힘과 운동 #4 - 운동량 보존 법칙과 충돌

 

이번에 다룰 것은

'운동량'이라는 물리량이다.

 

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- 운동량 -

 

운동량(momentum) : 물체의 운동 정도를 나타낸 물리량.

질량과 속도의 곱이다.

보통 p라고 쓴다.

수식으로 나타내면

속도는 벡터이므로 운동량도 벡터이다.

따라서 운동량의 방향 = 속도의 방향이다.

속도가 같으면 질량이 클수록 운동량이 커지고,

작을수록 운동량이 작아진다.

 

 

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- 충격량 -

 

충격량(impulse) : 물체가 받은 충격의 정도를 나타낸 물리량.

보통 impulse의 약자인 I라고 쓴다.

수식은

즉 충격량 : 힘이 가해진 시간동안 운동량의 변화

쉽게 말해서 충격량 = 운동량의 변화량이다.

I = Δp = Ft라고 쓸수도 있다.

힘이 일정하지 않을 수 있으므로 엄밀히 말하면

가 맞지만 보통 힘이 일정한 운동을 다루므로

I = Ft 라고 알아두면 되겠다.

힘이 일정하지 않아도

충격량은 힘을 시간에 대해 적분한 값이구나 정도로 알고있으면 된다.

사실 진짜 중요한건 이 다음에 나올 운동량과 충격량의 관계 이다.

 

 

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- 운동량과 충격량의 관계 -

 

I = Δp ( 충격량 = 운동량의 변화량 )

예를 들어,

질량 m인 물체가 초기속도 v_0로 운동하다가

일정한 힘 F를 시간 t초 동안 받아서

속도가 v가 되었다면

가볍게 예를 들면서 정리해보자.

질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고있었는데

이걸 일정한 힘 F로 t초간 밀어서

속도 2v로 만들었다.

이때의 충격량은 I = Ft = p - p0

질량 m, 초기속도 v이므로 p0 = mv

나중속도 2v이므로 p = 2mv

따라서 충격량은 I = Ft = 2mv - mv = mv

 

 

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- 운동량 보존 법칙 -

 

두 물체가 서로 충돌할 때,

서로에게 작용하는 힘 이외에

마찰이나 공기 저항과 같은 다른 힘이 없다면

충돌 전 두 물체의 운동량의 합은

충돌 후 두 물체의 운동량의 합과 같다.

쉽게 말해서

충돌 전 운동량의 합 = 충돌 후 운동량의 합

 

- 증명 -

쉽게 말해서 작용반작용 법칙에 의해

두 물체의 충격량이 같고(방향은 반대)

따라서 운동량의 변화량도 같으므로(방향은 반대)

운동량의 합이 보존되는것이다.

 

 

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- 여러 가지 충돌 -

 

중요한건 아니니까

한번 훑어본다는 느낌으로 살짝 읽고 넘어가자.

운동에너지는 아직 안배운 내용이니 대충 그런가보다 하면 된다.

 

탄성충돌 : 충돌 전과 충돌 후의 운동에너지가 보존되는 충돌

비탄성충돌 : 충돌 전과 충돌 후의 운동에너지가 보존되지 않는 충돌

완전 비탄성충돌 : 충돌 후 한 덩어리가 되어 운동하는 충돌

예를들어 달리는 자동차에 씹던 껌을 던지면 껌이 자동차에 붙어서 같이 이동하는데

이런걸 완전비탄성충돌이라 한다.

 

반발계수 : 두 물체가 충돌할 때,

충돌 전의 속도 차이와 충돌 후의 속도 차이의 비의 절댓값

e = | ( v1' - v2' ) / ( v1 - v2 ) |

탄성충돌일땐 e = 1, 비탄성충돌일땐 0 < e < 1, 완전비탄성충돌일땐 e = 0

 

 

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- 예제 -

 

이해만 한다면 점수자판기다.

그래프 자주나오는데 이상하게 생겼다고 쫄지말자

 

 

1 )

2017학년도 6월 모평 4번

 

-문제풀이 단서-

철수와 영희가 서로 미는동안 동일 직선상에서 반대방향으로 운동한다.

 

ㄱ)

3강에서 다룬 내용이다.

