힘과 운동 #2 - 물체의 평형
- 개요 -
내용은 아주 간단한데
문제는 수능 시험지 4페이지에서 나온다.
최소 준킬러급이라는 뜻
- 물리I 복습 -
이 전에
일과 에너지, 역학적 에너지 보존
이 두개를 배우는데
물리I과 내용이 완전히 겹치는거라 건너뛰었다.
모른다면 아래 두 글 참고
https://zhonya.tistory.com/5?category=996050
힘과 운동 #4 - 운동량 보존 법칙과 충돌
이번에 다룰 것은 '운동량'이라는 물리량이다. - 운동량 - 운동량(momentum) : 물체의 운동 정도를 나타낸 물리량. 질량과 속도의 곱이다. 보통 p라고 쓴다. 수식으로 나타내면 속도는 벡터이므로 운
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(충돌은 물리II에 없는 내용이라 몰라도 된다.)
https://zhonya.tistory.com/6?category=996050
에너지와 열 #1 - 일과 에너지, 역학적 에너지 보존
지금부터 다룰 것은 물리1에서 가장 중요하며 가장 어려운 내용이다. 최근에 물리1이 개정되며 돌림힘은 물리2로 넘어갔고 유체역학은 사라졌기때문에 사실상 거의 무조건 킬러문제가 출제되는
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물리II니까 조금 어려운 예제로 복습하고 넘어가겠다.
- 복습 끝 -
시작
- 역학적 평형 -
밀도가 균일하고 질량 M인 물체가 정지해있다고 해보자.
어떻게 정지해 있을수 있는걸까?
물체에 작용하는 중력과
지면이 물체를 떠받치는 힘이
힘의 평형 관계이기 때문이다.
이처럼 물체가 운동 상태의 변화 없이 '정지'해 있는 상태를
역학적 평형이라 한다.
이것도 정지해있다.
물체에 작용하는 중력과
삼각형 받침대가 떠받치는 힘이
힘의 평형 관계이기 때문이다.
그럼 이건?
이게 정지해 있을 수 있을까?
힘의 평형은 맞는거같은데
물체가 시계방향으로 기울어져서
평형이 무너질거같이 생기지 않았는가?
물체에 작용하는 힘을 표시해보겠다.
N은 받침대가 물체를 떠받치는 힘이다.
일단 질량 M인 물체가
받침대를 미는 힘과
받침대가 물체를 미는 힘은
작용 반작용 관계이기 때문에
N=Mg인건 자명하다.
결론은 힘의 평형은 맞는데
힘의 균형이 안맞아서 무너지는것이다.
따라서 이때는 정지한게 아니기때문에 역학적 평형 상태가 아니다.
여기서 힘의 균형을 기술하는게 '돌림힘'이다.
- 돌림힘 -
돌림힘 : 물체를 회전시키는 효력을 나타내는 물리량
기호는 보통 τ다.
토크(torque) 또는 모멘트(moment)라고 부른다.
주의할 건
돌림힘은 '힘(force)'이 아니라 '모멘트(moment)'이다.
명칭을 잘못 붙였다고 생각한다.
힘은 물체의 변위를 만드는 작용인데
돌림힘은 아무리 커봤자 제자리에서 빙빙 돌 뿐이지
그 물체의 '변위'에는 아무런 영향을 주지 않을것이다.
따라서 힘이 아니다.
사실 직관적으로 이해하기는 토크 모멘트 이런것보단
돌림힘 이라고 하는게 이해가 쉽긴 하다.
돌림힘의 크기는 힘과 받침점까지의 거리의 벡터곱이다.
참고로 여기서 벡터곱은 벡터의 외적 이라는건데
고등학교 과정이 아니니 몰라도 된다.
벡터를 내적 연산하면 스칼라가 나오는데
외적 연산하면 벡터가 나온다.
따라서 돌림힘은 벡터이다.
돌림힘의 크기는 힘의 크기 × 받침점까지의 거리 이다.
