직선의 방정식 #2 - 직선의 방정식의 일반형

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- 직선의 방정식의 일반형이란? -

우선 직선의 방정식 아무거나 써보겠다.

y = 2x-3 이건 직선의 방정식이다.

좌변에 y만 남기고 다 넘겨서 y=~~ 꼴로 되어있다.

이런걸 '직선의 방정식의 표준형' 이라고 한다.

여기서 우변이 0이 되도록 다 좌변으로 넘겨보자.

-2x+y+3 = 0 이다.

이런식으로 ~~=0 꼴로 되어있는 식을

'직선의 방정식의 일반형' 이라고 한다.

즉, 직선의 방정식을 표현하는데는 크게 이 두가지 방법이 있으며,

둘다 똑같은 식이므로 일반형으로도 분석할줄 알아야한다.

사실 뭔가 새로운 내용이 있다기보다는

이렇게도 분석할수 있어야한다 라는걸 설명하는 정도의 글이라

이정도는 이미 하고있을지도 모른다.

 

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- 직선의 방정식의 표준형 분석 : 기울기 -

우선 표준형을 분석하는 방법을 짚고 넘어가자.

이런 직선의 방정식에서 기울기를 물으면,

기울기는 y변화량 / x변화량 이고

x가 1 변하면 y는 2만큼 변하니까 기울기는 2이다.

여기서 핵심은, 기울기를 구할때 뒤의 상수항의 값은 관심없다.(상관없다)

y = 2x - 3 여기서

x=0  →  y = 0 - 3

x=1  →  y = 2 - 3

x=2  →  y = 4 - 3

x=3  →  y = 6 - 3

따라서 y값의 변화량은

상수항의 값과 상관이없다.

x의 계수가 무엇이냐만 관여한다.

따라서, y값의 변화량은

(x값의 변화량) × (x의 계수) 이고

기울기 = y변화량 / x변화량 = (x변화량)×(x의계수) / (x변화량)

따라서 기울기 = x의 계수 이다.

 

이를 일반화하면,

(a, b는 상수이며 a≠0)

이 직선의 기울기는 x의 계수인 a 이다.

근데 이게 새로운 내용같지만 그렇지 않다.

우리가 처음에 직선의방정식을 어떻게 작성했는지 떠올려보자.

이렇게 작성했다.

즉 x의 계수가 의미하는게 기울기(m)라는것은

저때 이미 증명이 완료된 부분이다.

 

y = 3x-5 의 기울기는? 3

2y = 2x-1 의 기울기는?

y=~~꼴로 나타내기 위해 양변을 2로 나누면 y = x-1/2

따라서 기울기는 1

이런식으로 구하면 된다.

 

추가로, y절편이 어디냐 물으면

y절편 = y축과 만나는곳 즉 x=0인곳

따라서 x=0을 대입해주면

y절편은 b이다.

 

 

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- 직선 : ax+by+c=0 이 나타내는 도형 -

x와 y에 대한 일차식 ax+by+c = 0 이 있다고 해보자.

a, b, c는 상수이며, a≠0 또는 b≠0 이다.

그럼 이건 x나 y에 대한 일차방정식이므로

이 방정식이 나타내는 도형은 '직선'이다.

그리고 이렇게 생긴 방정식을

'직선의 방정식의 일반형' 이라 부른다고 했었다.

다시 표준형으로 바꾸고싶으면 by빼고 다 넘겨서

by = -ax-c 로 만든다음 양변을 b로 나누면 될것이다.

여기서 말하고자 하는건, ax+by+c=0 이라는 방정식을 보고

직선이구나 라고 생각할수 있어야한다.

 

추가로, 직선의 방정식의 일반형은

보다시피 보통 x, y, 상수항 순서로 적는다.

편하게 적고싶으면 by+ax+c=0 이라 적어도 되긴 하지만

대부분의 문제는 ax+by+c=0 형태로 출제돼서 그냥 그런가보다 해야한다.

 

근데 y=~~로 표현하는게 더 편해보이는데

굳이 이렇게 표현하는 이유가 뭘까?

사실 이건 직선이라서 y=~~ 로 표현하는게 편한거다.

x와 y에 대한 이차식이면 y=~~로 표현하기보단

그냥 x랑 y를 좌변에 몰아주고 나머지를 정리하는게 더 편할것이다.

즉 나중을 위해 미리 익숙해져야하고, 그나마 쉬운 직선의방정식부터 연습하자는 취지이다.

 

 

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- 직선의 방정식의 일반형 분석 : 기울기 -

이 직선의 기울기는? 뭔가 한눈에 보이지는 않는다.

핵심 논리 : 일반형에서 바로 구하기는 어렵다.

하지만 표준형이라면 바로 구할수 있다.

따라서 일반형을 표준형으로 바꿔준다.

 

y=~~ 꼴로 바꾸기 위해

by 빼고 전부 우변으로 넘기면

이제 양변을 b로 나눠주면

따라서 기울기는 -a/b 이다.

따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

이걸 공식처럼 외우라는게 아니고

표준형이든 일반형이든 직선을 나타낸 방정식이라는건 똑같으니까

본인이 편하게 자유자재로 변환시키면서 풀수 있어야된다는 뜻이다.

 

Q) b=0 이면 어떡하나요?

A) b=0 이라면 ax+c=0 이라서 애초에 식에 y가 등장하지 않는다.

따라서 이건 y축에 평행한 직선이다.

 

추가로, x절편이나 y절편을 물으면

x절편 = x축과 만나는지점 즉 y=0인지점

y절편 = y축과 만나는지점 즉 x=0인지점

이것만 기억하면 된다.

y절편을 구해볼까?

x=0 이므로 대입하면

by+c=0 이고 따라서 y=-c/b 이다.

따라서 y절편은 -c/b 이다.

 

 

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- 예제 -

1 )

 

직선의 방정식의 일반형을 작성해야 하는데

난 일반형을 작성하는 방법을 알려준적도 없고,

알려줄 필요도 없다.

표준형에서 우변에 0남기고 다 좌변으로 넘기면 되는거라

표준형만 작성할줄 알면 일반형은 무조건 작성할수 있다.

표준형부터 작성해보자.

(1, 1)을 기준으로 작성했다.

이걸 정리하면 표준형 작성이 완료된다.

이제 일반형을 구하기 위해서는

우변을 0으로 만들기 위해 다 좌변으로 이항시켜야한다.

이항시키면

답은 2x+y-3 = 0

 

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2 )

 

일반형이라서 기울기도그렇고 뭔가 확 와닿지 않는다.

그래서 이걸 표준형으로 바꿀것이다.

표준형으로 바꾸려면 y=~~ 꼴로 나타내야하고

우선 -2y빼고 다 이항한다음 -2를 나눠주면 되겠다.

따라서 y=3x/2 - 3 이며, 이 방정식이 나타내는 도형은 '직선'이다.

이 직선의 기울기는 x의 계수인 3/2 이다.

기울기를 알았으니 지나는 점을 하나만 알면 된다.

지나는 점은 본인이 편한대로 잡자.

난 x=0 이라 해버릴것이다.

x=0을 대입하면 y=-3 이고

따라서 이 직선은 (0, -3) 을 지난다.

그러면 이 직선은

기울기가 3/2 이며, (0, -3)을 지난다.

라는 결론을 얻는다.

 

그렇게 되도록 그리면 끝이다.

 

대강 이정도로 그려졌으면 정답이다.

보면 알겠지만, x절편과 y절편의 좌표를 구하는게 그리기 쉽다.