이거 틀렸으면 3강 다시 보고오자

이거 모르면 물리1의 최종보스인 역학문제들 문제풀이 하나도못한다. ㄱ(o)

 

ㄴ)

가속도의 방향 = 힘의 방향

작용 반작용 관계에 있는 힘은 힘의 방향이 반대

ㄴ(o)

 

ㄷ)

충격량 = 힘 x 시간 인데

작용반작용 법칙에 의해

힘의 크기와 시간은 같을것이므로

충격량의 크기도 같다.

따라서 ㄷ(o)

 

따라서 답은 5번

 

 

2 )

2021학년도 9월 모평 2번

 

-문제풀이 단서-

'충격량'이 핵심 키워드이다.

충격량에 대해 이해하고 있는가? 가 출제의도이다.

 

ㄱ)

골프채를 휘두르는 속도를 크게 한다 = 더 세게 친다 = 힘이 세진다

힘이 세지므로 충격량도 커진다.

ㄱ(o)

 

ㄴ)

글러브를 뒤로 빼면서 공을 받았는데

우선 글러브를 앞으로가면서 받던지

뒤로 빼면서 받던지

공은 같은 속력 즉 같은 운동량으로 올것이기 때문에

글러브가 받은 충격량은 같을것이다.

즉 충격량은 같으나 힘을 받은 시간이 다른 경우이다.

뒤로 빼면서 받으면 충돌 시간이 늘어날것이고

I = Ft에서 I : 그대로, t : 증가

따라서 F : 감소

ㄴ(o)

공을 뒤로 빼면서 잡는게

덜 힘들다고 느껴지는 이유가 이것이다.

평균 힘이 줄어드니까

 

ㄷ)

위에서 언급했던

충격량의 정의를 그대로 가져왔다.

당연히 ㄷ(o)

 

따라서 답은 5번

 

 

3 )

2011년 4월 학평 4번

 

-문제풀이 단서-

1. A의 질량이 주어졌다.

2. 충돌 후 A의 속력이 주어졌다.

3. 충돌 후 A에 대한 B의 상대속도가 주어졌다.

 

충돌 후 A와 B가 반대방향으로 운동했고

A에 대한 B의 속도 크기는 2v이므로

B의 충돌 후 속도는 오른쪽방향으로 v이다.

 

B의 질량을 M이라 하면

운동량 보존 법칙에 의해

충돌 전 운동량 합 = 충돌 후 운동량 합

3mv + 0 = -mv + Mv

정리하면 M = 4m

답은 4번

 

 

4 )

2014년 3월 학평 9번

 

-문제풀이 단서-

1. 물체의 질량과 초기속도가 주어졌다.

2. 시간-속도 그래프가 주어졌다.

 

1. P에서 Q까지의 거리

우선 Q지점은 벽인데

벽과 충돌한 후 다시 P를 향해 운동했다 = 속도의 방향이 바뀌었다

속도의 방향이 바뀌는지점은 저 그래프에서 시간이 2t인 부분이다.

즉 시간이 2t일때 벽과 충돌한다.

따라서 P에서 Q까지의 거리는

시간 2t동안 2v의 속도로 이동한 거리와 같다.

2t x 2v = 4vt 따라서 1(x)

 

2. 물체가 다시 P를 지나는 시간

벽과 충돌한 후 속력이 2v에서 v가 된다.

아까 P에서 Q까지의 거리가 4vt라 했으므로

4t의 시간만큼 이동해야 다시 P를 지날 수 있다.

따라서 다시 P를 지날 때의 시간은 6t 따라서 2(x)

 

3. t일때 물체의 운동량의 크기

t일때는 아직 벽과 충돌하지 않았다.

따라서 이때의 운동량의 크기는 m x 2v = 2mv

따라서 3(x)

 

4. 충돌하는 동안 벽으로부터 물체가 받은 충격량의 크기

충격량 = 운동량의 변화량

벽을 향해 가는걸 +방향으로 두면

충돌전 운동량 = 2mv

충돌후 운동량 = -mv

따라서 충격량은 -3mv이고 크기는 3mv

따라서 4(o)

 

5. 벽으로부터 물체가 받은 힘의 방향은 충돌 전 물체의 운동 방향과 같다?