여기서 받침점까지의 거리라는건
물체의 회전축으로부터 힘의 작용점까지의 거리를 말하는거다.
이정도만 알면 된다.
- 질량 중심 -
말 그대로 질량의 중심이다.
물리학에서는 질량 중심으로 이해하면 된다.
질량 중심은 구하는 공식이 있는데
사실 이 부분은 교육과정 밖이기 때문에 몰라도 되지만
매끄러운 설명을 위해 적당히 설명해주자면
물체는 수많은 입자로 구성되어 있을테고
그 수 많은 입자들이
각각 질량을 갖고 있을것이다.
그래서 그 수 많은 입자들의 위치와 질량을 곱한 값을
전부 더한다음
전체 질량으로 나누면
질량의 평균 위치가 나올 것이다.
여기가 질량 중심이다.
밀도가 균일하면
질량 중심은 물체의 중앙지점이다.
물리II에서는 밀도가 균일한 물체만 문제로 나오므로
질량 m인 물체가 있으면
중력 mg의 작용점을
물체의 중앙으로 잡으면 된다.
아까 그림에서도 그렇게 했다.
그럼 이 그림이 평행을 이루게 하려면 어떻게 하면 될까?
물체가 시계방향으로 돌지 못하게
반시계방향의 돌림힘을 주면 된다.
이런 식으로.
이게 만약 물체가 평형을 이뤄 가만히 있다고 해보자.
이제 돌림힘을 적용해보자.
돌림힘의 중심점은 아무데나 잡아도 되는데
난 질량 M인 물체의 중심에 잡아보겠다.
이때 돌림힘을 적용하려 해보면
고등물리 수준에서 해결할 수 없는 문제가 생긴다.
힘의 작용점을 파란 동그라미로 표시해봤다.
이제 돌림힘 공식을 써보자.
돌림힘 공식은
이건데 우리는 벡터의 외적을 모른다.
이걸 연산하면
τ = Frsinθ 이 나온다.
θ 는 힘 벡터와 거리 벡터 사이의 각이다.
그래서 이런식으로 각을 가지고 연산해야하는데
고등학생은 벡터의 외적을 안배우니 이런거 안시킨다.
따라서 고등물리에서는
'물체의 두께와 폭은 무시한다' 라는 문장 하나로
두께와 폭이 0이고 질량 M인 막대로 만들어버린다.
따라서 두께와 폭이 없는 막대기 때문에
τ = Frsinθ 에서 θ는 90˚ 이고
따라서 τ = Fr 이다.
벡터의 외적을 안배우기 때문에
그냥 고등물리에선 무조건 τ = Fr이다.
근데 여기서 F는 대충 알겠는데
r은 뭘로 잡아야 할까?
자기가 원하는 대로 잡으면 된다.
아까 회전의 중심점을 아무데나 잡아도 된다고 했다.
그니까 자기가 돌림힘의 중심점을 어디로 잡냐에 따라
r이 달라지는것이다.
r은 중심점과 힘의 작용점 사이의 거리니까.
파란 동그라미 친곳 모두 중심점으로 잡아도 된다.
1. 일단 막대와 평행한 지점에다가 잡아야
벡터의 외적따위를 안해도 되니 편할거고
2. 힘이 작용하는 지점에 잡아야
r = 0이 되니까 계산하기 편할거다.
그니까 돌림힘 문제를 풀때
돌림힘의 중심축은 자기가 편한대로 잡으면 된다.
예를 들어 저기서 질량 M인 막대의 중간지점을 중심축으로 잡았다고 해보자.
물체는 정지해있다.
즉 돌림힘이 평형을 이루고있다.
이때 N₁ 힘이 만드는 돌림힘은
τ = Fr = N₁ × ℓ₁
Mg 힘이 만드는 돌림힘은
τ = Fr = Mg × 0 = 0
N2_ 힘이 만드는 돌림힘은
τ = Fr = N₂ × ℓ₂
물체가 정지해 있으므로 돌림힘이 평형을 이루고 있다.
