점과 도형의 평행이동

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- 개요 -

이제 두개만 배우면 수학(상)이 끝난다.

평행이동과 대칭이동이다.

이번엔 평행이동을 다룰것이다.

 

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- 평행이동이란? -

말 그대로 평행하게 이동하는거다.

그냥 평행하게 이동시키는거라

위치만 바뀌지, 모양은 절대 바뀌지 않는다.

 

 

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- 평행이동 1 : 점의 평행이동 -

점부터 평행이동시켜보자.

이건 아주 쉽다.

예를 들어서,

점 (2, 1)을

x방향으로 +3만큼

y방향으로 -2만큼

평행이동 한다면,

x방향으로 +3 갔으니 x좌표는 5가 되고

y방향으로 -2만큼 갔으니 y좌표는 -1이 되는것이다.

따라서 평행이동된 점의 좌표는 (5, -1)이다.

 

너무 쉬워서 바로 일반화할수 있다.

점 (x, y)를

x축의 방향으로 a만큼

y축의 방향으로 b만큼 평행이동시키면

그 평행이동된 점의 좌표는

(x', y') 이라고 하면,

x' = x+a

y' = y+b

따라서 평행이동된 점의 좌표는

(x+a, y+b) 이다.

 

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바로 문제를 풀어보자.
점 (-3, -6)을 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -8만큼 평행이동한 점의 좌표는?

 

x' = -3+5 = 2

y' = -6-8 = -14

따라서 답은 (2, -14)

 

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- 평행이동 2 : 도형의 평행이동 -

점의 평행이동은 쉬운데,

도형의 평행이동은 쉽지는 않다.

직관적으로 이해가 잘 안돼서 그런건데,

일단 보면 왜 그런 말을 했는지 알게된다.

 

 

직선 x-5y+1 = 0을

x축의 방향으로 3만큼

y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한

도형의 방정식을 구해보자.

 

우선 구하는 방법은, 점의 평행이동을 이용하면 된다.

도형에 있는 모든 점이 똑같이 평행이동될거기 때문이다.

 

도형이라는건 점이 모인거니까

x에 3 더하면 x+3

y에 1 빼주면 y-1

이걸 대입해서

(x+3) -5(y-1) + 1 = 0 이라고 쓰면 될까?

그렇지 않다.

왜 그런지 바로 알아보겠다.

(x+3) -5(y-1) + 1 = 0 은 다른 말로 쓰면

x'-5y'+1 = 0 이라는거다.

근데 내가 x'과 y'의 관계를 알려준적이 있나?

그런적 없다. 그래서 저렇게 쓰면 안된다.

대신 x와 y의 관계는 알고있다. 문제에서 x-5y+1=0 이라고 줬다.

문제에서 준 x와 y사이의 관계를 이용해서 식을 다시써야한다.

x' = x+3 이므로, x = x'-3 이다.

y' = y-1 이므로, y = y'+1 이다.

따라서 저걸 x-5y+1=0 에 대입해야한다.

대입하면, (x'-3) - 5(y'+1) + 1 = 0 이다.

x', y'은 우리가 임시로 잠깐 도입한 문자인데

얘네도 뜻은 x좌표, y좌표라는 뜻이니까

그냥 ' 기호 떼고 (x-3) - 5(y+1) + 1 = 0 이라고 쓰면

이게 답이다.

부호가 반대로 들어간다.

아래에 자세히 설명해주겠다.

 

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근데 여기서 이해가 안 될만한 부분이

저게 x'과 y' 사이의 관계식인데

그냥 처음에 준 식에 대입해서

x'-5y'+1=0 이라고 써도 x'과 y' 사이의 관계식인데

대체 뭐가 다른건가?

 

우선 내가 방금 작성한 부호 반대로넣은

(x'-3) - 5(y'+1) + 1 = 0 은

x'과 y'의 관계식이 맞다.

근데 x'과 y'은 평행이동된 점이며,

우리는 평행이동된 도형의 방정식을 작성해야한다.