충돌 전 물체의 운동 방향 = 오른쪽

벽으로부터 물체가 받는 힘의 방향 = 왼쪽

따라서 5(x)

 

따라서 답은 4번

 

 

5 )

2016년 4월 학평 4번

 

-문제풀이 단서-

1. 시간-운동량 그래프가 주어졌다.

2. A,B의 질량이 주어졌다.

 

ㄱ)

공이 받은 충격량의 크기 = 공의 운동량의 변화량

시간-운동량 그래프를 보면

t1일때 A가 B보다 운동량이 많이 변했다.

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ)

t2일때 A, B의 운동량이 같다.

운동량 = 질량 x 속도 인데

A의 질량은 m이고 B의 질량은 2m이다.

따라서 A의 속력은 B의 속력의 2배이다.

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ)

이 문제의 핵심이자 운동량과 충격량의 개념을 이해했는지를 묻는 선지이다.

운동량이 둘다 p가 된걸 보니

충격량은 같은데 힘을 받은 시간이 다른 상황이다.

0부터 t1까지 A가 받은 평균 힘의 크기 = t1까지 A의 운동량의 변화량 / t1

= p / t1

0부터 t2까지 B가 받은 평균 힘의 크기 = t2까지 B의 운동량의 변화량 / t2

= p / t2

t1 < t2 이므로

평균 힘의 크기는 A가 받은게 더 크다. 

따라서 ㄷ(x)

 

따라서 답은 3번

 

 

6 )

2020년 3월 학평 19번

 

-문제풀이 단서-

1. B, C는 충돌 전에 정지해있었다.

2. A,B,C는 충돌 후 모두 같은 방향과 속력으로 운동한다.

3. 시간-힘의크기 그래프에서 면적의 관계가 언급되었다.

4. A와 B의 질량의 관계가 언급되었다.

 

우선 저 시간-힘의크기 그래프의 의미를 이해할 필요가 있다.

아까 충격량 = 받은 힘을 시간에 대해 적분한 값

이라고 했다.

I = Ft는 힘이 일정할때

적분하면 F가 상수취급되니까 이렇게 적어놓은거고

여기서는 힘이 일정하지 않다.

어쨌든 충격량 = 받은 힘을 시간에 대해 적분한 값 = 시간 축과 힘의 크기 곡선이 만드는 면적

따라서 B의 첫번째 충돌에서의 충격량의 크기 = 3S

두번째 충돌에서의 충격량의 크기 = S

첫번째 충돌에서 B의 운동량 변화량의 크기 = 3S

두번째 충돌에서 B의 운동량 변화량의 크기 = S

운동량이니까 보기 편하게 S대신 p라고 쓰겠다.

첫번째 충돌에서 B의 운동량 변화량의 크기 = 3p

두번째 충돌에서 B의 운동량 변화량의 크기 = p

 

우선 첫번째 충돌을 분석해보자.

A가 가만히 있는 B에게 다가가서 충돌했으므로

B가 받은 충격량의 크기 = A가 받은 충격량의 크기다.

따라서 A는 왼쪽방향으로 충격받았고

B는 오른쪽방향으로 충격받았다

따라서 충돌 후

A의 운동량 = mv0-3p

B의 운동량 = 0+3p = 3p

 

A,B가 충돌하고 두번째 충돌에서 B,C가 충돌한 뒤

모두 같은 속도로 움직였다.

따라서 A는 한번 충돌했고 이때 충돌한게 끝이다.

모든 충돌이 끝난 후 A의 속력이 v라 했으므로

mv0-3p = mv 이다.

왜 -mv가 아니고 mv냐면

B는 첫번째 AB충돌 후 가만히 있는 C에게 오른쪽으로 다가가서 충돌할거기 때문에

충돌 후 속도의 방향은 무조건 오른쪽이다.

 

다음으로 두번째 충돌

방금과 같은 방법으로

충돌 후 B의 운동량 = 3p-p = 2p

충돌 후 C의 운동량 = 0+p = p

따라서 모든 충돌이 끝났을때

A의 운동량 = mv0-3p = mv

B의 운동량 = 2p = mv

C의 운동량 = p = Mv

(C의 질량을 모르니 미지수 M이라 놓았다.)

v0를 구하는게 문제이므로

A의 운동량에서 v0만 남기고 정리하면

∵ = 왜냐하면(because) 기호

따라서 답은 1번