따라서 반시계방향 돌림힘과 시계방향 돌림힘은
크기가 같다.
근데 N₁ 힘이 만드는건 시계방향이고
N₂ 힘이 만드는건 반시계방향이므로
시계방향 = 반시계방향
따라서 N₁ℓ₁ = N₂ℓ₂
이번엔 저기서 오른쪽 받침대를 중심축으로 잡았다고 해보자.
물체가 정지해 있으므로 돌림힘이 평형을 이루고 있다.
따라서 반시계방향 돌림힘과 시계방향 돌림힘은
크기가 같다.
따라서 이때도 돌림힘 공식을 적용하면
N₁(ℓ₁+ℓ₂) = Mgℓ₂
추가로, 물체가 정지해 있다는건
질량 M인 물체에 작용하는 중력과
두 받침대가 물체를 떠받치는 힘이
힘의 평형 관계이다.
따라서 N₁ + N₂ = Mg이다.
이해했는지 간단한 예제로 묻고 가겠다.
밀도가 균일하고 질량이 M이고 길이가 4L인 막대가
두 받침대 A, B 위에 올려져서
가만히 정지해있다.
이때 막대 왼쪽 끝과 받침대 A 사이의 거리는 L이고
막대 오른쪽 끝과 받침대 B 사이의 거리는 x이다.
막대의 두께와 받침대의 크기는 무시한다.
1. 두 받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기의 합은?
2. A가 막대를 떠받치는 힘의 크기가 Mg/2 일때
A와 B사이의 거리는?
3. B가 막대를 떠받치는 힘의 크기가 Mg/3이 되도록 하는
x의 값은?
4. 막대가 균형을 유지하기 위한 x의 최댓값은?
1)
막대는 정지해있기 때문에
받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기의 합은
막대에 작용하는 중력의 크기와 같다. 따라서 답은 Mg
2)
A의 길이가 4L이고
막대의 밀도는 균일하므로
막대의 질량중심은 2L이다.
첫번째 풀이 :
A와 B 사이의 거리를 d라 하고
A를 회전축으로 잡으면
시계방향 돌림힘 = 반시계방향 돌림힘 이므로
시계방향 돌림힘 : 질량 M인 물체에 작용하는 중력에 의한 돌림힘
반시계방향 돌림힘 : B가 막대를 떠받치는 힘에 의한 돌림힘
따라서
Mg x (A와 막대의 질량중심 사이의 거리)
=
(B가 막대를 떠받치는 힘) x d
A가 막대를 떠받치는 힘이 Mg/2이므로
B가 막대를 떠받치는 힘도 Mg/2이다.
따라서 MgL = Mgd/2
따라서 답은 d = 2L
두번째 풀이 :
A가 떠받치는 힘이 Mg/2이므로
B가 떠받치는 힘도 Mg/2이다.
막대의 질량중심을 회전축으로 잡으면
A가 떠받치는 힘에 의한 돌림힘과
B가 떠받치는 힘에 의한 돌림힘의 크기가 같아야한다.
근데 두 힘은 크기가 같고
막대의 질량중심에서 A 사이의 거리가 L이므로
막대의 질량중심에서 B 사이의 거리도 L이고
따라서 A와 B 사이의 거리는 2L이다.
3)
B가 막대를 떠받치는 힘의 크기가 Mg/3 이므로
A가 막대를 떠받치는 힘의 크기는 2Mg/3 이다.
첫번째 풀이 :
막대의 오른쪽을 중심축으로 잡고 돌림힘 공식을 쓰면
시계방향 = 반시계방향
xMg/3 + 2Mg/3 × 3L = 2LMg
정리하면 x = 0
두번째 풀이 :
A가 막대를 떠받치는 힘의 크기 : B가 막대를 떠받치는 힘의 크기 = 2 : 1
이므로
막대의 질량중심에서 A까지의 거리 : 막대의 질량중심에서 B까지의 거리 = 1 : 2
를 만족한다.
