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  • 점과 도형의 대칭이동 - 개요 - 수학(상)의 마지막 내용이다. 여기는 너무 당연한걸 설명하려니 딱히 설명할게 없어서 좀 설명이 빈약한 느낌이 있는데, 어차피 여기는 문제풀면서 감 잡는 단원이다. - 대칭이동이란? - 말 그대로 대칭하게 이동하는것 정확히는, 주어진 점 또는 직선에 대하여 대칭인 도형으로 옮기는 것 을 대칭이동이라 한다. 1. x축에 대한 대칭이동, 2. y축에 대한 대칭이동 3. 원점에 대한 대칭이동 4. y=x에 대한 대칭이동 이거 4개만 할 줄 알면 나머지는 여기서 응용할수 있다. 우선 점을 대칭이동한다음, 다음으로 도형의 대칭이동을 다룰것이다. - 대칭이동 1: x축에 대한 대칭이동 - 점 (2, -3)을 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는? x축에 대하여 대칭이동하면 어떻게 되는지를 그림으로 보자... 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 30.
  • 점과 도형의 평행이동 - 개요 - 이제 두개만 배우면 수학(상)이 끝난다. 평행이동과 대칭이동이다. 이번엔 평행이동을 다룰것이다. - 평행이동이란? - 말 그대로 평행하게 이동하는거다. 그냥 평행하게 이동시키는거라 위치만 바뀌지, 모양은 절대 바뀌지 않는다. - 평행이동 1 : 점의 평행이동 - 점부터 평행이동시켜보자. 이건 아주 쉽다. 예를 들어서, 점 (2, 1)을 x방향으로 +3만큼 y방향으로 -2만큼 평행이동 한다면, x방향으로 +3 갔으니 x좌표는 5가 되고 y방향으로 -2만큼 갔으니 y좌표는 -1이 되는것이다. 따라서 평행이동된 점의 좌표는 (5, -1)이다. 너무 쉬워서 바로 일반화할수 있다. 점 (x, y)를 x축의 방향으로 a만큼 y축의 방향으로 b만큼 평행이동시키면 그 평행이동된 점의 좌표는 (x', y').. 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 26.
  • 원의 방정식 #4 - 원의 접선의 방정식 - 개요 - 말 그대로 어떤 원에 접하는 직선이 있을텐데 그 직선의 방정식을 구하는법을 다룰것이다. 이거 진짜 어려운 내용이니까 한번에 정복할생각은 접어두자. - 1 : 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식 - 처음이니까 같이 풀어보자. 직선의 방정식을 작성하려면 알아야 하는 것이 1. 기울기+지나는점 1개 2. 지나는점 2개 둘중 하나만 알면 된다. 여기선 기울기를 줬으니 지나는점만 구하면 될것이다. 지나는 점은 어떻게 구하느냐? 우리가 구하는게 원의 접선의 방정식이니까 이 직선이 원과 한 번 만난다고 하면 된다. 직선과 원이 한번 만날 조건은? 즉 직선이 원에 접할 조건은? d = 점과 직선 사이의 거리 r = 원의 반지름 따라서, 다음과 같은 결론을 얻는다. 점과 직선 사이의 거리 = 원의 반지름 이.. 공감수 7 댓글수 0 2022. 3. 20.
  • 원의 방정식 #3 - 원과 직선의 위치관계 - 개요 - 직선의 방정식 에서는 직선과 직선의 위치관계를 다뤘었다. 이번엔 원과 직선의 위치관계를 다룰것이다. - 원과 직선의 위치관계 - 원과 직선의 위치관계를 논할때 가장 중요한것은, '원과 직선이 만나느냐, 만나지 않느냐' 이다. 만나거나, 만나지 않거나 둘중 하나이며, 만나는 경우도, 두 점에서 만나거나 한 점에서 만나거나 둘중 하나이다. 이걸 그림으로 요약하자면 아래와 같다. 그럼 만나는지 안만나는지는 어떻게 판별하는가? '원의 중심과 직선 사이의 거리' 와 '원의 반지름' 을 비교하면 된다. 왜냐? 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름보다 커버리면 원과 직선은 절대로 만날 수 없기 때문이다. 쉽게 말해서, 너무 멀다. 여기서 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d(distance) 원의 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 16.
