직선의 방정식 #5 - 점과 직선 사이의 거리

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- 개요 -

제목 그대로, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 법을 알아볼것이다.

꿀팁을 하나 주자면, 공식이 있긴 한데 외울필요없다.

공식이 아니라, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 '원리'를 알아야한다.

공식을 쓰지않는 풀이를 권장한다.

혹시 급하게 공식만 보고갈거면 보여주겠다.

난 이런거 안외우고다닌다. 외울 필요가 없기때문이다.

실제로 내가 이 블로그에 작성한 2022학년도 9월 모의고사 수학 해설글을 보면

21번문제 풀이에서, 이 공식을 까먹어서 직접 구했다.

 

 

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- 점과 직선 사이의 거리 -

이런 문제를 풀어볼것이다.

 

문제에서 준 점과 직선을 xy좌표평면에 그리면 아래와 같이 된다.

핵심 : 거리라는건 최단거리 물어보는거다.

최단거리를 구하는 방법은

두 점 사이의 최단거리 = 두 점을 이은 선분의 길이(중등수학)

따라서 직선 3x+4y-8=0 위에 있는 점과

점 (-1, 5) 를 이은 선분의 길이중

길이가 최소가 되는 선분의 길이를 구하면 그게 최단거리다.

 

그래서 최소가 되는 선분이 뭐냐면

주어진 직선과 수직이고 점 (-1, 5)를 지나는 선분이다.

왜 수직이어야 하는가?

위 그림을 돌려서 보면 바로 답이 보인다.

당연히 최단거리로 도달하려면 수직으로 갈수밖에 없다.

 

그럼 이제 교점만 구하면 된다.

3x+4y-8=0 과 수직이고 (-1, 5)를 지나는 직선과

3x+4y-8=0

이 두 직선의 교점을 구하는 방법은

3x+4y-8=0 과 수직이고 (-1, 5)를 지나는 직선의 방정식을 작성한다음

전에 했던대로 그냥 연립하면 된다.

그다음 (-1, 5)와 교점 사이의 거리를 구해주면 최단거리를 구하는게 완료된다.

 

3x+4y-8=0 과 수직이고 (-1, 5)를 지나는 직선의 방정식부터 작성해보자.

우선 3x+4y-8=0 의 기울기는 -3/4 이다.

두 직선의 기울기의 곱이 -1이면 수직이다.

따라서 이것과 수직인 직선의 기울기는 4/3 이다.

기울기가 4/3 이고 점 (-1, 5)를 지나는 직선의 방정식은

문제에서 주어진 직선이 일반형이기 때문에 얘도 일반형으로 정리할것이다.

이걸 일반형으로 정리하면

-4x+3y-19 = 0

따라서 3x+4y-8=0 과 -4x+3y-19=0 의 교점을 구한다음

그 교점과 점 (-1, 5) 사이의 거리를 구하면 그게 바로 최단거리이다.

교점을 구하기 위해 연립하면

x = -52/25 , y = 89/25

따라서 교점은 (-52/25, 89/25) 이다.

(-52/25, 89/25)와 (-1, 5) 사이의 거리만 구하면 된다.

따라서 답은 9/5 이다.

 

 

요약 : 주어진 직선과 수직이면서, 주어진 점을 지나는 직선의 방정식을 작성한다음

두 직선의 교점과 주어진 점 사이의 거리를 구하면 그게 거리이다.

 

 

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- 일반화 -

 

주어진 직선과 수직이면서, 주어진 점을 지나는 직선의 방정식을 작성한다음

두 직선의 교점과 주어진 점 사이의 거리를 구하면 그게 거리이다.

우선 주어진 직선은 ax+by+c=0 이다. 이것의 기울기는 -a/b 이다.

따라서 이것에 수직한 직선의 기울기는 b/a 이다.

기울기가 b/a 이고 점 (x₁, y₁) 을 지나는 직선의 방정식은

여기서 양변에 b를 나눠주면, 아래와 같은 결론을 얻는다.

이대로 계산하면 식이 너무 더러워지니 이 값을 Z라 치환한다.

그럼 교점의 좌표인 (x, y)를 그나마 간단하게 표현 가능하다.

이걸 치환하는 과정이 없으면 식이 엄청나게 더러워진다.

치환하는 과정이 없으면, 교점의 좌표가 아래와 같이 나온다.

이것도 더러운데 심지어 여기에 점과 점 사이의 거리 공식까지 써줘야한다.

 

 

아무튼 이 치환식을 이용해서, x와 y를 그나마 간단하게 구할 수 있다.

따라서 교점은 (aZ+x₁, bZ+y₁) 이다.

따라서 ax+by+c=0 은 이 점을 지난다.

근데 Z는 내맘대로 치환한거니까 다시 돌려줘야한다.

그러기 위해서 ax+by+c=0 에다가 교점의 좌표를 대입해서 정리할것이다.

대입하면

Z에 대해서 정리하면

이제 아까 구한 교점과 (x₁, y₁) 사이의 거리를 구해주면

점과 직선 사이의 거리 공식이 증명 완료된다.

 

 

 

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- 심화 : 평행한 두 직선 사이의 거리 -

핵심 : 평행하므로, 두 직선 사이의 거리는 항상 일정하다.

따라서 직선 아무거나 골라서 아무 점이나 잡으면

그 점과 다른 직선 사이의 거리가 바로 두 직선 사이의 거리이다.

 

 

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- 예제 -

 

- 공식을 쓰지 않는 풀이 -

주어진 직선의 기울기가 1/3 이므로

이것과 수직인 직선의 기울기는 -3 이다.

따라서 기울기가 -3이고, 점 (2, -4) 를 지나는 직선과

주어진 직선 y=(1/3)x+2 의 교점을 구한다음

교점과 점 (2, -4) 사이의 거리가 바로 최단거리이다.

우선 기울기가 -3이고, 점 (2, -4) 를 지나는 직선의 방정식부터 작성해보면

주어진 직선이 표준형이므로

이것도 표준형으로 정리하면 연립하기 쉬울것이다.

표준형으로 정리하면 y = -3x+2 이다.

y=(1/3)x+2 와 연립하면

x=0, y=2 가 교점이다.

따라서 (0, 2)와 (2, -4) 사이의 거리가 바로 최단거리, 즉 구하고자 하는 답이다.

따라서 답은 2√(10)

 

 

- 공식을 이용한 풀이 -

우선 공식을 쓰려면 직선의 방정식이 일반형이어야한다.

따라서

이걸 일반형으로 바꾸면

이 직선과 점 (2, -4) 사이의 거리를 구하기 위해

점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하면

따라서 답은 2√(10)