막대의 질량중심에서 A까지의 거리는 L이므로
막대의 질량중심에서 B까지의 거리는 2L이고
따라서 x = 0이다.
아까부터 첫번째풀이는 식을 써서 풀고
두번째풀이는 식 없이 직관력을 활용해
논리로만 푸는걸 볼 수 있다.
직접 해보면 두번째 풀이가 시간이 덜 걸린다.
이처럼 어떤 방향으로 푸느냐에 따라
풀이 난이도와 시간이 차이가 많이 난다.
이건 문제를 많이 풀어서 감을 잡는 수 밖에 없다.
여기선 아주 단순하게 문제가 제시되었기 때문에
큰 차이가 없는것처럼 보이지만
수능에서는
저기서 물체 2개정도 더 올린다음 줄 3개정도 더 매단다.
과장이 아니라 진짜다.
2019학년도 9월 평가원 20번 문제에서 제시된 그림이다.
이건 아래 예제로 넣어서 풀어주겠다.
4)
이건 수능의 단골 소재다.
저게 무슨말인지부터 이해할 필요가 있다.
그림으로 천천히 설명하겠다.
x의 최댓값이라니까 x를 점점 증가시켜보겠다.
만약 B가 없다고 생각해보자.
그러면 바로 균형이 시계방향으로 무너진다.
즉 B가 반시계방향의 돌림힘을 만들어주고 있기 때문에
막대가 가만히 있을수 있는것이다.
따라서 이렇게 x를 증가시키다보면
어느 순간 B는 질량중심을 왼쪽으로 지나가버려서
막대의 질량중심의 오른쪽에서 받쳐주던
B의 반시계방향 돌림힘이 사라져버리게 된다.
그러면 균형을 잃게 되는 것이다.
그러므로 x가 막대의 질량중심인 2L을 지나는 순간
B가 막대에 작용하는 돌림힘은
반시계방향에서 시계방향으로 변하고
균형을 잃게 된다.
따라서 균형을 잃지 않기 위한 x의 최댓값이라는건
균형을 잃기 바로 직전의 상태가 어떻냐고 묻는것이다.
그 상태는 언제일까?
B가 질량중심을 지나면서
더이상 반시계방향 돌림힘이 없어져버릴때이다.
즉 B가 질량중심인 지점이
막대가 평형을 유지할 수 있는 마지노선이다.
따라서 답은 2L이다.
식으로 써보면 이해가 쉽다.
A가 떠받치는 힘을 Fa
B가 떠받치는 힘을 Fb라 하고
막대의 질량중심을 중심축으로 잡으면
3LFa = (2L-x)Fb
일단 Fa는 음수가 될 수 없다.
x>2L이면 우변이 음수가 되어 이 식이 성립하지 않는다.
즉 균형을 잃는다.
이때 A가 막대를 떠받치는 힘이 0이 된다.
균형을 잃었다면 막대는 A에서 떨어질것이고
A가 막대를 미는일 따위는 일어날 수 없다.
따라서 균형을 잃게 될때까지 Fa는 점점 작아지다가
0이 되는 순간 균형을 잃게 될것이다.
이런 느낌으로 이해하면 된다.
따라서 3LFa = (2L-x)Fb 여기서
Fa=0인 순간 균형을 잃으므로
x의 최댓값은 (2L-x)Fb = 0이 되도록 하는 값이고
따라서 x = 2L이다.
- 돌림힘 단원에서의 도르래와 축바퀴 -
두 가지만 알면 된다.
1. 한 줄에서 장력의 크기는 어느 곳에서나 동일하다.
2. '축바퀴'는 큰 바퀴와 작은 바퀴가
중심축을 중심으로 고정되어 '같이' 돌아가는 장치이다.
