정적분의 활용 #2 - 입체도형의 부피

 

별거 없는곳이다.

 

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우선 문제부터 보자.

2017학년도 수능 수학 가형 11번이다.

 

우선 문제를 읽어보자.

입체도형이 있고

이 입체도형의 부피를 구하라고 한다.

 

우리가 정적분의 정의를 배울때

도형의 면적을 구하기 위해

도형을 무한히 잘라서 전부 더하는 방법으로 하였고

이때 쓰는게 급수의 합이고

급수의 합은 정적분으로 나타낼 수 있다.

라는걸 알고 있다.

 

이번에도 똑같이 할 것이다.

우선 x의 범위는

x=0부터 x=1까지이다.

즉 어떤 x값에 대해서

그 x값에 따른 도형의 넓이가 있을거고

그것들을 x=0부터 x=1까지 전부 더해주면

부피가 나올거라는 논리이다.

 

즉 도형의 넓이를

x에 대한 함수로 나타낸다음

그 함수를 x에 대해 정적분하면

부피를 구할 수 있다는것이다.

 

여기서는 넓이를 S(x)라고 하겠다.

마침 입체도형을 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이

정사각형 이라고 한다.

정사각형의 넓이는

한 변의 길이의 제곱이다.

한 변의 길이는

바로 y값이다.

따라서 S(x) = y² 이다.

 

따라서 부피를 구하는 식으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

y = sqrt(x) + 1이다.

따라서 다음과 같이 쓸 수 있고

우리가 원래 하던 정적분하고 똑같아진다.

따라서 답은 4번이다.

 

 

결론은

그냥 우리가 하던거랑 똑같다.

다만 넓이를 구하기 위해 y=f(x)에서 f(x)를 적분하던것과 달리

부피를 구하기 위해 넓이를 나타내는 함수 S(x)를 적분하는것 뿐이다.

 

 

정확한 수학적 정의를 짚고 넘어가자면

닫힌 구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고

x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의

부피 V는

(단, S(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이다.)

 

보면 알겠지만 처음부터 이렇게 설명했으면

뭔가 대단한건줄알고 공포에 사로잡혔을것이다.

근데 해봐서 알겠지만 전혀 대단한게 아니다.

 

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- 예제 -

2020학년도 수능 수학 가형 12번

 

 

우선 부피는

x=0부터 x=k까지의 부피를 구해야하니까

다음과 같이 될것이다.

그리고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형이므로

S(x) = y² 이다.

따라서 다음과 같이 된다.

이제 하던대로 적분해주면 된다.

따라서 답은 2번