고, 해볼 수 있는게 아직 하나 더 있다.
아직 사용하지 않은 문제 조건 이 있다.
g(x)는 x>0 에서 항상 0 이상이다.
문제 조건중 g(x)가 들어가는 식이 하나 있는데,
바로 (나)조건이다.
x>0 에서 g(x)≥0 이므로,
x>-3 에서 g(x+3)≥0 이다.
따라서, 좌변은 항상 0 이상이다.
따라서 우변인 f'(x)도 0 이상이며,
따라서 이런 결론을 얻는다.
1. x≤-3 에서 f(x)의 최솟값이 f(-3) 인것
2. f'(0)=0 인것
3. f(x)는 x>-3 에서 증가함수인것
이 세가지를 감안하여 f(x)의 그래프를 추론해보자면,
f'(x)는 x=3을 기준으로 음수에서 양수가 되므로,
f(x)는 x=-3 에서 극소이다.
x>-3 에서 f(x)는 증가만 해야하는데,
f'(0)=0 이므로,
결론짓자면 f(x)의 그래프는 아래와 같다.
x=-3 에서 극소를 갖고,
x=0 에서 기울기가 0이 된다.
그럼 이제 f(x)를 어느정도 적을 수 있다.
어차피 g(x)를 적분할거고, g(x)에 관한 관계식이 이거밖에 없으니
이걸 이용할건데,
f(x)의 구체적인 함숫값은 주지 않았으나,
f(0) 과의 관계로써 간접적으로 f(x)를 알려주었다.
따라서, f(x)를 이렇게 적을거다.
f(x)-f(0)=0 이라는 방정식은
x=0 에서 '삼중근'을 가지며
x=α 에서 '실근'을 가진다.
그리고 f(x)-f(0)은 최고차항의 계수가 1인 사차함수이다.
α값을 구하기 위해서는 관계식 하나 쓰면 될거고
x=-3 에서 f'(x)=0 임을 이용할것이다.
이제 f(x) 추론 다했으니 g(x)의 적분 계산만 하면 끝
근데 약간의 문제가 있다.
(나) 조건에서 제시한건 g(x)가 아니라 g(x+3) 이다.
이럴 땐 두 가지의 선택지가 있다.
(나) 의 관계식에서 g(x+3)을 g(x)로 바꾸던가
적분식에서 g(x)를 g(x+3)으로 바꾸던가
난 후자를 택하겠다.
그게 훨씬 계산이 편하기 때문이다.
이제 g(x+3)만 어떻게 표현해서 적분하면 끝이다.
p+q = 283
따라서 답은 283