반지름이 큰 바퀴에 힘을 작용하면
작은 바퀴에 큰 힘이 전달된다.
줄을 연결한다면
줄 하나로 연결하는게 아니라 줄 두개로 각각 하나씩 연결한다.
따라서 문제에 축바퀴가 등장하면
큰 바퀴와 작은 바퀴에 걸리는 장력의 크기를 구할때
돌림힘을 적용해야한다.
쉽게 말해서 큰바퀴의 반지름이 2d
작은바퀴의 반지름이 d면
거리가 2:1이니까 힘은 1:2이다.
이 부분은 예제에서 한번 풀어줄것이다.
- 예제 -
원래 물리I에 있던 내용이
최근에 물리II로 넘어온거라
대부분이 물리I 문제이다.
웬만하면 아주 쉬운것부터 시작하고싶었는데
대부분이 어려운 문제라 어쩔수없다.
1 )
이거 못풀면 아래 문제풀지말고 내용 다시읽어야된다.
이걸 못푼다는건
돌림힘 문제를 푸는 기본 사고과정을 따라가지 못한다는것이다.
O를 회전축으로 했을때 돌림힘의 합이 0이라 했으므로
시계방향 = 반시계방향 이다.
②번 식을 보면
시계방향 = 반시계방향 임을 이용해
반시계방향 - 시계방향 = 0 이라는 식을 세운것이다.
(Fb의 돌림힘 방향은 반시계방향이다)
따라서 시계방향 돌림힘이 3mgL + (가) 라는 것이다.
3mgL은 그림상 질량 m인 물체에 적용한 돌림힘이다.
그러면 (가)는 질량 2m인 막대에 적용한 돌림힘이고
따라서 (가) = 2L x 2mg = 4mgL
①번 식과 ②번 식을 연립해보자.
우선 ②번 식에서 4FbL = 3mgL + 4mgL 이므로
Fb = 7mg/4 이다.
①번 식에서 Fa + Fb - 3mg = 0이므로
Fa = 3mg - 7mg/4 = 5mg/4
따라서 답은 2번
2 )
일단 위아래 힘이 평형이므로
T = 3mg + F 이다.
T도 모르고 F도 모르니
당연히 T의 작용점이나 F의 작용점을 회전축으로 잡는게
풀기 쉽다.
난 T의 작용점을 회전축으로 잡아서 풀겠다.
T의 작용점을 회전축으로 잡아서 돌림힘의 평형을 적용하면
5mgL + 2mgL = 3FL
일단 이번 문제까지만
식이 어떻게 이렇게 나왔는지
친절히 설명해주겠다.
5mgL은
거리 5L인 지점에서 줄이 당기는 힘 mg이므로
mg × 5L = 5mgL이다.
2mgL은
회전축으로부터 막대의 질량중심까지의 거리가 L이고
막대의 질량이 2m이므로
2mg × L = 2mgL이다.
3FL은
거리 3L인 지점에 힘 F가 작용중이니
F × 3L = 3FL이다.
따라서 F = 7mg/3
따라서 T = 16mg/3
따라서 답은 1번
3 )
작은 축바퀴에 연결된 실이
막대를 당기는 힘을 T라 하면
반지름 2r에 작용하는 장력이 mg이므로
2rmg = rT
따라서 T = 2mg
천장에 매달린 실의 장력은
M을 모르기 때문에 구하기 곤란하다.
굳이 구하자면
T + 2mg = 8mg + Mg 라서
T = Mg-6mg이다.
따라서 여기서 돌림힘 식을 쓸때
T를 대입하면 식이 더러워진다.
따라서 T의 작용점을 회전축으로 잡을것이다.
돌림힘 평형 공식 쓰면
MgL/3 + 3L × 2mg = 8mgL
정리하면 M = 6m
따라서 답은 4번
4 )
x의 최댓값을 구한다?
A를 오른쪽으로 이동시켰을때 균형이 무너지는 지점을 구하라는거다.
