고등학교 수학의 첫걸음이다.
- 다항식이란? / 항의 구분법 -
이거 중1수학인데 모르는사람이 많다.
다항식 : 항이 하나 이상으로 되어있는 식
예를 들어, x+1 은
항이 x, 1 이다.
항이 2개인 식이므로 다항식이다.
여기서 주의할건
a × b 이것도 다항식인가?
이것의 항은 무엇인가?
a와 b인가?
아니다. a × b는 ab로 표현하고
ab는 하나의 항이다.
따라서 이건 항이 하나이다.
항이 하나인것도 다항식이므로 다항식인건 맞다.
즉 항을 구분할때는
×나 ÷로 연결된건 하나의 항으로 봐야하고
+나 -로 연결된건
여러개의 항으로 봐야한다.
예를 들자면, 3x+4xy-5 이 식은
항이 3개인 다항식이며,
항은 3x, 4xy, -5 이다.
- 다항식의 정리 방법 -
말 그대로 다항식을
보기쉽게 정리해서 다시쓰는것이다.
예를 들어, 7x-8+x² 라는 이차식이 있다.
이걸 좀 쉽게보기 위해
x²+7x-8 이런식으로 정리하겠다는것이다.
두 가지 정리방법이 있다.
1. 내림차순
아까 예로 들었던 7x-8+x²
를 정리해보자.
우선 항은 7x, -8, x² 으로 세개이다.
그리고 7x는 7이라는 '상수'에 x라는 '변수'를 곱한것
-8은 -8이라는 '상수'
x²은 1이라는 '상수'에 x라는 '변수'를 두번 곱한것
여기서 변수와 상수를 잘 구별해야한다.
변수 = 변할수 있는 수
상수 = 변할수 없는 수
이렇게 구별하면 된다.
-8은 상수이다.
왜냐면, 예를들어 -8의 값이 뭐냐고 하면
-8이면 -8인거지 뭔소리야? 할거아닌가?
-8이라는 값은 절대불변이다.
따라서 -8은 상수이다.
이번엔 예를들어 x의 값이 뭐냐고 하면
그걸 내가 어떻게알아? 할거아닌가?
왜냐면 x의 값은 상황에따라 변할수 있는수이기 때문이다.
따라서 x는 변수이다.
그리고 그 상수에
어떤 변수가 몇번 곱해졌냐를 나타내는게 바로 '차수'이다.
예를 들어, 3x²은 3이라는 상수에 x라는 변수가 두번 곱해진것이다.
따라서 3x² 의 차수는 2이고,
이걸 x에 관한 이차항 또는 이차식이라 부른다.
다시 돌아와서
7x-8+x² 이것을 내림차순으로 정리해보겠다.
우선 저건 x에 관한 이차 다항식이다.
여기서 내림차순으로 정리한다는건
차수가 높은항부터 낮은항의 순서대로 식을 나타내는것이다.
즉 뒤로갈수록 차수가 내려가도록 정리하는것
우선 항은 7x, -8, x² 인데
이중에서 차수가 가장 높은 항은
이차항인 x² 이다.
그 다음으로 차수가 높은 항은
일차항인 7x 이다.
그 다음으로 차수가 높은 항은
상수항은 -8 이다.
따라서 7x-8+x²
이 식을 내림차순으로 정리하면
x² + 7x - 8
추가로, 여기서 차수가 가장 높은 항을 '최고차항'이라 한다.
예를들어, x²+7x-8의 최고차항은 x² 이다.
하나 더 해보자.
-9x-2x³+x²+1
이것을 내림차순으로 정리하면?
차수가 가장 높은 항(최고차항) : -2x³
그 다음으로 차수가 높은 항 : x²
그 다음으로 차수가 높은 항 : -9x
그 다음으로 차수가 높은 항 : 1
따라서 정리하면
-2x³ + x² - 9x + 1
보통 다항식을 정리할때는 이 방법을 쓴다.
이건 고1수학 뿐만이 아니라
그냥 수학 전체적으로 꼭 필요한 스킬이기 때문에
숙달되어야한다.
