함수 #1 - 함수란 무엇인가?

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- 개요 -

학생들을 수포자로 만드는 주제를 뽑아보라 하면

난 고민없이 함수를 뽑는다.

함수 자체가 최고난이도인 주제는 아닌데,

함수를 처음으로 제대로 다루기 시작하는 때가 고1임을 감안하면

체감난이도는 단연코 최고라고 할 수 있다.

 

고1 입장에서 생각해보면,

문자가 x 하나만 있어도 헷갈리는데

여기부턴 갑자기 당연하다는듯이

y가 나오질 않나 f가 나오질 않나 g가 나오질 않나

용어는 또 뭐이렇게 많은거고

갑자기 집합얘기는 왜나오고 그래프는 왜나오고

그와중에 함수를 합성하질않나 절댓값을 씌우질않나

처음 배우는 입장에서는 너무 난해하다.

 

근데 함수는 이런 난해함과 무시무시함을 보이는 데에 비해

그렇게 아주 어려운곳은 아니다.

 

악명높고 무시무시한 생김새를 가진게 함수지만

사실 무슨 말을 하려 하는건지 흐름을 잡는다면

그렇게 어렵지는 않다.

그러니 믿고 따라왔으면 좋겠다.

다른 학생들이 다 어려워한다는건

바꿔 말하면, 나만 잘하면 큰 강점이 될 수 있다는거다.

 

그래도 함수가 어려운 개념이긴 하다.

이걸 설명하기 위해서

여태 집합 공부하고 명제 공부한것이다.

그래서 수학(하)는 '함수'가 본체이며,

이거 개념 제대로 안잡으면 나중에 고생한다.

역함수, 로그함수, 삼각함수, 도함수 등

앞으로 정말 많은 함수를 배울텐데,

함수가 뭔지도 모르면서 여러가지 함수들을 공부하겠다는건

말이 안되는 공부법이다.

 

질문이 많을만한 주제입니다.

질문을 댓글로 남겨주면 정성껏 답해드립니다.

댓글이 달리면 제게 알림이 오며,

저는 알림을 수시로 확인하기때문에

금방 확인하고 답변드립니다.

 

 

 

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- 함수를 다루기 전에 알아야할것 : 대응이란 무엇인가? -

함수가 뭔지를 다루기 전에 알아야 할 것이 많다.

함수가 뭔지 설명하기 전에 빌드업하는거다.

집합이 여기서 나온다.

 

두 집합 X와 Y가 있다고 해보자.

그럼 X의 원소와 Y의 원소가 있을텐데,

여기서 X의 원소와 Y의 원소를 하나씩 짝지어줄거다.

그렇게 모두 짝지었다면, 이걸 '대응'이라 한다.

 

정확히는,

X의 원소를 Y의 원소에다가 모두 짝지을 수 있다면

'X에서 Y로의 대응' 이라고 한다.

이때, X의 원소를 x라 하고

Y의 원소를 y라 하면

이 관계를 기호로 이렇게 나타낸다.

x→y

 

쉽게 말해서, X의 원소들이

Y에서 자신의 짝을 찾을 수 있다면

그걸 X에서 Y로의 대응이라 한다.

X에서 Y로의 대응이려면

X의 원소가 모두 짝지을수만 있으면 된다.

Y의 원소가 모두 짝을 찾을필요는 없으며,

X의 원소 하나가 Y의 원소 여러개와 짝지을수도 있고,

Y의 원소 하나가 X의 원소 여러개와 짝지을수도 있다.

아무튼 X의 모든 원소가 Y에서 짝을 찾는다면 대응이다.

 

그림으로 요약하자면

여기서 가장 오른쪽에 있는 그림을 조금 부연설명 해줄 필요가 있다.

 

여기서 이런 불만이 있을수도 있다.

아니, X의 원소 3을 그냥 Y에 있는 아무에게나 짝지으면되지

왜 짝짓지 않아놓고 대응이 아니라고 우기는가?

짝짓는게 그냥 아무에게나 짝지을수 있는게 아니다.

그래서 이런 관계를 '대응' 이라 부르는것이다.

X의 원소 3이 Y와 짝짓고싶은데

Y의 원소인 4, 5 는 둘다 3을 원하지 않는다면

3은 짝이 없는거니까 대응이 아닌것이다.

나머지 원소 1, 2 도 똑같다.