즉 x'과 y'의 관계를 찾아내야한다.

x-5y+1=0 은 x와 y에 대한 관계식이지,

x'과 y'에 대한 관계식이 아니다.

우리가 할건,

x와 y의 관계식을 이용해서

x'과 y'의 관계식을 찾아내는것이다.

근데 답이 x'-5y'+1=0 이라고 하는거는

x-5y+1=0에 그냥 x', y' 대입해서

x'-5y'+1=0 을 써놓고 답이라고 우기고있는것이다.

x'과 y'의 관계식을 구하랬더니

이미 구해져있는 x와 y의 관계식에다가 그냥 넣어버리고는

이게 답이에요 하고있는것이다.

이렇게 보니까 말도안되는 황당한 풀이법 아닌가?

 

추가로, 평행이동 전의 도형인 x-5y+1=0 과

평행이동 후의 도형인 (x-3) - 5(y+1) + 1 = 0 를

각각 그려보면,

실제로 평행이동은 그래프의 모양에 아무런 영향을 주지 않는다는걸 볼 수 있다.

 

 

요약하자면,

도형의 평행이동에서는 부호가 반대로 들어간다.

반대로 들어가는 이유는

x'과 y'의 관계식을 찾는 과정에서

x = x'-3 이런식으로 3이 이항되기 때문에

점은 +3만큼 평행이동되지만

이를 관계식으로 나타내면 -3이 등장하는 것이다.

 

 

바로 연습해보자.

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첫 문장부터 해석하자면,

점 (x, y)를 x방향으로 -1, y방향으로 +3 만큼

평행이동 했다는거다.

그러면 x' = x-1 , y = y+3 이며

평행이동된 도형의 방정식을 구하려면

평행이동된 점의 좌표인 x'과 y'의 관계식을 구해야한다.

따라서 x = x'+1 , y = y'-3 이라고 다시 쓰고

문제에서 준 방정식인 5x-2y+1=0 에다가 대입해주면 된다.

근데 x'과 y'은 우리가 임시로 잡은 미지수이며

x'과 y'이 각각 x좌표, y좌표라는 뜻이므로

그냥 ' 떼고 다시 적으면 된다.

이걸 정리하면, 답은

 

 

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- 도형의 평행이동의 일반화 -

혹시 f(x, y)=0 이 무슨 뜻인지 모르나?

f(x) 라는건 x에 대한 함수라는 뜻이고

f(x, y) 라는건 x와 y에 대한 함수라는 뜻이다.

직선의 방정식의 일반형이 그 예이다.

x+3y-2 = 0

여기서 x+3y-2가 x와 y에 대한 함수니까

f(x, y)라고 쓰는것이다.

여담으로, 이런 함수를

변수가 여러개니까 '다변수함수' 라고 한다.

 

 

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- 예제 -

쎈 고등수학(상) 2021년 / 1417번 문제

 

기본개념에서 한번 꼬아서 나온 문제이다.

평행이동된 도형을 구하는게 아니라,

평행이동 된것에서 원래의 도형을 구하는 문제이다.

혹시 이거 한번 꼬아서 낸 문제라고 못푼다면

그냥 개념 이해못한거니까 다시읽자.

쎈 교재 A단계에 있는 문제이다.

 

아무튼 문제를 풀어보자면

도형 f(x, y)=0이 도형 f(x+3, y-5)=0 으로 옮겨졌다고 한다.

따라서 이건 x방향으로 -3, y방향으로 5만큼 평행이동 시킨것이다.

얘가 그 결과물인것이다.

따라서 원래의 도형도 원의 방정식일것이다.

원래의 도형의 방정식에다가

그냥 x자리에 x+3, y자리에 y-5 넣은 결과물이기 때문이다.

따라서 평행이동 전의 도형의 방정식을 구할거면

반대로 x방향으로 3, y방향으로 -5만큼 평행이동 시키면 된다.

그러려면

여기다 x-3, y+5 대입해주면 끝난다.

 

따라서 답은