수학을 어떻게 공부해야 할까?
예비고1 학생들의 많은 고민중 하나일것이다.
선행학습은 어디까지 해야할까?
고등학교수학은 어렵다던데 학원을 다녀야할까?
내가 정말 고등학교수학을 해낼수 있을까?
내가 이것들에 대한 해답을 제시해줄것이다.
내가 장담하건대,
내가 여기서 알려준 방법대로 공부하지 않으면
고3때 수능준비하면서 엄청 고생한다.
- 오해, 편견부터 없애보자 -
수학을 잘하기 위해 해야할 것보다,
수학을 잘하려면 절대 하지 말아야 할것을 알아야한다.
그리고 그 하지 말아야 할것을 안하면 된다.
수학에 대해 사람들이 흔히 갖고있으면서,
무조건 버려야할 몇가지 편견이 있다.
선행학습은 필수다?
특히 학부모님들이 가장 많이 하는 생각인데
본인의 자녀가 수학을 싫어하고 못하길 바란다면 이렇게 하면 된다.
선행학습은 전혀 필요없으며,
오히려 학생의 수학실력 상승에 방해가 되는게 대부분이다.
즉, 선행학습은 함정이다.
고등학교수학 선행학습을 해도 되는사람은
중학교과정 수학까지 완벽히 이해해서
고등학교수학을 선행학습할 준비가 되어있는사람
을 제외하고는 없다.
중등수학까지 이해하고있는지 가볍게 테스트해보겠다.
한문제라도 제대로 설명할수 없으면 모르는거다.
그렇게 될거같은데? 가 아니라 수학적으로 설명할수 있어야한다.
1. 이차방정식의 근의 공식이 무엇이고 왜 그렇게 되는가?
2. 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이가 같은 이유는?
3. 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 외심에서 만난다. 그 이유는?
대답 못할 확률이 높다.
왜 대답 못하냐면
내가 질문을 계속
이건 이렇게되는데 그 이유를 설명하라거나 하는 식으로 하기 때문이다.
아마 이차방정식의 근의공식이 뭐냐고 물어보면
대부분 맞출것이다.
이유는 모르는데 결론은 아는것이다.
결론은 아는데 그 이유를 모른다?
수학을 암기식으로 공부했다는것이다.
즉 여태 수학을 이해하면서 공부한게 아니라 그냥 암기한것이다.
근데 이건 학생의 잘못이 아니라 학교의 공교육 체계 잘못이다.
대충 공식 암기때려박고
교과서문제 풀이법 암기때려박아놓으면
당장 시험은 잘보기 때문에 이게 맞는줄 아는거다.
그리고 실제로 중학교수학까진 이게 먹힌다.
근데 고등학교수학부터는 아니다.
수능 수학 출제기준에 정확히 이렇게 적혀있다.
수학 영역은 고등학교 수학과 교육과정의 내용과 수준에 근거하여
계산 능력, 수학의 기본 개념·원리·법칙의 이해 능력, 추론 능력, 문제해결 능력을 측정한다.
대학 교육을 받는 데 필요한 수학적 능력을 측정하도록 출제한다.
단순한 기억이나 암기로 해결할 수 있는 문항의 출제를 지양하고,
교과의 특성을 바탕으로 한 이해력과 사고력을 측정할 수 있는 문항을 출제한다.
즉 고등학교부터는 수학을 잘하려면
'수학적 사고력'이 있어야한다.
여기서 말하는 수학적 사고력은
단순히 암기하고있는 수학적 지식이 아니라
내용을 이해하고 있는지, 이를 바탕으로 응용이 가능한지
이걸 묻겠다는것이다.
즉 고등학교부터는 단순암기식 공부법이 먹히지 않는다.
단순암기는 그냥 아무생각없이 공식만 외운거지
그 공식이 어떻게 나왔는지 모르기때문에
조금만 꼬아서 내면 못푸는것이다.
문제를 풀려면 이해를 바탕으로 생각하면서 풀어야하는데
이해한게 없으니 생각할 재료 자체가 없는거다.
그리고 당연하지만,
중학교수학을 이해하고 있다는 가정 하에 고등학교수학의 내용이 진행된다.