  • 원의 방정식 #2 - 두 원의 교점을 지나는 원과 직선의 방정식 - 개요 - 제목 그대로 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식 을 구해볼것이다. - 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 - 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구할때와 논리가 똑같다. 교점 = 연립방정식의 해 따라서, 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 아래와 같이 쓸 수 있다. 왼쪽부분과 오른쪽부분이 둘다 0이면 k에 상관없이 항상 성립하니까 저렇게 원의 방정식을 작성하면, 연립방정식의 해인 두 원의 교점을 지날수밖에 없다. 이해가 안되면, 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 다시 공부하고 오자. Q) 원의 방정식은 이차항의 계수가 1이어야 하지 않나요? A) 좋은 질문이다. 저 식을 전개해보면 답을 알 수 있다. 편의상 이차항만 전개하겠다. 이제 양변을.. 공감수 7 댓글수 0 2022. 3. 11.
  • 원의 방정식 #1 - 원의 방정식의 작성 - 개요 - 많은 학생들을 수포자로 만든 악명높은 원의 방정식이 등장했다. 사실 학생들이 원의 방정식을 어려워하는 이유는 그냥 원 이라는게 뭔지 몰라서그렇다고 생각한다. 따라서 원의 정의부터 제대로 잡고 시작할것이다. - 원의 정의 - 원이 뭐냐고 물으면 동그란 도형이요. 라고들 하는데 동그란 도형이라는걸 수학적으로 표현할줄 알아야 한다. 원 : 평면 위에서, 한 점을 기준으로 같은 거리에 있는 점의 자취 말이 좀 어렵기때문에, 자취라는게 뭔지 복습하고 넘어갈 필요가 있다. 자취 : 어떤 조건을 만족하는 모든 점들의 집합. 쉽게 말해서, 어떤 조건을 만족하는 점들이 있을텐데 그 점을 모두 모은게 자취이다. 즉, 한 점을 기준으로 같은 거리에 있다는 조건을 만족하는 점을 모두 모은게 바로 원이라는 것이다... 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 9.
  • 직선의 방정식 #5 - 점과 직선 사이의 거리 - 개요 - 제목 그대로, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 법을 알아볼것이다. 꿀팁을 하나 주자면, 공식이 있긴 한데 외울필요없다. 공식이 아니라, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 '원리'를 알아야한다. 공식을 쓰지않는 풀이를 권장한다. 혹시 급하게 공식만 보고갈거면 보여주겠다. 난 이런거 안외우고다닌다. 외울 필요가 없기때문이다. 실제로 내가 이 블로그에 작성한 2022학년도 9월 모의고사 수학 해설글을 보면 21번문제 풀이에서, 이 공식을 까먹어서 직접 구했다. - 점과 직선 사이의 거리 - 이런 문제를 풀어볼것이다. 문제에서 준 점과 직선을 xy좌표평면에 그리면 아래와 같이 된다. 핵심 : 거리라는건 최단거리 물어보는거다. 최단거리를 구하는 방법은 두 점 사이의 최단거리 = 두 점을 이은 선분의 길.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 6.
  • 직선의 방정식 #4 - 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식, 어떤 직선이 항상 지나는 점 - 개요 - 제목 그대로, 어떤 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구해볼것이다. 그리고 미지수가 포함된 어떤 직선의 방정식에서, 미지수의 값에 상관없이 그 직선이 무조건 지날수밖에 없는 점이 있는데 그것도 구해볼것이다. - 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 : 연립 풀이법 - 이런문제를 풀어볼것이다. '교점'이라는게 뜻하는게 뭔가? 두 직선이 만나는 점을 교점이라 한다. 두 직선이 만난다는게 무슨뜻인가? 우선 이 두 직선은 둘다 교점을 지난다. 즉, 교점에서의 좌표를 저 직선의방정식에 대입하면 성립한다. 근데 두 직선이 둘다 교점을 지나므로 교점의 좌표를 저 두 직선의방정식중 아무데나 대입해도 성립한다는 뜻이고 이는 곧 연립방정식의 해를 의미한다. 따라서, 다음과 같은 결론을 얻는다. 교점 .. 공감수 1 댓글수 0 2022. 3. 5.
