지수함수, 로그함수를 미분할것이다.
우선 미분이라는게 극한에서 정의되는거니까
극한부터 한 다음 미분을 다룰 것이다.
- 기본 : 지수함수의 극한 -
이런게 지수함수인데
지수함수는 수학I에서 배웠다시피
밑인 a가 1보다 크냐 작냐에따라 모양이 바뀐다.
따라서 a>1인 경우와 0<a<1 인 경우를 나눠서 다루겠다.
밑이 음수인 경우는 다루지 않는다.
- a>1 인 경우 -
1보다 큰 수는 거듭제곱할수록 커진다.
x의 값이 작아지면
계속 0에 가까워지지만
절대 0이 될순 없다.
즉 점근선이 y=0 이다.
즉 극한값이 0에 수렴한다.
그리고 x의 값이 커지면
그것에 따라 거듭제곱의 값은
기하급수적으로 커진다.
따라서 x의 값이 무한히 커지면
그것에 따라 거듭제곱의 값도
양의 무한대로 발산할것이다.
정리하면 다음과 같다.
- 0<a<1 인 경우 -
1보다 작은 수는 거듭제곱할수록 작아지므로
그래프는 다음과 같이 그려질 것이고
이번엔 반대로 x값이 무한히 커지면 0에 수렴하고
무한히 작아지면 양의 무한대로 수렴할것이다.
- 기본 : 로그함수의 극한 -
이런게 로그함수인데
이것도 수학I에서 배웠다시피
밑인 a가 1보다 크냐 작냐에따라 모양이 바뀐다.
a가 음수면 로그함수 자체가 정의되지 않는다.
- a>1 인 경우 -
y=log_a(x) 라는건
a를 y제곱하면 x가 된다는거니까
x가 무한히 커지면
무한히 큰 수를 만들기 위해
무한히 제곱해야한다.
즉 y값이 양의 무한대로 발산한다.
그리고 x가 무한히 0에 가까워지면
무한히 0에 가까운 수를 만들기 위해
-9999999 와 같이 아주 작은 수만큼 제곱해줘야한다.
즉 y값이 음의 무한대로 발산한다.
정리하면 다음과 같다.
- 0<a<1 인 경우 -
a를 y제곱하면 x가 된다는거니까
x가 무한히 커지면
1보다 작은 수를 y 거듭제곱하면 무한히 큰 수가 나와야 하므로
y값은 음의 무한대로 발산한다.
그리고 x가 0에 가까워지면
1보다 작은 수는 곱할수록 0에 가깝게 작아지니까
y값은 양의 무한대로 발산한다.
- e의 정의를 이용한 지수함수와 로그함수의 극한 -
아래 네 가지의 극한값을 구해볼것이다.
- 1 -
답부터 하자면 1인데
이는 e의 정의를 이용해 간단하게 증명 가능하다.
- 2 -
이것도 1이고
e의 정의를 이용해 간단하게 증명 가능하다.
- 3 -
답은 1/lna 인데
아래 식을 이용하면 간단하게 증명 가능하다.
- 4 -
답은 lna 인데
아래 식을 이용하면 간단하게 증명 가능하다.
- 지수함수와 로그함수의 미분 -
이것도 아래 네 가지 함수를 미분해볼것이다.
- 1 -
답은 y'=e^x 인데
미분계수의 정의로 간단히 증명 가능하다.
- 2 -
답은 y' = 1/x 인데
이것도 미분계수의 정의로 간단히 증명 가능하다.
물론 로그함수니까 정의역은 x>0 이다.
- 3 -
답은 y' = lna×a^x 인데
이것도 미분계수의 정의로 간단히 증명 가능하다.
- 4 -
답은 y' = 1/xlna 인데
이것도 미분계수의 정의로 간단히 증명 가능하다.
물론 로그함수니까 정의역은 x>0 이다.
- 요약 -
- 예제 -
1 )
따라서 답은 2번
2 )
우선 f(x)는 x≥0 에서는
다항함수 이므로 x>0 에서 연속이다.
그리고 x<0 에서는
저 함수의 정의역이 x≠0 이고
그냥 지수함수를 다항함수로 나눈거기 때문에
끊어질일이 없다. 즉 불연속점이 생길일이 없다.
따라서 x<0에서도 연속이다.
따라서 x=0에서만 연속이면 된다.
x=0에서 연속이려면 좌극한값=함숫값=우극한값
따라서 답은 1번
'미적분 > II. 미분법' 카테고리의 다른 글
| 도함수의 활용 - 이계도함수 (0) | 2021.10.13 |
|---|---|
| 여러가지 미분법 (0) | 2021.10.12 |
| 삼각함수의 미분 (0) | 2021.10.10 |
| 삼각함수의 덧셈정리, 삼각함수의 합성 (0) | 2021.10.09 |
| 무리수 e와 자연로그의 정의 (0) | 2021.10.06 |
