원의 방정식 #1 - 원의 방정식의 작성
- 개요 -
많은 학생들을 수포자로 만든
악명높은 원의 방정식이 등장했다.
사실 학생들이 원의 방정식을 어려워하는 이유는
그냥 원 이라는게 뭔지 몰라서그렇다고 생각한다.
따라서 원의 정의부터 제대로 잡고 시작할것이다.
- 원의 정의 -
원이 뭐냐고 물으면
동그란 도형이요. 라고들 하는데
동그란 도형이라는걸 수학적으로 표현할줄 알아야 한다.
원 : 평면 위에서, 한 점을 기준으로 같은 거리에 있는 점의 자취
말이 좀 어렵기때문에, 자취라는게 뭔지 복습하고 넘어갈 필요가 있다.
자취 : 어떤 조건을 만족하는 모든 점들의 집합.
쉽게 말해서, 어떤 조건을 만족하는 점들이 있을텐데
그 점을 모두 모은게 자취이다.
즉, 한 점을 기준으로 같은 거리에 있다는 조건을
만족하는 점을 모두 모은게 바로 원이라는 것이다.
근데 '평면 위에서' 라는 말은 왜 들어가는가?
이 말이 없으면,
한 점을 기준으로 같은 거리에 있는 점의 자취 가 되는데
이거는 원이 아니라 '구'가 된다.
원은 평면도형이기 때문에, 평면 위에 있다고 설명을 추가해준것이다.
아무튼, 평면 위에서
한 점을 기준으로 같은 거리에 있는 점이라는것도 일단 찍어보자.
기준점을 점 O라고 해보고,
O에서 3만큼 떨어진 점들을 모두 이으면 원이 될것이다.
O에서 3만큼 떨어진 점 A, B, C, D를 아무렇게나 표시해봤다.
이런 과정을 끝없이 한다음 전부 이어주면
그게 바로 원이 되는것이다.
- 원의 방정식이란? -
말 그대로 원을 표현하는 방정식이다.
원의 정의가 xy좌표평면 위의 점의 자취 였으니까
점의 자취의 방정식이 곧 원의 방정식이다.
따라서 원의 방정식도 x, y에 대한 관계식으로 표현된다.
따라서 우리는 원이라는 도형에서의 x와 y의 관계만 찾아낼수 있다면
그리고 그걸 식으로만 써낸다면 원의 방정식이 되는것이다.
- 원의 방정식의 작성 -
우선 작성하는데 쓰이는 재료는 두가지이다.
원의 정의에서 가져온다.
즉, 기준이 되는 점의 좌표와, 그 점과 떨어진 거리만 이용하면
그것만 가지고도 원이 만들어지며, 하나밖에 못만든다.
여기서 기준이 되는 점 이라는건 곧 원의 중심을 말하는거다.
그리고 원의 중심과 떨어진 거리는
원에서 곧 반지름을 말하는거다.
따라서, '원의 중심의 좌표'와 반지름의 길이만 준다면
원은 하나로 정해지고, 그걸 원의 방정식으로 표현할수 있으면 된다.
직접 작성해보자.
원의 중심의 좌표를 (1, -1) 이라고 해볼까?
그리고 반지름의 길이가 3이라고 해볼까?
그럼 우리는 이제
중심이 (1, -1)이고 반지름의 길이가 3인
원의 방정식을 작성해볼거다.
원 위의 점을 (x, y)라 하고
x와 y 사이의 관계를 찾아서 식으로 쓰면 될것이다.
우선 점 (x, y)는 중심과 떨어진 거리가 3이다.
두 점 사이의 거리가 3이라는 뜻이다.
따라서, 다음과 같은 관계식을 얻는다.
이게 원의 방정식이다.
그리고 좌변에 루트가 있는게 꼴보기 싫기때문에,
보통은 양변을 제곱해서 루트를 없앤걸로 표현한다.
원의 방정식 작성이 진짜 끝났다.
Q) 우변은 9라쓰면되지 왜 굳이 3²라고 쓰나요?
A) 3이 반지름의 길이니까, 반지름의 길이가 3이라는걸 보기 쉽게하기 위한것이다.
x와 y에 대한 이차식이다.
y에 대한 이차식이라는건
하나의 x에 대해 y값이 두개가 나올수 있다는 말이다.
따라서, 다음과 같은 결론을 얻는다.
'원은 x에 대한 함수 y를 나타낸 그래프라고 할수 없다'
실제로 원을 xy좌표평면에 그리면
이런 모양이 되고, 하나의 x에 대해 두개의 y값이 존재하는 곳이 있기때문에
y는 x에 대한 함수라고 할수 없다.
그래서 이것의 단원명이 원의 함수 가 아니라 '원의 방정식' 인것이다.
- 요약 -
원 : 평면 위에서, 한 점을 기준으로 같은 거리에 있는 점의 자취
원의 방정식 작성법 : 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 이용한다.
두 점 사이의 거리 공식을 적용하면 된다.
- 연습 -
한 평면 위에서, 중심인 (-2, 3)에서 4만큼 떨어진 점을 모두 모은게 원이다.