  • 직선의 방정식 #3 - 두 직선의 평행과 수직 - 개요 : 두 직선의 위치관계 - 이번에 다룰건 '두 직선'의 '위치관계' 이다. 두 직선이 서로 평행한가? 수직인가? 둘다 아닌가? 이런걸 다룰것이다. - 두 직선의 평행 - 이러한 두 직선이 있다고 해보자. 두 직선이 평행할 조건은? 평행하다 : 기울기가 같다. 따라서 평행하려면 m=m' 이어야한다. 그럼 m=m' 이면 기울기가 같으니까 무조건 평행하느냐? 그건 아닌게, 두 직선이 완전히 똑같은 직선이면 그건 그냥 두 직선이 완전히 똑같은거라 둘이 '일치한다'고 표현하지 평행한다고 표현하지는 않는다. 즉 평행하려면 m=m' 이어야하지만 n=n' 이면 안된다. 따라서 정리하자면, 근데 직선의 방정식이 저런 표준형만 있지는 않다. 일반형도 있다. 근데 일반형도 똑같다. '평행하다 : 기울기가 같다' 라.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 4.
  • 직선의 방정식 #2 - 직선의 방정식의 일반형 - 직선의 방정식의 일반형이란? - 우선 직선의 방정식 아무거나 써보겠다. y = 2x-3 이건 직선의 방정식이다. 좌변에 y만 남기고 다 넘겨서 y=~~ 꼴로 되어있다. 이런걸 '직선의 방정식의 표준형' 이라고 한다. 여기서 우변이 0이 되도록 다 좌변으로 넘겨보자. -2x+y+3 = 0 이다. 이런식으로 ~~=0 꼴로 되어있는 식을 '직선의 방정식의 일반형' 이라고 한다. 즉, 직선의 방정식을 표현하는데는 크게 이 두가지 방법이 있으며, 둘다 똑같은 식이므로 일반형으로도 분석할줄 알아야한다. 사실 뭔가 새로운 내용이 있다기보다는 이렇게도 분석할수 있어야한다 라는걸 설명하는 정도의 글이라 이정도는 이미 하고있을지도 모른다. - 직선의 방정식의 표준형 분석 : 기울기 - 우선 표준형을 분석하는 방법을 짚.. 공감수 1 댓글수 0 2022. 3. 2.
  • 직선의 방정식 #1 - 직선의 방정식 작성 - 개요 : 직선의 방정식이란? - 직선을 가지고 이것저것 다루는곳이다. 공식은 많은데 외울필요가 하나도없다. 직선의 방정식이란, 말 그대로 방정식이긴 한데 직선을 나타내는 방정식인 것이다. 직선이면 일차함수의 그래프라는거다. 즉 이번엔 '일차함수의 그래프를 식으로 다루는 방법'을 배울것이다. - 직선이 되기 위한 방정식의 조건 - 이 방정식을 그래프로 나타내면 직선이 되겠구나 라는걸 꼭 직접 그려봐야 아는가? 그럴 필요가 없다. x와 y에 대한 관계식(방정식)이긴 한데 y가 x에 대한 일차식이면 일차방정식인거고 따라서 이걸 그리면 직선이다. 즉, y가 x에 대한 일차식이면 직선이다. x와 y에 대한 관계식은 다 도형의 방정식이고 여기서 특별히 y가 x에대한 일차식이면 그걸 직선의 방정식이라 부르는거다... 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 1.
  • 자취의 방정식 - 점의 자취 - 개요 - 자취의 방정식을 구하라는 문제가 나오기도 하는데 문제가 뭔말인지 이해를 못해서 어려워하는 학생이 많아서 따로 글을 적는다. - 자취 - 우선 자취가 뭔지부터 알 필요가 있다. 대학생들이 하는 자취랑은 관련없는단어이다. 자취 : 일정한 조건을 만족하면서 움직이는 점이나 선이 그리는 도형. 쉽게 말해서, 특정한 조건을 만족하는 점들이 있을텐데 그 점을 모두 모아서 그려지는 도형이 바로 자취이다. 발자취와 비슷한 느낌으로 이해하면 된다. 예를 들어, xy 좌표평면에서 자취를 구하라고 하면 x와 y가 어떠한 특정 조건을 만족하는 점이 있을거고 그걸 (x,y)로 좌표평면에 표현할수 있을거 아닌가? 그렇게 표현되는 점을 모두 모아서 도형으로 그리라는 말이다. 그리고 이렇게 구한 자취를 x와 y 사이의 .. 공감수 10 댓글수 0 2022. 3. 1.