Y의 원소 4는 1을 원하지 않지만

5는 1을 원하니까 저렇게 짝지어진것이다.

그러니까, X의 원소 1을 들여다보면

1의 짝인 5가 나와야한다.

2를 들여다보면, 2의 짝인 4가 나와야한다.

그게 바로 대응이다.

X만 보면 Y가 나오는것이다.

그리고 이런 대응관계 중 좀 특별한 상황이 있는데,

그런 특별한 상황에서의 대응관계가

정확히 어떤 수식이나 규칙으로 설명되는지

그걸 설명하는게 바로 '함수' 인 것이다.

여기선 X의 원소 3를 들여다봐도

Y에서 짝이 아무것도 안나오므로 대응이 아닌것이다.

 

 

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- 중간점검 -

 

다음 중, 집합 X에서 Y로의 대응이 아닌것은?

 

답은 ㄱ이다.

ㄱ) 에서 X의 원소 4는

Y에서 짝을 찾지 못했기 때문이다.

ㄴ) 은 하나씩 짝을 찾았으니 대응이고

ㄷ) 도 X의 모든 원소가 짝을 다 찾았으니 대응이다.

Y의 원소 3과 짝을 맺지 않는거랑은 상관이 없다.

X에서 Y로의 대응인지를 볼거니까

X만 짝을 다 찾으면 되는거다.

Y는 짝을 못찾아도 상관없다.

 

추가로, X에도 4가 있고 Y에도 4가 있어서 헷갈릴수도 있는데

X에 있는 4와 Y에 있는 4는 아무상관 없다.

그냥 우연히 값이 똑같은것 뿐이다.

 

 

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- 함수의 정의 -

함수(函數, function)

 

아까, 대응관계중 또 특별한 상황에서

그 관계를 정확히 어떤 수식이나 규칙으로 설명되는지

그걸 설명하는게 함수라 했는데,

그 특별한 상황이라는건 생각보다 간단하다.

 

1. X에서 Y로의 대응이다.

2. X의 원소 하나가 Y의 원소 여러개와 짝을 짓지 않는다.

즉, X의 원소 하나는 Y의 원소 하나씩과만 짝을 만든다.

이 두 조건을 만족할 경우,

X에서 Y로의 '함수' 라 한다.

기호로는 이렇게 나타낸다.

f : X→Y

 

여기서 X의 원소를 x,

Y의 원소를 y라 하면

'y는 x에 대한 함수' 라고도 표현할 수 있다.

 

 

아까 들었던 예시 그대로 예를 들어주자면,

두번째 것이 왜 함수가 아니냐면,

X의 원소 3은

Y의 원소 4, 5와 둘다 짝을 맺었기 때문이다.

욕심부리지 말고 하나씩만 짝을 만들어줘야 함수가 된다.

 

 

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- 함수 관련 용어 : 정의역, 공역, 치역 -

함수 f : X→Y 에서

 

집합 X를 '정의역' 이라 한다.

여기서 집합 X는 어떻게 구하냐면,

집합 X의 원소로 올 수 있는것들을 전부 모으면 된다.

 

집합 Y를 '공역' 이라 한다.

여기서 집합 Y는 어떻게 구하냐면,

집합 Y의 원소로 올 수 있는것들을 전부 모으면 된다.

 

집합 Y의 원소중, X와 짝을 만든애들을

모두 모은 집합을 '치역'이라 한다.

즉, 치역은 공역의 부분집합이다.

 

여기서, 치역을 잘 보자.

아까도 말했듯이, 치역은

X의 원소와 짝을 만든애들의 집합이다.

여기서, X의 원소를 x

Y의 원소를 y라 하면,

x에 y가 대응하므로

x→y 이다.

아까 배운 대응관계를 그대로 쓴거다.

쉽게 말하자면, x를 보면

x의 짝인 y가 보인다는 것이다.

x=1 을 보면, y=4 가 보인다.

x=2 를 보면, y=3 이 보인다.

이는, 'x값을 안다면 y값도 자동적으로 알 수 있다.'

라는 뜻이다. 표현을 조금 바꾸면,

'x값이 정해지면 y값도 알아서 하나로 정해진다.'

이게 우리가 중학교때 배웠던 함수의 정의이다.

y는 x값이 어떻냐에 따라 알아서 정해지는 값이므로

y는 x에 대한 함수이다.