A를 계속 오른쪽으로 움직이면
A가 만드는 돌림힘의 크기가 작아지면서
결국 시계방향으로 균형이 무너진다.
그러면 D가 전체적으로 C를 떠받치던게
D의 오른쪽 끝부분으로만 C를 떠받치게 될것이다.
그림으로 나타내자면 이렇게 된다는거다.
따라서 x가 최댓값인 순간은 돌림힘 평형이 무너지기 직전인 순간이고
D의 왼쪽 부분이 떠받치는 힘이 0이 되는 순간이다.
이제 돌림힘 평형을 적용하면 되는데
회전축을 어디로 잡느냐는 취향이라 생각한다.
난 개인적으로
C의 왼쪽 끝지점으로 잡아버린다.
D의 오른쪽 끝으로 잡으면
A의 돌림힘 식 쓸때 헷갈리고
C의 왼쪽 끝지점으로 잡아버리면
아래방향 힘은 무조건 시계방향이고
위방향 힘은 무조건 반시계방향이라
난 개인적으로 이게 더 편하고 빠르다.
D의 오른쪽 끝으로 잡고싶으면 그렇게 해도 상관없다.
나는 C의 왼쪽 끝을 회전축으로 잡고 돌림힘을 쓸것이다.
따라서 답은 4번
5 )
모래주머니의 질량이 작아지면 어느 순간 평형이 깨진다고 한다.
모래주머니의 질량이 작아지면 깨진다했으니
그냥 모래주머니가 없다고 생각해보자.
그러면 A가 시계방향으로 평형이 무너진다는걸 알 수 있다.
그러면 C막대를 받치는 두 받침대중
오른쪽 받침대가 받치는 힘이 0이 된다는걸 알 수 있다.
B가 C를 누르는 힘을 F라 하고
왼쪽 받침대를 회전축으로
돌림힘 평형을 쓰면
Fd = 2mgd
따라서 F = 2mg
근데 F = A가 B를 누르는 힘 + B의 무게 이다.
B의 무게가 mg 이므로
A가 B를 누르는 힘은 mg이고
작용반작용에 의해 B가 A를 떠받치는 힘도 mg이다.
이때 A를 받치는 받침대를 회전축으로 하고
모래주머니의 질량을 M이라 하고 돌림힘 평형을 쓰면
MgL + mgL = 3mgL/2
따라서 M = m/2
따라서 답은 2번
6 )
축바퀴 문제 풀때 꿀팁이 있다.
우선 왼쪽 실이 당기는 힘을 F라 하면
축바퀴의 돌림힘 평형에 의해
오른쪽 실이 당기는 힘은 3F이다.
근데 이걸 구할때
'축바퀴의 중심'을 회전축으로 구하지 않았는가?
즉 이말은
축바퀴의 중심을 질량중심처럼 생각해도 된다는말이다.
여태까지 돌림힘 풀면서
질량중심에다가 Mg 화살표를 그을수 있는건
질량 M이고 밀도가 균일한 물체의 수많은 입자들의 중력이 모여
질량 중심은 결국 물체의 가운데 부분이고
이 물체에 작용하는 중력은
결국 질량중심에서 전체질량 M에 가속도 g를 곱한
Mg와 같이 된다 라고 했기 때문에 가능한거다.
요약하자면,
저 축바퀴는
축바퀴의 중심부분에 (F+3F=)4F인 힘을 작용한것과 같다고 볼수 있다.
당연히 문제의 오른쪽 축바퀴도 똑같이 적용할 수 있다.
이해 안되면 직접 저 힘들 하나하나 가지고 돌림힘 식을 써보면 감이 올것이다.
어차피 정리하면 똑같은데
쓸데없이 식만 길어지게 만드는구나 싶을것이다.