근데 여태 그냥 암기식으로 공부해왔으니
사실상 공식 빼고는 머리에 남아있는게 없다.
당장 중학교수학도 공식이 무슨뜻인지도 모르고 어떻게 나온 공식인지도 모르는데
중학교수학도 이해 못했는데
고등학교수학을 이해한다는건 말이 안되는 소리이다.
근데 이런 학생에게 고등학교수학을 선행학습시킨다?
당연히 이해못하니까 자기가 공부하던대로 또 암기식 공부 할것이다.
그러면 기본 개념에서 조금만 꼬아서 내도 못맞추고
수학은 너무 어려워서 못하겠다. 재미도없다. 포기해야지. 가 되는것
결론내자면,
중학교수학의 이해를 기반으로 하지 않으면,
고등학교수학을 선행학습한다는것 자체가 말이 안되며
시간낭비, 돈낭비 에다가 학생의 자존감까지 낮추는
수학 공부에 있어서 절대 금기시해야할 행동이다.
학원, 과외는 필수이다?
이건 이렇게 느낄수밖에 없는게
당장 학원다니고 과외받는 학생들이 시험 잘보기때문에
수학을 잘하려면 학원, 과외가 필수라고 생각할수밖에 없다.
결론부터 말하자면,
학원, 과외는 진도나갈때를 제외하면 거의 필요없다.
즉 학원, 과외의 역할은
진도나갈때 개념의 이해를 도와주는것
이 이상도 이하도 아니다.
무슨 말이냐면,
진도 나가고 나면 이제 기출문제 풀거 아닌가?
그리고 기출문제 푸는 학생을 학원보내거나 과외시킨다는건
모르는 문제 있으면 어떻게 푸는지 물어보라는거 아닌가?
근데 모르는문제를 남에게 해결해달라 하는것 자체가 잘못된 학습법이다.
문제를 모르는 이유는 두가지밖에 없다.
1. 개념 이해 부족
2. 수학적 추론력 부족(즉 문제풀이량 부족)
둘중 어느쪽이든 모르는 문제를 남이 해결해달라 하는 학습법은
수학실력 상승에 도움이 되지 않는다.
이렇게 공부하는건 수학공부하는데 수학문제를 왜푸는지도 모르는 것이다.
개념을 이해했는지 점검함은 물론이고, 수학적 사고력, 추론력을 기르기 위해 문제를 푸는거다.
아마 안풀리거나, 풀긴했는데 뭔가 끼워맞춰서 운좋게 맞춘거같은 문제가 많을거다.
그럴때, 내 풀이법이 뭐가 틀렸길래 답이 나오지 않는건지
이것보다 더 간단하게 풀수있는 방법은 없었는지
이런걸 스스로 생각해서 해결해보려고 생각하는 그 과정 자체가 수학공부다.
수학적으로 '생각'을 하라는것이다.
문제가 풀리든 안풀리든, 이 과정 자체로 수학적 사고력, 추론력이 늘어나기 때문에
수학실력 상승이 있게되는것이다.
근데 모르는문제를 어떻게푸는지 남에게 물어본다?
이 수학적으로 생각한다는 과정 자체를 안하겠다는것이다.
남이 풀어주더라도 그 풀이를 이해했다면 되는것 아니냐? 할수 있는데
풀이를 이해했다는게 대체 무슨말인가?
풀이를 듣고 수긍하면 그게 이해한건가?
그럼 왜 처음엔 그 풀이를 떠올리지 못했는가?
수학적인 사고력이 부족하니까 떠올리지 못한거다.
근데 왜 스스로 생각해야할 문제를 남에게 시키는건가?
그 문제는 절대로 수능에 안나오는데?
그리고 이 논리는 '해설지'에도 동일하게 적용된다.
모르는 문제의 풀이법을 보겠다고 해설지를 보지 말자.
스스로 생각해야할 문제이다.
결론내자면,
수학은 스스로 생각하는 과정 그 자체가 공부고
그것이 수학을 잘해지는 유일한 방법이다.
어차피 혼자 공부할건데 학원, 과외가 왜 필요한가?
돈낭비, 시간낭비이다.
