힘과 운동 #1 - 힘의 합성과 분해

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- 개요 -

물리I에서는 대부분 1차원 운동을 다뤘다.

물리II에서는 대부분 2차원 운동을 다룬다.

물체를 지면과 30˚ 각도로 던졌다던지 한다.

따라서 이를 쉽게 이해하기 위해서는

힘의 합성과 분해가 필연적으로 몸에 익어야 한다.

힘은 벡터니까

벡터의 합성과 분해 한다고 보면 된다.

 

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- 스칼라량과 벡터량 -

 

스칼라량 : 크기만을 갖는 물리량.

즉 방향이 없다.

예를 들어 질량, 온도, 시간, 길이, 에너지 등이 있다.

 

 

벡터량 : 크기와 방향을 함께 갖는 물리량.

'힘'은 크기와 방향이 있는 물리량이므로

당연히 힘은 벡터량이다.

 

근데 교육과정이 바뀌면서

수학에서 기하를 안골라서

벡터 자체가 뭔지 모르는 사람이 있을거같아서

쉽고 간단하게 적고 넘어가겠다.

크기와 방향이 있는걸 벡터라고 한다.

숫자 3은 벡터인가?

방향이 없으니까 벡터가 아니다.

중력 은 벡터인가?

크기가 있고 지면 방향의 힘이므로

크기도 있고 방향도 있는 벡터이다.

벡터의 표현법은

이렇게 위에 화살표를 표시한다.

A 벡터라는 뜻이다.

물리2에서는 주로 2차원 운동을 다루므로

대부분 2차원 벡터를 만나게 될것이다.

따라서 저 A벡터를 (a,b) 성분의 2차원 벡터라고 하겠다.

그러면 이렇게 표현된다.

그러면 저 벡터의 크기는?

사실 이과생이라면 기본중의 기본이다.

물리II를 할거라면

최소한 기하에서 평면벡터를 조금이라도

공부해와야 수월하다.

그래서 그냥 다 스킵하고 싶었는데

복습 겸 한번 더 설명해주는거다.

 

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- 벡터의 합성 -

 

벡터합 : 말 그대로 벡터의 합.

이번엔 (p,q) 성분의 B벡터도 있다고 해보자.

아까 A벡터와 같이 표현하면 이렇게 된다.

이 둘을 더하는 방법은

평행사변형법이라고 하는데

두 벡터 A와 B의 시작점을 일치시킨다음

두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형을 그리면

합벡터 C의 크기는

시작점을 지나는 대각선의 길이와 같고,

방향은 대각선의 방향과 같다.

이때 C벡터의 x방향 성분과 y방향 성분은

a+p, b+q이다.

 

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벡터의 차 : 말 그대로 벡터의 뺄셈연산이다.

A벡터에서 B벡터를 뺀 벡터의 차 C벡터를 구하고 싶다.

이렇게 구하면 된다.

이때 C벡터의 x방향 y방향 성분의 크기는

a-p, b-q이다.

저 그림을 잘 보면

이 때의 C벡터와 똑같다는걸 알 수 있다.

시작점이 다른데 어떻게 같은 벡터냐고 물을수 있는데

크기와 방향만 맞으면 어디다가 그려도 똑같은 벡터이다.

어쨌든 결론은

A벡터에서 B벡터를 빼고싶다면

B벡터의 끝점에서 A벡터의 끝점을 향한 벡터를 그리면

그게 A벡터 - B벡터가 된다.

 

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- 벡터의 분해 -

 

사실상 이 글의 핵심이다.

이거 익숙하지 않으면 물리2 운동 기술할때 개고생한다.

 

아까와 똑같이 A벡터를 그렸는데

x축과 이루는 각이 θ라고 하자.

A벡터를 x성분과 y성분으로 분해하고 싶다.

A벡터의 크기를 A라 하면

A벡터의 x성분은

Acosθ 이고

A벡터의 y성분은

Asinθ 이다.

이 벡터의 분해에 대해 꼭 익숙해져야 한다.

 

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- 예제 -

 

1 )

2006년 4월 모의고사 1번

 

따라서 답은 3번

 

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2 )

다음 중 틀린것을 모두 고르시오.

 

ㄱ) 속도는 크기만 갖는 물리량이다.

ㄴ) 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터다.

ㄷ) 질량은 스칼라다.

ㄹ) 힘은 크기와 방향을 가진다.

ㅁ) 힘은 스칼라다.

ㅂ) 크기가 같고 방향이 서로 반대인 두 힘을 합성하면

합력은 0이 된다.

 

ㄱ) 속도는 크기와 방향을 갖는 물리량이다.

따라서 ㄱ(x)

ㅁ) 힘은 크기와 방향을 가지므로 벡터량이다.

따라서 ㅁ(x)

 

따라서 답은 ㄱ,ㅁ

 

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3 )

물체는 힘 F를 받으며 정지해있다.

여기서 경사면이

질량 m인 물체를 경사면과 수직하게 떠받치는 힘의 크기를

g와 θ를 이용해 나타내시오.

(단, 물체의 크기와 마찰력은 무시하고

중력가속도는 g라고 한다.)

 

이 물체에 작용하는 힘을 모두 표시해보자.

작용하는 힘은

1. F

2. 중력 mg

3. 경사면이 떠받치는 힘

경사면이 떠받치는 힘을 N이라 하겠다.

참고로 이런 힘을 수직항력이라 한다.

 

혹시 중력이 왜 mg인지 모른다면

물리I의 뉴턴 운동법칙을 읽어보자.

난 앞으로 물리I의 내용은 안다고 가정하고 진행할것이다.

그래도 중간중간 복습은 계속 해줄것이다.

이 힘들의 합력이 0이기 때문에

물체가 정지해있는것이다.

저 세 힘의 벡터합이 0이 되도록 하면 된다.

그러려면 F와 mg의 합력이

N과 크기는 같고 방향은 반대여야한다.

그림엔 F가 mg보다 크다는듯이 그려놨는데

그냥 힘 방향을 적당히 표시한거지 크기까지 나타낸건 아니니까

그림에서의 F 크기는 무시하자

따라서 저 셋의 벡터합을 구하면

합력이 0이므로 벡터합이 0이다.

따라서 벡터의 시작점으로 돌아올것이다.

따라서 Nsinθ = mg이고

따라서 N = mg/sinθ

 

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4 )

물체가 지표면과 θ의 각도를 이루는 속도 v로 던져졌다.

던져지는 순간의 속도벡터의

지표면 방향 성분과 연직 방향 성분을 v로 나타내라.

연직 방향이라는건 지표면과 수직 방향이라 생각하면 된다.

 

지표면 방향 성분 = vcosθ

연직 방향 성분 = vsinθ