  • 삼각형의 무게중심 - 개요 - 우리는 지금까지 삼각형의 오심(五心) 중 세가지를 배웠다. 외심, 내심, 무게중심이다. 이번엔 그 무게중심을 복습하는시간이다. 무게중심을 설명하려면 선분의 내분을 알아야하기때문에 여기에 배치된것이다. - 무게중심의 정의 - 특별한거 없이 아무렇게나 생긴 삼각형이 있다고 해보자. 삼각형의 무게중심 : 삼각형의 세 중선의 교점 중선 : 꼭짓점과 마주보고있는 선분의 중점을 연결한 선 그리고 무게중심은 보통 G라고 쓴다. 무게중심 이니까 중력과 연관이 깊은 점이다. 중력은 영어로 gravity이고 앞글자 따온거다. - 무게중심의 성질 - 무게중심은 중선을 2:1로 내분하는 내분점이다. 왜 2:1로 내분하는가? 차근차근 설명해주겠다. 우선 M은 선분 BC의 중점이므로 삼각형 BGM과 삼각형 CGM의 .. 공감수 3 댓글수 0 2022. 2. 27.
  • 선분의 내분점과 외분점 - 개요 - 내용은 어렵지 않은데 공식이 복잡하게 생겨서 '어려워보이는' 곳이다. - 내분과 외분 - 우선 내분점, 외분점을 다루기 전에 내분, 외분이 뭔지부터 알아야한다. 내분(內分) : 선분을 선분 안쪽에서 두 부분으로 나누는 것 內(안 내), 分(나눌 분) 즉 안에서 나눈다. 외분(外分) : 선분을 선분 바깥쪽에서 두 부분으로 나누는 것 外(바깥 외), 分(나눌 분) 즉 바깥에서 나눈다. 내분점 : 내분하는 점. 내분이기때문에 선분 안에 있다. 외분점 : 외분하는 점. 외분이기때문에 선분 밖에 있다. 내분을 요약하자면 위와 같고 외분을 요약하자면 위와 같다. - 내분점 - 우리는 내분점을 수식으로 다룰수 있어야한다. 예를 들자면, 선분 AB를 1:2 로 내분하는 내분점은 어디인가? 라고 물으면 찾을.. 공감수 13 댓글수 0 2022. 2. 24.
  • 삼각형의 중선정리(파푸스의 정리) - 개요 - 아주 재밌는내용이다. 내가 대단원 시작할때 도형을 수식으로 다루는 방법을 다루는 단원이라 소개했는데 도형을 수식으로 다뤄서 증명하는 정리이기 때문에 고1 도형의 방정식 단원에 이 내용이 들어온것이다. - 삼각형의 중선정리 - 파푸스의 중선정리 또는 아폴로니오스 정리 라고도 부른다. 삼각형이 있다. 이등변삼각형도 아니고 직각삼각형도 아니고 대충생긴 삼각형이다. 이 중선정리는 아무 삼각형이나 다 성립한다는 뜻이다. 여기서 아무 꼭짓점이나 골라보자. 난 보기편하게 A를 골라보겠다. 점 A에서 선분 BC의 중점에 선을 긋는다. 즉 중선을 긋는다. 중점은 그냥 중간지점이라 보면 된다. 중점을 M이라 하겠다. M은 BC의 중점이기 때문에 BM의 길이와 CM의 길이가 같다. 그리고 여기서 이것에 관련된 .. 공감수 3 댓글수 0 2022. 2. 21.
  • 두 점 사이의 거리 - 개요 - 드디어 수학 상의 마지막 대단원인 도형 단원에 들어왔다. 도형을 분석하는 방법을 배우겠다는것이다. 여기서는 도형을 어떻게 분석할거냐면 단원 이름이 '도형의 방정식'이다. 즉 도형을 식을 이용해서 분석할것이다. 다항식 방정식 부등식 배웠으니 이 재료를 가지로 도형에 써먹어볼 시간인것이다. 그리고 첫시간인 이번엔 '두 점 사이의 거리'를 구해볼것이다. - 수직선 위의 두 점 사이의 거리 - 우선 수직선 위의 두 점 사이의 거리부터 다뤄볼것이다. 이건 너무 간단하다. 두 점의 좌표의 차이가 곧 거리이다. 두 점의 좌표를 서로 빼준다음 거리는 음수가 되면 안되니까 절댓값을 씌운다. 직접 해볼까? 점 A, B가 있다. 점 A는 x=1에 있고, 점 B는 x=6에 있다. A와 B 사이의 거리는? 두 점의.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 2. 20.
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