다시 문제로 넘어와서
(가) 그림의 힘을 표시하면
A축바퀴의 중심을 회전축으로 잡고 돌림힘 평형을 적용하면
( 막대의 무게 = W' )
6aW' = 10a × 5T/3
따라서 W' = 25T/9
다음 (나)그림의 힘을 표시하면
주의할건 이때 A 축바퀴가 당기는 힘의 크기는
같다고 보장할수 없다는것이다.
그래서 4F'이라 표시했다.
어쨌든 A 축바퀴의 중심을 회전축으로 돌림힘 평형을 쓰면
6aW' + 10aW = 10a × 10T/3
W' = 25T/9 이므로
대입해서 정리하면 W = 5T/3이 나온다.
따라서 W' = 5W/3 이다.
따라서 답은 4번
7 )
기둥의 길이는 필요도 없고 쓸데도 없는 문제였다.
그냥 길이가 같은 적당한 길이의 기둥이다 를 표현하고 싶었던거같다.
우선 기둥이 떠받치는 힘이 모두 같다 했다.
이걸 F라 하면
2F = 지붕의 무게 가 된다.
지붕의 무게를 M이라 하면
Mg = 2F
바닥재에서의 힘의 평형 식을 쓰면
위쪽 방향 힘 = 아래쪽 방향 힘
4F = Mg + 2mg(바닥재) + 2mg(기둥 2개)
2F = Mg 이므로 정리하면
M = 4m 이고 F = 2mg이다.
이제 바닥재에서 돌림힘 평형을 쓸건데
오른쪽 끝에 무려 2개의 기둥이 달려있다.
따라서 나는 오른쪽 끝을 회전축으로 할것이다.
따라서 답은 4번
8 )
따라서 답은 3번
난 이문제 처음 만났을때
M = 5m인것까지 구했는데
결국 구할필요 없는 문제였다.
9 )
m에다가 M₁에다가 M₂에다가 x에다가 난리가 났다.
당황하지 말고 차근차근 하자.
맨 위 M₁ 부분을 보면
왼쪽 막대가 떠받치는 힘 + 오른쪽 막대가 떠받치는 힘 = M₁g
이라는걸 알 수 있다.
막대의 길이가 8L이므로
M₁막대의 질량중심은
왼쪽 막대에서 오른쪽으로 L만큼의 거리에 있다.
질량중심에서 돌림힘 평형을 쓰면
왼쪽막대까지의 거리 : 오른쪽막대까지의 거리 = 1 : 3 이므로
두 막대는 각각 3 : 1로 M₁g의 무게를 나눠갖게된다.
여기까지 알아냈다.
이제 중간에 M₂인 놈들의 돌림힘 평형을 써보자.
녹색 선을 회전축으로 놓고 각각 돌림힘 평형을 쓰면
따라서 M₂ = 2m , M₁ = 4m 이다.
일단 결국 마지막에
맨 아래 M2막대에서 돌림힘 평형을 쓸텐데
저기서 각각의 막대가 누르는 힘을
mg로 표현해놓지 않으면
결국 마지막 막대에서 mg씩 더해줘야되는데
식이 더러워져서 상당히 귀찮아진다.
따라서 각각의 막대가
수직하게 세운 막대를 누르는 힘을
미리 mg로 나타내줄것이다.
그럼 여기까지 되고
마지막 막대에서 돌림힘 평형을 적용하면 된다.
마침 받침대가 M₂ 질량중심에 있다.
M₂막대의 질량중심을 회전축으로 잡아서
돌림힘 평형을 적용하면
7mg(4L-x) = 5mg{ 4L-(2L-x) }
따라서
28mgL - 7mgx = 10mgL + 5mgx
따라서 x = 3L/2 이다.
따라서 답은 2번
10 )
ㄱ)
힘의 평형을 적용하면
위쪽방향 힘 : a장력과 b장력
아래쪽방향 힘 : 공 중력과 막대A 중력
따라서 a와 b의 장력의 합은
막대 A의 무게 + 공의 무게 이다.
