2022학년도 9월 모의평가 수학 공통 16번~22번 해설
혹시 본인이 못 푼 문제인데
어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면
이 글을 보지 말것.
남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.
풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나
다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면
매우 환영이다.
원하시는 문제로 바로 가고싶으면
N번 문제로 가고싶다면
N )
이 형태로 검색하시면 됩니다.
예를들어 17번으로 가고싶으면 17 )
쉬운건 빠르게 넘어가면서
비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.
16 )
답은 2
17 )
답은 8
18 )
답은 9
19 )
답은 11
20 )
따라서 답은 21
21 )
따라서 답은 192
22 )
먼저 (가) 조건을 풀어보면
함수 g(x)가 연속이 되기 위한 조건을 알아낼 수 있을것이다.
여기까지 g(x)가 연속일 조건을 구한것이다.
이제 (나)조건을 풀것이다.
f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고
그러면 가능한 개형은 다음 3개중 하나이다.
우선 세번째꺼는
f'(x)>0인 증가함수이고
따라서 f(x)=0 일때
f(x-3)도 0이 될수 없고 f'(x)도 0이 될수 없다.
따라서 (가)조건을 만족하지 못하고 세번째건 탈락
두번째꺼는
증가함수이긴 한데 f'(x)=0인곳이 딱 하나 있다.
x^3 이런 함수를 말하는거다.
일단 증가함수라서 f(x)=0일때 f(x-3)=0은 만족시킬수 없고
따라서 f'(x)=0인 지점이 딱 f(x)=0 이라면
(가) 조건은 만족할수있다.
근데 (나)조건에서 서로 다른 실근을 4개 가지라 했다.
g(x)가 실근을 가지려면
f(x)=0 이거나
f(x-3)=0 이거나 f'(x)=0 이어야 한다.
근데 저 경우엔 실근이 x=0 하나밖에 없다.
따라서 두번째것도 탈락이다.
남은건 하난데 이것도 x축의 위치에 따라
개형이 5가지로 나뉜다.
일단 첫번째건 f(x)=0일때 f(x-3)=0 이거나 f'(x)=0 이어야 g(x)가 연속이 될 수 있는데
그러지 못하는걸 볼 수있다. 따라서 첫번째껀 탈락
다섯번째것도 같은 맥락으로
f(x)=0의 해가 하나밖에 없고 여기서 f'(x)가 0도 아니니
다섯번째것도 탈락
이제 세번째걸 보면
x축이 극댓값과 극솟값 사이에 걸쳐있는데
그렇다는건 f(x)=0 에서 f'(x)는 절대 0이 아니란거고
(가) 조건을 만족시키기 위해서는
f(x-3)=0 이어만 가능하다.
f(x)의 세 실근중 가장 작은값을 α라 하면
f(α-3)=0 이어야하는데 그러지 못한다.
따라서 세번째것도 탈락이다.
같은 논리로 두번째것도 탈락시킬 수 있다.
f(x)의 두 실근중 작은값을 α라 하면
f(α-3)=0 이거나 f'(α)=0 이어야하는데
둘다 만족하지 않으므로 두번째건 탈락이다.
마지막으로 네번째것을 보면
f(x)의 두 실근중 작은값을 α라 하면
f(α-3)=0 이거나 f'(α)=0 이어야하는데
이땐 f'(α)=0 이므로 성립하고
f(x)의 두 실근중 큰 값을 β라 하면
f(β-3)=0 이거나 f'(β)=0 이어야하는데
f'(β)는 0이 아니고
따라서 f(β-3)=0을 만족한다면 이 개형은 가능하다.
종합하면 f(x) 그래프는 최고차항의 계수가 1이면서
x=α 에서 중근을 갖고
x=β 에서 중근이 아닌 실근을 갖는 삼차함수가 된다.
그리고 아까 f(β-3)=0을 만족한다고 했으므로
α = β-3 이고 다시 쓰면
이제 g(x)의 실근을 구해보자.
g(x)가 실근을 가질 조건은
1. f(x)=0
2. f'(x)=0
3. f(x-3)=0
f(x)=0인건 α, α+3 이고
f'(x)=0인건 f(x)를 미분하면
따라서 f'(x)=0인건 α, α+2
f(x-3)=0 인건 f(x)에 x대신 x-3 넣으면
따라서 f(x-3)=0인건 α+3, α+6
따라서 네 근을 더하면 α+α+3+α+2+α+6 = 7
따라서 α = -1
이제 α를 대입하기만 하면
f(x)의 추론이 완료된다.
따라서 답은 108