이때 y를 표현하기를,

y는 x에 대한 함수인데, 함수는 영어로 function 이니까

앞글자인 f를 따온 뒤, x에 대한거니까 (x) 붙여서

y = f(x)라고 씁시다. 라고 약속해서

y = f(x) 라고 표현한다.

이건 중학교때 배운 내용이니 이해하리라 믿는다.

우리는 집합, 명제 를 배우고 왔으니

이에 대해 좀 더 자세히 알아본것이다.

 

우리는 이를 이용해, 치역을 세련되게 다시 정의할 수 있다.

치역 : 함숫값 전체의 집합, 즉 { f(x) | x∈X }

여기서 함숫값이라는건,

정의역 X의 원소 x에 대응하는

공역 Y의 원소 y, 즉 f(x)를 의미한다.

 

 

 

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- 함수를 좀 더 자세히 알아보자 -

 

문자가 많아서 헷갈릴테니 한번 정리해준다.

X와 Y는 집합이고

x와 y는 원소이다.

 

아까 했던 함수의 정의로 돌아가보자.

1. X에서 Y로의 대응이다.

2. X의 원소 하나가 Y의 원소 여러개와 짝을 짓지 않는다.

이 두 조건을 만족할 경우,

X에서 Y로의 '함수' 라 한다.

이걸 좀더 자세히, 수학적으로 세련되게 다시 쓸것이다.

 

두번째 조건이 핵심이다.

X의 원소 하나가 Y의 원소 여러개와 짝을 짓지 않는다.

이 말은, X의 원소를 x라 하고

Y의 원소를 y라 했을 때,

어떤 x를 보면, 그 x의 짝인 y가 하나만 나와야지

여러개가 나오면 안된다는 것이다.

 

이게 함수가 아닌 이유가 바로 이것이다.

X에서 Y로의 대응인건 맞는데,

X의 원소 3을 보면,

Y의 원소 4, 5 둘과 짝을 만들고있다.

이러면, 3을 보면, 그 3의 짝인 y가 하나만 나와야하는데,

y가 4와 5가 나오는것이다.

그래서 위에 제시된건 함수가 아니다.

 

왜 함수를 이렇게 정한건지 설명하기 위해, 예시를 하나 들어주겠다.

PC방에 가봤거나, 키보드에 조금 관심이 있는 사람이라면

기계식키보드에 'Fn' 이라는 키가 있는것을 본 적이 있을것이다.

본인의 키보드에도 Fn 이라는 키가 있다.

이게 바로 함수이다. 함수가 영어로 function이라 했다.

함수를 영어로한 Function 에서 따온 키가 바로 Fn이다.

Fn과 함께 어떤 키를 누르면, 특별한 기능이 발동된다.

예를 들어, 내 키보드엔

Fn과 F12를 같이 누르면, 볼륨이 커지는 기능이 있다.

왜냐면, 키보드 제작자가 '그렇게 설계'했기 때문이다.

내 키보드의 Fn키는 그렇게 작동하도록 설계된거기 때문에,

내가 언제든 Fn과 F12를 같이 누르면 볼륨이 커져야한다.

그런데, 이렇게 눌렀는데

어느날은 볼륨이 작아지질 않나,

어느날은 갑자기 인터넷이 켜지질 않나,

어느날은 갑자기 소액결제가 되질 않나 한다면?

그러면 Fn이라는 키를 쓸까?

당연히 쓰지 않는다.

우리는 이걸 보고 '고장났다' 라고 한다.

왜냐면, Fn과 F12를 같이 누르면 볼륨이 커져야하는데

이랬다저랬다, Fn키가 제 기능을 못하기 때문이다.

 

근데 아까 Fn이 뭐라고 했지? 함수라고 했다.

함수 Fn에 F12라는 '입력'을 넣었으면,

그에 맞는 '출력' 이 '하나만' 나와야 한다.

그리고 여기서 그 '하나만 나오는 출력' 이 바로 '볼륨 증가' 이다.

그 외의 결과를 낸다면, 그니까 갑자기 인터넷이 켜진다거나 한다면

그건 함수로써 제 기능을 하지 못하는것이다.

Fn이 제 기능을 하려면, '유일한 하나의 출력'이 나오도록 설계해야한다.

그래서 이 키를 Fn이라 하는것이다. 함수이기 때문이다.

이해에 도움이 되었다면 좋겠다.

