사실 수열의 극한이라는건
수학II에서 했던
함수의 극한하고 다를게 없는 단원이다.
수열이 곧 함수이기 때문이다.
따라서 중복되는 내용은 다 스킵하고 등비수열의 극한만 다룬다.
- 등비수열의 수렴•발산 -
다음과 같은 수열을 등비수열이라 한다.
여기서 n→∞ 으로 극한을 취하면 어떻게될까?
첫째항이 음수일수도 있지만
헷갈리니까 첫째항은 양수라고 하겠다.
만약 공비가 2라고 해보자.
그럼 r=2이다.
양의 무한대로 발산한다.
양의 무한대로 발산하는 이유는 간단하다.
공비가 1보다 크기 때문에
1보다 큰 수를 계속 곱하니까 당연히 무한히 커지는것이다.
따라서 공비가 1보다 크면 양의 무한대로 발산한다.
저게 수렴할 방법은 하나밖에 없다.
첫째 항인 a_1 이 0이어야 한다.
근데 그러면 모든 항이 0이라 큰 의미가 없다.
그럼 이번엔 공비가 1이라 해보자.
그럼 r=1이다.
1은 아무리 곱해도 값이 변하지 않는다.
즉 공비가 1이면 첫째항의 값으로 수렴한다.
그럼 이번엔 공비가 0보단 크고 1보단 작다고 해보자.
그럼 0<r<1 이다.
적당히 r=1/2 라고 하겠다.
어떤 수에 1보다 작은 수를 곱하면
크기가 작아지는데
그걸 무한히 곱했으니
크기가 무한히 작아져서 0에 수렴한다.
즉 공비가 0보다 크고 1보다 작으면 0으로 수렴한다.
그럼 이번엔 공비가 -1보단 크고 0보단 작다고 해보자.
그럼 -1<r<0 이다.
적당히 r=-1/2 라고 하겠다.
이것도 어떤 수에 -1/2 를 곱하면
크기가 작아질건데
그걸 무한히 곱하니까
결국 0에 수렴한다.
따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.
|r| < 1 이면 0에 수렴한다.
이번엔 공비가 -1이라고 해보자.
그럼 r=-1 이다.
n-1이 홀수면 -a_1 이고
n-1이 짝수면 a_1 이다.
근데 n-1은 홀수인지 짝수인지 모른다.
무한히 커진다는것밖에 모른다.
따라서 이건 수렴값을 갖지 않는다.
즉 발산한다.
따라서 r=-1 이면 발산한다. 라는 결론을 얻을 수 있다.
마지막으로 이번엔 공비가 -1보다 작다고 해보자.
그럼 r<-1 이다.
적당히 r=-2 라고 하겠다.
n-1이 홀수면 -∞ 이고
n-1이 짝수면 +∞ 이다.
근데 n-1이 홀수인지 짝수인지 모르므로
이것은 수렴하지 않는다.
즉 발산한다.
따라서 r<-1 이면 발산한다. 라는 결론을 얻을 수 있다.
따라서 종합하면
r>1 : 크기가 무한히 큰 수로 발산
r=1 : 첫째항의 값으로 수렴
-1<r<1 : 0에 수렴
r≤-1 : 발산(진동)
- 예제 -
분모와 분자에 둘다 등비수열이 있다.
우선 극한값을 구하기 위해 대입해보자.
다 r>1 인 등비수열이기 때문에
양의 무한대로 발산한다.
따라서 무한으로 만드는 인자를 없애야한다.
그럼 3ⁿ 을 분모분자에 곱해볼까?
이래도 분모분자가 둘다 무한대로 발산한다.
왜냐면
5의 무한제곱이나 3의 무한제곱이나
둘다 아주 큰 수인건 맞는데
5의 무한제곱이 3의 무한제곱보다 아득히 크기 때문이다.
따라서 이건 3ⁿ을 분모분자에 곱할게 아니라
5ⁿ을 분모분자에 곱했어야한다.
제대로 다시 분모분자에 곱해보면
따라서 답은 4번이다.
나중에 익숙해지면 이런 문제는 2초면 풀어내는 경지에 오른다.
5의 무한제곱 입장에서 보면
3의 무한제곱이나 2 따위는
너무 작아서 사실상 0이나 다름없다.
따라서 그냥 다 0이라 생각하고 무시해버리면
5만 남고 따라서 극한값은 5이다.
따라서 답은 4번
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