2. 오름차순
오름차순으로 정리한다는건
차수가 낮은항부터 높은항의 순서대로 식을 나타내는것이다.
즉 뒤로갈수록 차수가 올라가도록 정리하는것
예를 들어, -9x-2x³+x²+1
이것을 오름차순으로 정리하면?
차수가 가장 낮은 항 : 1
그 다음으로 차수가 낮은 항 : -9x
그 다음으로 차수가 낮은 항 : x²
그 다음으로 차수가 낮은 항 : -2x³
따라서 정리하면
1 - 9x + x² - 2x³
예제문제로 중간점검
x에 대한 내림차순이니까
x에 대한 차수가 가장 높은항부터 낮은항 순서대로 배열하면 된다.
x에 대한 차수가 가장 높은 항은
x에 대한 이차항인 2x²이다.
그 다음으로 차수가 높은 항은
x에 대한 일차항인 3xy와 x이다.
그 다음으로 차수가 높은 항은
상수항인 -y²과 -10y와 1이다.
y라는 문자가 있는데 어떻게 상수항이냐? 라고 할수 있는데
x에 대한 내림차순이라 했으므로
x에 대한 차수를 봐야한다.
즉 여기서 관심있는건 x가 몇번 곱해져있느냐지
y가 아니다.
따라서 정리하면
y에 대한 오름차순이니까
y에 대한 차수가 가장 낮은항부터 높은항 순서대로 배열하면 된다.
y에 대한 차수가 가장 낮은 항은
상수항인 2x²과 x와 1이다.
그 다음으로 차수가 낮은 항은
y에 대한 일차항인 3xy와 -10y이다.
그 다음으로 차수가 낮은 항은
y에 대한 이차항인 -y²이다.
따라서 정리하면
- 중등수학 복습 : 동류항이란? -
이걸 왜 복습하냐면
다항식의 기본 연산 원리를 설명할때 필요하다.
동류항 : 같은 종류의 항
즉 문자와 차수가 같은 항
예를 들어,
2x와 -7x는 동류항이다.
문자가 x로 같고, 차수도 1차로 같기때문이다.
x와 x²은 동류항이 아니다.
문자가 x로 같지만, 차수는 같지 않기때문이다.
2x와 -7y는 동류항이 아니다.
차수가 1로 같지만, 문자가 같지 않기때문이다.
2xy와 -7x는 동류항이 아니다.
차수가 1로 같지만, 문자가 같지 않기때문이다.
- 다항식의 덧셈과 뺄셈 -
원리는 매우 간단하다.
1. 일단 보기쉽게 내림차순으로 정리한다.
2. 동류항끼리 계산한다.
내림차순 정리는 안해도 되지만
안하면 실수하기 쉽다.
덧셈부터 해보자.
직접 해보자.
일단 두 다항식을 내림차순으로 각각 정리한다.
이제 동류항끼리 계산하면 된다.
5x²의 동류항은
-x² 이다.
따라서 5x² 과 -x² 를 더하면 된다.
그 결과값은 4x²이다.
그다음 -3x의 동류항은
4x 이다.
따라서 -3x와 4x를 더하면 된다.
그 결과값은 x이다.
그다음 1의 동류항은
7 이다.
따라서 1과 7을 더하면 된다.
그 결과값은 8이다.
따라서 최종적인 결과는
4x² + x + 8 이다.
다음은 뺄셈이다. 뺄셈도 똑같다.
일단 두 다항식을
보기쉽게 내림차순으로 정리한다.
이제 동류항끼리 계산하면 된다.
5x²의 동류항은
-x² 이다.
따라서 5x² 에서 -x²를 빼면 된다.
그 결과값은 6x²이다.
그다음 -3x의 동류항은
4x 이다.
따라서 -3x에서 4x를 빼면 된다.
그 결과값은 -7x이다.
그다음 1의 동류항은
7 이다.
따라서 1에서 7을 빼면 된다.
그 결과값은 -6이다.
따라서 최종적인 결과는
6x² - 7x - 6 이다.
이번엔 조금 난이도있는걸 보여주겠다.
근데 하는법은 똑같다.