숙제는 많을수록 좋다?
특히 학부모님들이 학원에 학생 보내면서 많이 하는 말이다.
숙제 많이내주세요~
이런식으로 공부하는 학생은
수학을 잘하게될지는 모르겠지만
하나는 확실히 할수 있다.
수학을 재미없어할것이다.
숙제라는게 무엇인가?
기본 수업 시간만으로는 학습량이 부족하니까
이걸 보충하고 스스로 문제풀면서 생각할 시간을 주는 것이다.
따라서 숙제의 양은
부족한 학습량을 보충하고,
스스로 문제를 해결하기 위해 생각할 시간을 주는것
그 이상이 되면 안된다.
숙제가 너무 많아져버리면 무슨일이 발생하냐면
학생이 숙제를 '귀찮지만 어쩔수없이 처리해야만 하는것'
이라고 여기게 된다.
그러면 무슨일이 발생하냐면
대충 답지보고, 친구꺼보고 베낀다.
나도 그랬었고, 대부분이 그럴것이다.
그러고는 수학이 재미없다 할것이다.
과유불급이다. 숙제는 좋은거지만 너무 많으면 오히려 역효과가 나는것이다.
결론내자면,
적당한 양의 숙제는
스스로 생각해보는 과정을 통해
수학실력 상승에 많은 기여를 하고
나아가서 수학 자체에 흥미를 붙일수도 있다.
근데 숙제의 양이 너무 많아지면,
'너무 많아서 하기 귀찮긴 한데 일단 처리하긴 해야하는것' 정도로 취급되기 때문에
오히려 없는것만 못하게 된다.
수학 이미 포기했으니 나는 이미 늦었다?
제가 이 블로그를 걸고 장담하는데
절대 늦지 않습니다.
제 말이 틀리다는걸
반박 불가능하게 완벽히 논술하는 사람이 나타나면
이 블로그 삭제하겠습니다.
보통 이런생각을 가진 사람들은
수학 자체를 '머리 좋은사람들이 하는 과목' 이라고 생각한다.
근데 이게 아주 틀린말은 아닌게
보통 수학 잘하는사람은 머리가 좋다.
근데 인과관계가 잘못되었다.
머리가 좋아서 수학을 잘하는게 아니라,
수학을 잘해서 머리가 좋은거다.
'수학 교육'의 목표는
문제 해결력, 추론력 등의 지능을 향상시킴에 있다.
즉 수학 공부를 제대로 하면 지능이 향상된다.
그래서 수학을 잘하는사람들이 머리가 좋은것이다.
물론 기본적으로 지능의 차이가 있기때문에
학습능력에 차이가 있는건 맞다.
근데 고등학교수준 수학에서 지능을 따지는것 자체가 말이 안된다.
고등학교는 절대로 학생들이 못할걸 시키지 않는다.
그니까 결론은,
최소한 고등학교수학은 천재들의 전유물이 아니다.
지능에 심각한 장애가 있지 않는 이상은 모두 할수 있다.
그리고, 무조건 진도를 따라가야한다는 강박을 버렸으면좋겠다.
수학은 절대 급하게 공부하면 안된다.
수학을 포기했으면
포기한 기간만큼 당연히 공백이 생기고
그 공백을 채우기 위한 기간이 있어야한다.
모르는 부분부터 차근차근 하면 되는것이다.
옆집 누구는 미적분 2번 끝냈다더라 이런거 듣고 위축되지 않았으면좋겠다.
미적분을 2번끝내는게 어딨어 한번 끝내면 끝낸거지
걔는 그냥 미적분을 못끝낸거다. 학원수업 듣고 지가 끝낸줄 아는거다.
막상 까보면 미적분 2번 끝냈다면서 미분이란게 뭔지 모르고 적분이란게 뭔지 모른다.
그니까 사실 별차이 없다. 생각보다 차이가 크지 않으니
차근차근 꾸준히 하면 충분히 따라잡고도 남는다.
실제로 막상 교과서 펼쳐보면 내용이 그렇게 많지 않다.
그리고, 수포자면 사실상 수학 꼴찌일텐데
그럼 더이상 내려갈곳이 없으니 올라갈일만 남았다.
