직선의 방정식 #1 - 직선의 방정식 작성

수학(상)/IV. 도형의 방정식

직선의 방정식 #1 - 직선의 방정식 작성

1754 2022. 3. 1. 12:42

- 개요 : 직선의 방정식이란? -

직선을 가지고 이것저것 다루는곳이다.

공식은 많은데 외울필요가 하나도없다.

직선의 방정식이란,

말 그대로 방정식이긴 한데

직선을 나타내는 방정식인 것이다.

직선이면 일차함수의 그래프라는거다.

즉 이번엔 '일차함수의 그래프를 식으로 다루는 방법'을 배울것이다.

- 직선이 되기 위한 방정식의 조건 -

이 방정식을 그래프로 나타내면 직선이 되겠구나 라는걸

꼭 직접 그려봐야 아는가?

그럴 필요가 없다.

x와 y에 대한 관계식(방정식)이긴 한데

y가 x에 대한 일차식이면 일차방정식인거고

따라서 이걸 그리면 직선이다.

즉, y가 x에 대한 일차식이면 직선이다.

x와 y에 대한 관계식은 다 도형의 방정식이고

여기서 특별히 y가 x에대한 일차식이면 그걸 직선의 방정식이라 부르는거다.

- 직선의 방정식 단골소재 -

보통 '직선의 방정식을 작성하라' 라고 하거나

'이러한 직선의 방정식이 지나는 점은 어디인가?' 라고 묻는다.

둘다 직선의 방정식을 작성하고 이해할수 있어야한다.

이때 사용되는 두가지 단서가

1. 지나는 점

2. 기울기

이거만 가지고 직선의 방정식을 구할수 있다.

핵심 키워드는 '기울기' 이며, 기울기를 구하는데에 '지나는점' 이 쓰일것이다.

- 직선의 방정식 1 : 한 점과 기울기가 주어진 경우 -

이런문제를 풀어볼거다.

우선 기울기가 뭔지부터 짚고 넘어갈 필요가 있다.

기울기 : 직선이 기울어진 정도를 나타내는 수

그리고 이를 식으로 표현하면

기울기는 보통 m이라 쓰며, x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비율이다.

이 문제에서 기울기가 -2인 이유는,

x가 1만큼 변화하면 y는 -2만큼 변화하기 때문이다. (변화량은 음수가 될수도 있다.)

Q) 근데 왜 기울기를 m이라고 쓰나요?

A) 사실 특별한 이유는 없다. 보통 변수를 a, b, c 또는 m, n, p 이런식으로 나타낸다.

내분, 외분 공부할때도 m:n 으로 내분한다 이런식으로 배웠듯이 그냥 받아들이면 된다.

아무튼 본론으로 돌아와서 저 문제를 어떻게 푸냐면

기울기가 -2 라니까

(y의 변화량) / (x의 변화량) = -2 이다.

여기서 양변에 x의 변화량을 곱해주면

이제 여기서 변화량은 어떻게 가져올거냐면

문제에서 점 (-3, 10)을 지난다고 했으니 이걸 이용할거다.

우리가 구하고자 하는 직선 위의 점을 아무데나 잡을거다.

대충 P라고 해볼까? P의 좌표는 P(x, y)

두 점 (-3, 10), P(x, y)를 지나는 직선이니까 이 두 점을 이용할것이다.

x의 변화량 = -3에서 x가 됐으니 변화량은 (x)-(-3) = x+3

y의 변화량 = 10에서 y가 됐으니 변화량은 y-10

따라서 x의 변화량은 x+3 이고 y의 변화량은 y-10 이다.

이걸 위 식에 대입하면

작성 끝. 이게 답이다. 따라서 답은 y-10 = -2(x+3)

여기서 더할필요는 없지만 굳이 y=~~ 꼴로 나타내보자면

답은 y = -2x+4

Q) 기울기를 구할때 x의 변화량을 -3-x 로 구해도 되나요?

A) 그래도 된다. 대신 그럴거면 y의 변화량도 10-y 로 구해야한다.

Q) x의 변화량이 0이면 어떻게 하나요?

A) 아래 심화에 따로 넣어두겠다.

- 연습 -

기울기(m) = (y의 변화량) / (x의 변화량) = 2

따라서 양변에 x의 변화량을 곱해주면

직선 위의 점을 임의로 잡겠다. 이 점을 P(x, y)라 하겠다.

x의 변화량 = 1에서 x가 됐으니 x-1

y의 변화량 = 4에서 y가 됐으니 y-4

각각 대입해주면

따라서 답은 y-4 = 2(x-1)

이것도 y=~~ 꼴로 나타내면

y = 2x+2

- 일반화 -

점 (x₁, y₁) 을 지나고, 기울기가 m인 직선의 방정식은

- 직선의 방정식 2 : 두 점을 지나는 직선의 방정식 -

새로운 유형일거같지만 사실 아까 한거랑 똑같은곳이다.

지나는 점의 좌표를 알고있으니 기울기만 구하면 끝난다.

기울기 = (y의 변화량) / (x의 변화량)

x의 변화량 = 1에서 4가 됐으니 3

y의 변화량 = 1에서 -5가 됐으니 -6

따라서 기울기는 -2이다.

따라서 (1, 1)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식을 작성하면 된다.

물론 (4, -5)를 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식을 작성해도 된다.

어차피 써놓고 정리하면 결과가 똑같기때문에 편한대로 하면 된다.

(1, 1)을 지나는건 위처럼 되고

정리하면 y = -2x+3

(4, -5)를 지나는건 위처럼 되고

정리하면 y = -2x+3

따라서 답은 y=-2x+3

물론 y-1 = -2(x-1) 이라고 써도 맞다.