따라서, 원 위의 점을 (x, y)라 하면,
x와 y 사이에 다음과 같은 관계식을 얻는다.
이대로 끝내도 좋지만, 루트가 꼴보기싫으니 양변을 제곱하자.
그러면 답은
- 일반화 -
원의 방정식을 작성할때 쓰이는 두가지 재료가 뭐라고?
1. 원의 중심의 좌표
2. 반지름의 길이(중심과 떨어진 거리)
이 두가지를 미지수로 둔다음
원의 방정식을 작성해주면
일반화가 완료된다.
원의 중심의 좌표를 (a, b)라 하고
반지름의 길이를 r이라 하겠다.
그러면, 하던대로 원의 방정식을 작성하면
아래와 같은 관계식을 얻는다.
양변을 제곱해주면, 원의 방정식의 일반화가 완료된다.
중심이 (a, b)이고, 반지름이 r인 원의 방정식은 위와 같다.
추가로, 저렇게 작성되어있는 원의 방정식에서
반지름의 길이나 중심의 좌표를 물으면 대답할수 있어야한다.
예를 들어, 이런 원의 방정식에서
중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하라 그러면
중심은 (-2, 3)이고 반지름의 길이는 4입니다.
라고 대답할수 있어야한다.
이건 암기하는게 아니고,
원의 방정식을 어떻게 작성하는지만 상기해보면 금방 이해할수 있다.
Q) 이차항의 계수가 1이 아니면 어떡하나요?
A) 그런걸 타원이라 한다. 타원은 고등학교 과정에 없으므로 생각하지 않아도 된다.
- 심화 : 원의 방정식의 다른 표현(일반형) -
우리는 원의 방정식이 아래와 같이 표현된다고 배웠다.
그리고 이것을 원의 방정식의 표준형 이라고 한다.
그럼 일반형도 있겠지?
원의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표현된다.
x와 y에 대한 이차식이고, 이차항의 계수가 1이므로 이것도 원이다.
따라서 일반형으로도 충분히 문제를 만들어낼 수 있으니
이것도 다룰줄 알아야한다.
직선의 방정식처럼, 표준형을 일반형으로 바꾸고
일반형을 표준형으로 바꾸는 방법을 다룰것이다.
우선 표준형을 일반형으로 바꾸는 방법은 간단하다.
그냥 전개한다음 좌변으로 전부 넘겨서 우변을 0으로 만들면 된다.
따라서 여기서 다룰건, '일반형을 표준형으로 바꾸는 방법'이다.
핵심 idea는, '표준형은 전부 완전제곱꼴로 표현되어 있다' 라는것이다.
즉 전개되어있는걸 완전제곱꼴로 바꾸면 된다.
그러려면 우선 x에 대해 정리하고,
y에 대해 정리하고,
상수에 대해 정리할것이다.
그럼 아래와 같이 된다.
이걸 완전제곱꼴로 바꾸는건 근의공식 유도할때와 같은 방법으로 하면 된다.
x 완전제곱, y 완전제곱, 상수항 을 나누는데 성공했다.
표준형을 보면
x완전제곱 + y완전제곱 = 상수항 이다.
따라서 상수항을 전부 우변으로 넘겨버린다.
이러면 표준형으로 변환에 성공했다.
물론 여기서는 계수들이 다 미지수라 복잡하게 나온거고
문제에서는 보통 미지수대신 숫자로 줘서
이렇게 복잡하게는 안나오겠지만,
이정도를 할줄 안다면 어떤 수가 나와도 변환할수 있게 준비가 되는거다.
쉽지 않은거라서 많은 연습이 필요하다.
그리고 내가 방금 한걸 스스로 할수 있다면,
여러분은 "이차항의 계수가 1이고 x와 y에 대한 이차방정식이면 원의 방정식이다."
라는것을 스스로 증명해낸게 된거다.
물론 상수항의 값이 양수가 아니면
반지름이라는 값 자체가 존재할수 없으니 이런건 원이라 하지 않는다.
이거 실수하지 않게 주의하자.
- 예제 -
1 )
한번 연습해봤으니 자세히 설명하지 않아도 될듯하다.
양변을 제곱하면 답은
2 )
3 )
원의 방정식의 표준형은 다음과 같다.
중심이 (a, b) 이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식이다.
미지수가 a, b, r로 총 3개인데
점을 A, B, C 3개 줬으니
각각 대입해서 세가지의 관계식을 작성한다음
이 셋을 연립하면 될것이다.
A(0, 0)을 대입하면
B(-1, 1)을 대입하면
근데 아까 A 대입한거에서 r²=a²+b² 랬으니 이 식에 대입해서 정리하면
다음과 같은 관계식을 얻는다.
마지막으로 C(4, 0)을 대입하면
근데 아까 A 대입한거에서 r²=a²+b² 랬으니 이 식에 대입해서 정리하면
0 = 16-8a 이고 따라서 a=2 이다.
B 대입한것에서 구한 관계식에 의하면 a-b=-1 이므로
b=3 이다.
그리고 r²=a²+b² 이므로, r=√(13) 이다.
이제 처음에 썼던 식에다 대입만 해주면 끝난다.
여기다 대입하면 답은