따라서 공의 위치에 상관없이 실 a, b가 A를 당기는 힘의 합은 같다.
ㄴ)
p는 수평 유지 가능한 공의 위치중
A 위의 가장 왼쪽 지점이다.
따라서 공이 p에서 조금만 왼쪽으로 가면
막대 A가 반시계방향으로 평형이 무너진다는 뜻이다.
따라서 공이 p에 있을때 실 b가 당기는 힘의 크기는 0이다.
이럴때 빨리 푸는 꿀팁을 주자면
실 b에 X표시를 쳐서 실 b가 없다고 생각해버리자.
어차피 실 b의 장력은 0이라 있으나마나다.
일단 공의 질량도 모르고
막대 A의 질량도 모르는데
막대 A의 질량을 묻고있으므로
공이 올려져있는 p지점을 회전축으로 잡을것이다.
막대의 질량을 M이라 하면
2MgL = 4mgL 이고
따라서 막대 A의 질량은 2m이다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ의 매끄러운 풀이를 위해 공의 질량도 여기서 구하겠다.
아까 p점에서 실 a의 장력이 4mg고 실 b의 장력이 0인데
막대 A와 공의 무게의 합이 실 a 장력 + 실 b 장력 이므로
2mg + 공의 무게 = 4mg + 0 이라서 공의 질량이 2m인걸 알 수 있다.
ㄷ)
q는 수평 유지 가능한 공의 위치중
A 위의 가장 오른쪽 지점이다.
따라서 공이 q에서 조금만 오른쪽으로 가면
막대 A가 시계방향으로 평형이 무너진다는 뜻이다.
여기서 주의할건
평형이 무너졌을때 실 a의 장력이 0이 아니다.
'평형이 무너지니까 무조건 이쪽방향 힘은 0' 이렇게 풀면 위험하다는거다.
평형이 무너질때 어떻게 무너질지
머릿속으로 시뮬레이션을 해보고
그래도 헷갈리면 그림을 그려보자.
이런식으로 무너질것이다.
사실 여기서 중요한건
질량 m인 물체가 들렸다는것이다.
즉 질량 m인 물체를 달고있는 실의 장력은 mg이다.
따라서 막대 B에서
천장에 매달려있는 실을 회전축으로 하고
돌림힘의 평형을 적용하면
거리가 1 : 2 니까
힘은 2 : 1이다.
따라서 이 경우의 힘을 표시하면
이렇게 될것이다.
보다시피 균형이 무너지기 직전의 순간인데
실 a의 장력이 0이 아닌걸 볼 수 있다.
그리고 실 a의 장력이 0인지 아닌지 잘 모르겠다면
그냥 실 a를 회전축으로 잡아버리면 된다.
실 a를 회전축으로 잡고 돌림힘 평형을 적용하면
x : 실 a와 q지점 사이의 거리
2mgL + 2mgx = 8mgL
따라서 x = 3L이고
p와 q 사이의 거리는 4L이다.
따라서 ㄷ(o)
따라서 답은 5번
11 )
이 문제의 핵심은
저울에 측정된 A의 무게 = A가 저울을 미는 힘
이라는 것이다.
이것만 이해하고 있다면 쉽게 풀 수 있다.
따라서 답은 5번
난 이 문제 처음 풀때
아래 그림에서 뭔가 공이 있는 지점을 회전축으로 잡고싶어서
그렇게 했다가
막대의 무게도 모르고 A의 무게도 모르고 B의 무게도 모르는데
미지수만 3개가 돼서
풀긴 했지만 상당히 오래 걸렸던 기억이 있다.
힘이 많이 작용하거나 복잡한곳을 회전축으로 잡는다고
무조건 빨라지는건 아님을 알 수 있다.
결국 문제풀이의 양이 중요한 단원이다.
기출문제가 대부분
이 글의 예제문제 수준의 높은 난이도 문제들이라
문제를 풀어보는것 만으로도 연습이 잘 된다.