하던대로 하면 된다.
우선 보기쉽게 내림차순으로 정리하자.
이제 동류항끼리 계산하면 된다.
일단 왼쪽 다항식에서 이차항은
-3 × 5x² 이니까 -15x²이다.
-15x²의 동류항은
오른쪽 다항식에서의 이차항이고
2 × -x² 이니까 -2x²이다.
따라서 -15x²와 -2x² 를 더해주면 된다.
그 결과값은 -17x² 이다.
왼쪽 다항식에서 일차항은
-3 × -3x 니까 9x이다.
9x의 동류항은
오른쪽 다항식에서의 일차항이고
2 × 4x 니까 8x이다.
따라서 9x와 8x를 더해주면 된다.
그 결과값은 17x이다.
왼쪽 다항식에서 상수항은
-3 × 1 = -3 이다.
-3의 동류항은
오른쪽 다항식에서의 상수항이고
2 × 7 이니까 14이다.
따라서 -3과 14를 더해주면 된다.
그 결과값은 11이다.
따라서 최종적인 결과는
-17x² + 17x + 11 이다.
- 다항식의 덧셈에 대한 성질 -
- 1. 교환법칙 -
두 다항식 A, B가 있다고 해보자.
그러면 아래 식이 성립한다.
즉, 더하는 순서를 바꿔도 된다.
더하는 순서는 결과값에 아무런 영향을 주지 않는다.
뺄셈도 마찬가지이다.
즉, 빼는 순서를 바꿔도 된다.
종합하면, 다음과 같은 결론을 얻는다.
다항식의 덧셈 뺄셈에서, 덧셈 뺄셈의 순서를 바꿔도 된다.
만약 A+B-C를 계산하라 하면, B-C+A 이런식으로 계산해도 된다는말이다.
자기 편한대로 순서를 바꿔서 풀면 된다.
- 2. 결합법칙 -
세 다항식 A, B, C에 대하여
아래 식이 성립한다.
그냥 당연한거니까 그런가보다 하고 넘어가면 된다.
주의할건, 뺄셈연산에서는 성립하지 않는다.
(A+B) - C = A - (B+C) 가 성립하지 않는다는말이다.
왜냐면 저 덧셈 식은
괄호앞에 +1이라는 상수가 곱해져있는것이다.
즉 A + 1×(B+C) 인 것이고
전개하면 결국 A+B+C 이기 때문에 성립하는것이다.
뺄셈 식은
괄호앞에 -1 이라는 상수가 곱해져있는것이다.
즉 A - 1×(B+C) 인 것이고
전개하면 A-B-C 라서
A+B-C와 A-B-C는 같지 않다.
그래서 성립하지 않는것이다.
- 예제 -
다항식이 3개고
하나는 -2가 곱해져있지만
그냥 하던대로 하면 된다.
일단 내림차순으로 정리한다.
근데 친절하게도 이미 내림차순으로 정리되어있다.
그럼 이제 동류항끼리 계산한다.
우선 A의 최고차항은 3차항이다.
그리고 B의 최고차항은 3차항이다.
그리고 C의 최고차항은 2차항이다.
따라서 동류항끼리 모아서 계산하면
최종적으로 최고차항이 3차항인
3차식이 나올것이다.
따라서 3차항부터 모아서 계산할것이다.
A의 3차항은 x³
B의 3차항은 2x³
-2C의 3차항은 없음. 0
따라서 A+B-2C의 결과 중 3차항은
3x³ 이다.
A의 2차항은 -3x²
B의 2차항은 x²
-2C의 2차항은 -2 × -x² = 2x²
따라서 A+B-2C의 결과 중 2차항은
0 이다.
A의 1차항은 x
B의 1차항은 없음. 0
-2C의 1차항은 -2 × -4x = 8x
따라서 A+B-2C의 결과 중 1차항은
9x 이다.
A의 상수항은 -1
B의 상수항은 -5
-2C의 상수항은 -12
따라서 A+B-2C의 결과 중 상수항은
-18 이다.
따라서 최종적인 답은
3x³ + 9x - 18 이다.
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