결론내자면,
지금 시작해도 절대 늦지 않는다.
주변 의식하지말고 자기 페이스대로
꾸준히 하면 충분히 누구나 가능하다.
- 그래서 수학을 어떻게 공부해야하는가? -
뭔가 드디어 본론으로 들어간거같은 느낌인데
사실 할말은 위에 다 해버렸다.
1. 해설지, 선행학습은 함정이다.
아까도 설명했지만
이전의 내용을 전부 이해하지 못했다면
어차피 다음내용도 이해 못할테니 선행학습은 아무 의미 없는짓이다.
그리고 해설지를 본다는건
본인이 모르는 문제를 해결하는걸 남에게 맡기겠다는것
수학공부라는건
수학적 사고력, 추론능력을 향상시키는것이고
그러려면 반드시 해야하는게
'생각'하는것이다.
해설지를 본다는건
그 생각하는 과정 자체를 전부 스킵하겠다는것이다.
그러면 당연히 실력이 늘지 않는다.
해설지보고 문제푼 학생한테
1달뒤에 그문제 또 풀어보라 하면 아마 못풀것이다.
생각을 해야되는데 생각을 안하니까 실력이 늘지 않은것이다.
그럼 못푸는걸 그대로 계속 놔둬야되는건가?
놔둬야된다. 그리고 풀릴때까지 계속 생각해야된다.
그러다가 결국 자기 힘으로 풀어냈을때의 그 쾌감을 맛보면
다음부터는 절대로 모르는문제를 마주쳤을때 해설지를 펼쳐보는 짓을 하지 않는다.
그리고 실제로 이런 학생들은 본인이 수학 실력이 늘었다는걸 느낀다.
2. 공부는 지름길이 없다. 정석만으로 돌파해야한다.
꼼수같은건 먹히지 않는다.
뭔가 신기한 풀이법이나 공식같은걸로
문제 쉽게풀어보겠다고 하는사람들이 있는데
정말 쓸데없는짓이다.
정석대로만 따라가면 무조건 답이 나오는데
왜 딴길로 새는지 이해할수가 없다.
현재까지 수능에 출제된 문제중
정석대로만 따라가면 풀수없는 문제는
단 한개도 없었으며 앞으로도 없을것이다.
3. 완벽한 개념이 없다면 문제풀이는 아무 의미가 없다.
문제풀이를 하는 이유는
개념에서 부족한 부분이 있다면 찾아내서 고치고,
수학적 사고력, 추론력을 기르기 위해서이다.
왜 이 문제에서는 이 공식을 써야했을까?
왜 여기다가 2를 곱하는가?
이런걸 생각해내는 과정을 연습하는게 문제풀이이다.
근데 개념이 탄탄히 잡혀있지 않다면
문제풀이는 아무 의미가 없으며,
잘 되지도 않을것이다.
모든 문제는 기본 개념에서 응용되어 나오는것이기 때문이다.
애초에 알아야 그걸가지고 생각을 하든말든 하는데
개념 자체를 모르는데 생각을 할수 있을리가 없다.
뭔가 좀만 꼬아놔도 문제를 못풀겠다 싶으면
100% 개념부족이니까 다시 살펴보자.
딱 백지를 펼친 다음,
거기다가 그 개념을 완벽히 설명할수 있어야한다.
- 요약 -
수학 공부법
1. 앞의 개념을 확실히 이해하고있지 않다면,
절대 다음 내용으로 넘어가지 말것.
어차피 이해 못한다.
2. 모르는 문제는 절대 남에게 풀이법을 물어보거나, 해설지를 보지 말것.
어차피 수능엔 그 문제가 안나온다.
스스로 해결하지 않으면 실력이 늘지 않는다.
3. 암기식으로 공부하지 말것.
수학은 암기과목이 아니다.
개념의 이해를 바탕으로 얼마나 응용할수 있느냐를 보는것
즉 수학적 사고력을 보는게 수학이다.
암기로는 절대 기를수 없는게 수학적 사고력이며,
수학적 사고력이 곧 수학 실력이다.
위 세가지만 지키면 수학을 못할수가 없다.