 

 

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이제 함수의 정의를 다시 써보자.

 

두 집합 X, Y에 대하여
X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응할 때,
이 대응을 X에서 Y로의 함수라 하고,
기호로 f : X→Y 와 같이 나타낸다.
즉, X의 원소 x 한 개에
Y의 원소 y 한 개가 대응하는
그런 특별한 관계를 X에서 Y로의 함수라고 한다.

보통 y = f(x) 라고 표현하며,
이런 관계를 두고
'y는 x에 대한 함수' 라고 한다.

조금 어려울만한 말은

'X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응' 이라는 말인데,

했던말을 세련되게 바꿔서 반복하는거다.

X의 원소 하나는 Y의 원소 여러개와 짝을 만들지 않는다는 말이다.

x를 보면 x의 짝 y가 하나만 나와야한다.

예를 들어, x=1 을 보면 y=4 만 나와야한다.

즉, 어떤 x에 대응하는 y는 유일하게 하나만 존재해야한다.

계속 똑같은 입력(x)을 넣으면,

정해진 규칙에 따라서

똑같은 출력(y)만 나와야한다.

이 정해진 규칙을 수식으로 표현하는게 바로

y = f(x) 이다.

 

y = f(x) 라는 표현을 어떻게 쓰는건지는 직접 보여주겠다.

예를 들어, 이런 대응관계가 있다고 해보자.

일단 이건 X에서 Y로의 함수이다.

X에서 Y로의 대응 이며,

X의 원소 하나에 Y의 원소 하나씩만 대응되기 때문이다.

이걸 y = f(x)로 써보겠다.

x=1 이면 y=2 이다.

x=2 이면 y=3 이다.

x=3 이면 y=4 이다.

따라서, 이런 결론을 얻는다.

'x에 1을 더하면 y가 나온다'

따라서, y = x+1 이다.

 근데 아까 y = f(x)로 써보겠다고 했었으니 써보겠다.

y = f(x)인데, y = x+1 이므로,

f(x) = x+1 이다.

즉, y = f(x) 라는 식을 작성한다는건

x와 y의 관계식을 작성한다는 말이다.

y = f(x) = x+1 이라는 관계식을 써놨으니,

이제 x값만 넣으면,

그 x값에 대응하는 y값을 금방 찾아낼 수 있다.

가령, x=2 를 넣으면

y = f(2) = 2+1 = 3

따라서 x=2 일때 y=3 이다.

 

 

 

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- 예제 -

1 )

다음 대응이 집합 X에서 집합 Y로의 함수인지 판별하고,

함수라면 정의역, 공역, 치역을 구하시오,

 

X에서 Y로의 함수인지 판별하려면

첫째, X에서 Y로의 대응이어야 한다.

둘째, X의 원소 하나에 대해

Y의 원소가 하나만 대응되어야 한다.

 

X의 원소들이 빠짐없이 Y에서 짝을 찾았으니 일단 대응이다.

그리고, Y에서 짝을 '하나씩' 찾았으니

이건 X에서 Y로의 함수이다. 라는 결론을 얻는다.

 

정의역 : 집합 X

따라서 정의역은 X = { 1, 2, 3 }

 

공역 : 집합 Y

따라서 공역은 Y = { 1, 2, 3, 4 }

 

치역 : X의 짝의 집합

또는 함숫값 전체의 집합

따라서 치역은 { 2, 3, 4 }

 

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2 )

 

정의역 : 집합 X

집합 X는 어떻게 구하는지 아까 설명했었다.

'집합 X의 원소로 올 수 있는것들을 전부 모은다'

집합 X의 원소가 바로 x니까

'x가 가질 수 있는 값들을 전부 모은다'

물론 x에서 y로의 함수 라는 관계를 유지해야한다.

따라서, x는 0 빼고 전부 될 수 있다.

x=0 이면 분수의 분모가 0이 되면서,

y값을 정의할 수 없게 된다.

즉, x에서 y로의 함수 라는 관계를 유지하면서

x가 가질 수 있는값들을 전부 모으면

x=0 빼고 전부 모인다.

따라서, 집합 X의 원소는 x=0을 제외한 모든것이다.

