정적분의 활용 #2 - 위치와 거리

 

미분할때 했던거랑 똑같은 부분이다.

대신 적분이 들어온만큼 조금 심화해서 다룬다.

 

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- 위치 -

 

미분 단원에 있는 내용을 그대로 가져오겠다.

 

수직선(x축) 위를 움직이는 점 P가 있다고 해보자.

그리고 이 점 P의 위치가 시간에 따라 달라질 때

즉 위치와 시간이 관련되어 있을 때

즉 위치를 시간에 대해 나타낼 수 있을 때

이 점 P의 위치를 x라 하면

x를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

x = f(t)

 

그리고 속도는 위치를 미분한 것

v(t) = f'(t)

그리고 가속도는 속도를 미분한 것

a(t) = v'(t)

 

여기까지가 우리가 아는 내용이다.

 

저때는 미분까지밖에 안 배웠기 때문에

속도는 위치를 미분한거고

가속도는 속도를 미분한거다. 라고밖에 못한것이다.

 

근데 이젠 적분을 배웠다.

부정적분의 정의를 기억하는가?

미분의 역연산이다.

즉 가속도를 적분하면 속도가 나오고

속도를 적분하면 위치가 나온다.

따라서 우리는 이제 위치, 속도, 가속도를

미분과 적분을 이용해 자유자재로 다룰 수 있게 될것이다.

 

 

속도를 부정적분해서 위치를 구해보자.

이때 위치는 시간에 대한 함수니까

x(t) 라고 표현하겠다.

그런데 알다시피

부정적분하면 적분상수가 나온다.

이 적분상수를

C 대신에 x_0 라고 쓸 것이다.

따라서 예를 들어 v(t) = 2t 라고 하면

x(t)는 다음과 같이 될 것이다.

근데 이러면 x_0 가 얼마인지 모르게 된다.

따라서 x_0 라는게

시각 t가 얼마일때의 위치인지 알려줘야한다.

즉 정적분을 이용해야 한다.

따라서 적분구간을 t=t0_ 에서 t=t 까지라고 하면

x(t)는 다음과 같이 될 것이다.

그리고 편의상 x(t_0)를 x_0 라고 표기하면

결론적인 위치 식 x(t)가 완성된다.

 

근데 여기서 정적분 부분을 보자.

이것이 의미하는것은 무엇인가?

따라서 이것이 의미하는 것은

t=t_0 에서부터 t=t 까지의 위치의 변화량

적분구간 문자가 헷갈리게 되어있으니 바꿔서

적분구간을 t=a부터 t=b까지라 하면

위치의 변화량 식이 완성된다.

즉 아까 x(t) 식을

이렇게 쓸 수도 있다.

 

즉 시각 t에서의 위치는

초기 위치 x_0 + 위치의 변화량 Δx

으로 표현할 수 있다.

그리고 위치의 변화량이라는건

속도의 정적분 값이다.

 

 

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- 거리 -

 

'위치의 변화량'과 '이동거리'는 같은말 같지만

다른 말이다.

x=0에서 x=3까지 갔다가 그대로 x=0으로 돌아오면

위치의 변화량은 0이지만

실제로 이동한 거리는 6 아닌가?

근데 위치의 변화량이라는건

속도의 정적분 값 아닌가?

그니까 왜 위치의 변화량이 0이었냐면

속도가 양수였다가 음수로 바뀌면서

결국 전체 정적분값이 0이 된것이다.

 

즉 함수와 x축 사이의 넓이 구할때와 같은 맥락으로

속도가 음수일수도 있으니

실제 이동거리를 알고싶다면

속도에 절댓값을 취해야한다.

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- 예제 -

2017학년도 수능 수학 나형 12번

 

 

위치의 변화량이 아니라

실제로 움직인 거리를 묻고 있다.

따라서 속도에 절댓값 씌운뒤 적분하면 된다.

따라서 답은 1번

 

 

수학II 끝