- 연습 -

지나는 점을 알고있으니 기울기만 구하면 된다.

기울기 = y변화량/x변화량

x변화량 = -2에서 1 됐으니 3

y변화량 = -7에서 -4 됐으니 3

따라서 기울기는 1이다.

(-2, -7)을 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은

정리하면 y=x-5

따라서 답은 y=x-5

- 일반화 -

서로다른 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식은

- 직선의 방정식 3 : x절편과 y절편이 주어진 직선의 방정식 -

사실 이건 새로운내용이 하나도 없다.

절편이 뭔지만 짚고 넘어가자.

x절편 = x축과 만나는 지점의 x좌표

y절편 = y축과 만나는 지점의 y좌표

x절편이 -3이라는건 (-3, 0)을 지난다는거고

y절편이 -4라는건 (0, -4)를 지난다는거다.

즉 x절편과 y절편을 줬다는건

이 직선이 지나는 두 점의 좌표를 알려줬다는것

따라서 그냥 하던대로 하면 된다.

x절편인 (-3, 0)을 지난다는걸 이용해 직선의 방정식을 작성하면

따라서 답은 y = -4x/3 - 4

- 심화 : 기울기가 0이거나, 정의되지 않는 경우 -

기울기의 정의를 보자.

좀 찜찜한 부분이 있지 않은가?

x의 변화량이 0이면 기울기를 정의할수 없을텐데

이렇게 써도 되는 부분에 대해서 말이다.

x의 변화량이 0이면 기울기를 정의할수 없는게 맞다.

그럼 직선의방정식을 어떻게 쓰느냐?

x의 변화량이 0이라는건 x값은 고정이라는거니까

다음과 같은 결론을 얻는다.

'이 직선은 y축과 평행하다.'

또는 '이 직선은 x축에 수직이다.'

그리고 x값이 고정이라는건

y와 x는 아무 관계가 없다는거다.

따라서 이런 직선의 방정식을 작성하면 y라는 글자가 등장하지 않는다.

y랑 x는 관계가 없기때문이다.

따라서 이러면 오히려 문제풀이가 간단해진다.

두 점 (3, -6), (3, 8)을 지나는 직선의 방정식을 작성하시오.

라는 문제가 나오면

x의 변화량이 0이니까 이건 y축과 평행한 직선인거고

따라서 답은 x=3 이다.

두 점 (-6, 3), (8, 3)을 지나는 직선의 방정식을 작성하시오.

라는 문제가 나왔다고 해보자.

이건 y의 변화량이 0이다.

따라서 이건 기울기가 0이다.

기울기가 정의되긴 하는데 0인것이다.

기울기가 0이라는건

'이 직선은 x축과 평행하다.'

또는 '이 직선은 y축에 수직이다.'

라는 뜻이고, 이것도 똑같이

x의 값에 관계없이 y값은 고정이므로

이 직선의 방정식을 작성하면 x라는 글자가 등장하지 않는다.

따라서 답은 y=3이다.

- 예제 -

1 )

우선 P점의 좌표부터 구해보자.

직선과 x축의 교점이라는건 x절편 말하는거다.

P의 좌표를 P(a, 0) 이라 하고, 위 방정식에 대입하면

따라서 a=2 이고 P점의 좌표는 P(2, 0) 이다.

다음으로 Q점의 좌표

직선과 y축의 교점이라는건 y절편

따라서 Q의 좌표를 Q(0, b)라 하고, 위 방정식에 대입하면

따라서 b=-8 이고 Q점의 좌표는 Q(0, -8) 이다.

이제 P(2, 0), Q(0, -8) 을 지나는 직선 PQ의 방정식을 작성만 하면 된다.

P점을 기준으로 작성하겠다.

따라서 직선 PQ의 방정식은 y = 4x-8

근데 보기엔 y=4x-8 이 없다.

보기에 나온모양처럼 만들기 위해

우변을 1로 만들고 나머지를 전부 넘길것이다.

y=4x-8 에다가 -1 곱하면

-y = -4x+8

-4x 이항하면 4x-y = 8

양변을 8로 나눠주면

x/2 - y/8 = 1

따라서 답은 1번

2 )

A, B, C가 한 직선 위에 있다는건

직선 AB의 방정식이나

직선 BC의 방정식이나

직선 AC의 방정식이나

다 똑같다는 뜻이다.

그러니까 A, B, C가 한 직선 위에 있을수 있는거다.

A와 B의 좌표는 모르는데 C만 좌표를 다 알고있으니

C를 기준으로 비교할것이다.

그니까 직선 AC와 직선 BC를 비교해서

이 둘이 같다고 놓으면 k값을 알아낼 수 있을것이다.

직선 AC의 방정식부터 작성하면

이게 직선 AC고

이제 직선 BC의 방정식도 작성하면

이게 직선 BC다.

이 둘이 같아야한다.

따라서 아래와 같은 등식을 세울 수 있다.

분수때문에 계산하기 짜증나니까

양변에 4(5-k)를 곱하고 x-5를 나누면

k에 대한 이차방정식이 된다.

우변에 0만 남기고 정리하면

판별식 D = 16² - 4×39 > 0 이므로

서로다른 두 실근을 갖는다.

따라서 근과 계수의 관계에 의해

이를 만족하는 모든 k값의 합은 16이다.

따라서 답은 16

추가로, x-5로 나눈다는건

0으로 나누면 안되기 때문에 x≠5 라는 전제가 있어야하고

그래서 x=5인경우와 x≠5 인경우로 나눠서 생각해야하지만

저건 딱봐도 x=5면 성립하는식이니까

x≠5 일때 성립한다는것만 보이면 되기때문에

x-5로 나눈것이다.

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