 

따라서 정의역은 { x | x≠0인 실수 }

 

 

치역 : 함숫값을 모두 모은 집합

즉, x값에 의해 대응되어 나올 수 있는 y값을 모두 모은것

그니까 f(x)가 될 수 있는 값을 모두 모은것

정의역이 x≠0 이므로, 정의역인 x≠0 안에서

f(x)가 될 수 있는 값을 모두 모으면 된다.

모두 모으면 y<0 임을 알 수 있다.

 

따라서 치역은 { y | y<0인 실수 }

 

 

여기서 질문이 있을 수 있다.

Q) x, y는 꼭 실수여야 하나요?

A) 고등수학에서는 그렇다. 정의역을 복소수로까지 확장하면

'복소함수' 라는게 되는데, 이건 고등학생이 다룰수 없다.

 

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3 )

아래의 세가지 물음에 답하시오.

 

a )

x값이 하나로 정해지면,

그에 대응되는 y값은

y = x²+2x+1 이므로 하나밖에 없을것이다.

즉, 어떤 x에 대해 대응되는 y가 항상 존재하며

그 y값이 유일하게 하나만 존재한다.

따라서, y는 x에 대한 함수이다.

 

b )

x가 y에 대한 함수이려면

y값이 하나로 정해지면

그에 대응되는 x값이 하나밖에 없어야한다.

그런데, 주어진 관계식은

y = x²+2x+1 이다.

y값이 하나로 정해지면,

그에 따른 x값이 유일하게 하나만 존재하는가?

그렇지 않다.

예시를 들자면, y=4 라 해보자.

그러면 4 = x²+2x+1 이다.

'x에 대한 이차방정식'이 되었다.

이를 만족하는 x값은 -3과 2 이다.

y=4 일때 x는 -3과 2 두개의 결과가 나오는것이다.

x에 대한 이차식이기 때문에 x값이 두개가 나오는것이다.

이러면, 어떤 y에 대해

대응되는 x가 유일하게 하나만 존재하는것이 아니므로

x는 y에 대한 함수가 아니다.

이건 아주 중요한 문제이니 이해될때까지 보자.

함수를 정말 이해했나? 를 보는 문제였다.

이거 이해못하면 다음 진도 못뺀다.

 

c )

y=3 이면, y는 x에 대한 함수일까?

y=3 이라는 관계식을 잘 보자.

x라는 문자가 없다.

그 말은, x값이 뭐든 상관없이

y값은 무조건 3이라는거다.

즉, x값이 무엇이든

항상 y값은 3이라고 대응된다.

x와 y가 특별한 관계는 없지만,

아무튼 어떤 x를 가져오든 유일한 y값 3으로 대응되므로

y는 x에 대한 함수이다.

f(x) = 3 인 것이다.

이런걸 '상수함수' 라 하는데, 이건 다음에 다룰것이다.

 

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4 )

 

답은 '그렇게 장담할 수 없다' 이다.

즉, 아직 정보가 부족한데 P를 함수라고 단정지어 다루면 안된다.

만약 이 문제에 '그렇다' 라고 답했으면, 틀린것이다.

왜냐면, P가 x에 대한 함수려면,

x값이 하나 있으면 P값도 거기에 대응되게 하나만 나와야한다.

하지만 그렇게 장담할수 없기때문에, 함수라고 단정지으면 안된다.

저기서 m과 n의 값이 하나로 정해진다는 보장이 없다.

예를 들면, n² = x 라서 n = ±x 라면?

P의 값은 하나로 정해지지 않을것이다.

 

물론 보통 mx+n 하면 직선의방정식부터 떠올랐을테니

억지스러운 문제라고 생각할 수도 있는데, 어느정도는 맞는말이다.

한번 틀려보라고 함정문제를 낸것이다.

하지만, 이건 중요한 내용이다.

여러분이 앞으로 수학문제를 풀 때

특히 미지수가 많이 나오는 고난이도 문제를 풀 때

이 미지수들의 관계를 찾으려고 함수를 많이 작성할텐데,

그게 과연 함수인지를 확실히 하면서 작성해야 한다는것이다.

예를 들어, P = mx+n 에서 m=1 이고 n = ±x 이라면,

P(x)에 x=1 를 대입하면

P(1)의 값은 1이 될수도 있고, 0이 될수도 있다.

그런데 이걸 무시하고 그냥 함수라 치고 풀면

완전히 다른 답이 나오게 된다.

다 잘해놓고 함수 이상하게써서 틀리면 억울할것 아닌가?