급수 #1 - 급수의 뜻과 성질

 

쉽다.

미분 적분 들어가기 전에 쉬어가는 느낌이다.

 

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- 급수 -

 

 

우리가 수학I에서

수열 a_n의 제n항까지의 합을 S_n 이라 했었는데

급수를 이걸로 표현하고 싶다면

S_n에서 n→∞ 으로 극한 취하면 된다.

즉 그냥 수열의 합의 극한 이라고 보면 된다.

 

 

- 급수의 합 -

 

아까 급수를 수열의 합의 극한으로 표현했다.

즉 급수의 합은 수열의 합의 극한이다.

따라서 수렴할수도 있고, 발산할수도 있다.

 

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- 급수와 수열의 일반항 사이의 관계 -

 

급수가 수렴하려면 어떻게 해야할까?

무한히 더하기만 할건데

그러면 계속 커지거나 계속 작아지지 않을까?

즉 무한대로 발산하지 않을까?

그럴수도 있지만

그렇지 않게 할 수 있다.

0은 아무리 계속 더해봐야 계속 0 아닌가?

즉 더하고자 하는 수열이 0에 수렴한다면

수렴할수도 있지 않을까?

그럼 그 외에 수렴할 수 있는 방법이 있나?

그런건 없다. 무한히 더하기 때문에

0이 아니면 무조건 발산한다.

따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

이건 매우 중요하다.

급수 문제를 풀때 거의 무조건 사용되는 재료이다.

 

단 주의할 점은

수열이 0에 수렴해도 급수의 합은 수렴하지 않을수도 있다.

반례를 들어주겠다.

a_n = 1/n 이면 급수는 수렴하지 않는다.

위의 것이 1/n 급수의 합인데

위의 것이 아래 것보다 크다.

근데 아래것은

잘 보면 1/2의 무한합 임을 알 수 있다.

따라서 a_n = 1/n 이면

수열의 극한값은 0이지만 급수의 합은 발산한다.

 

 

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- 급수의 성질 -

 

급수 = 수열의 합

즉 수학I에서 배웠던

합의 기호 Σ 의 성질과 똑같다.

수학 I을 제대로 공부했다면

증명은 굳이 해주지 않아도 알것이므로 생략

주의할건 둘다 수렴해야 저게 성립한다는 것이다.

 

 

- 오개념 주의 -

 

1. 뭔가 복잡하게 곱꼴이나 나눗셈꼴로 나타내어져 있다고

함부로 시그마를 쪼개면 안된다.

 

2.

얘가 수렴한다고

얘네가 각각 수렴하는건 아니다.

a_n = n 이라 하고

b_n = -n 이라 하면

a_n - b_n = 0 이기 때문에

두 수열의 합의 급수는 수렴하겠지만

각각의 수열의 극한값은 무한대이기 때문에 수렴하지 않는다.

 

 

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- 예제 -

 

1 )

2015년 7월 모의고사 수학 A형 25번

 

 

급수의 기본 계산이다.

따라서 답은 14

 

 

 

2 )

2015학년도 수능 수학 A형 24번

 

 

급수의 성질을 이용하면 된다.

따라서 답은 54

 

 

 

3 )

2015년 10월 모의고사 수학 B형 9번

 

 

급수와 수열의 일반항 사이의 관계 문제이다.

급수의 5라는 수렴값은

그냥 급수가 수렴하니까 이걸 이용해라. 라는 거다.

숫자 5에 휘둘리지 말자.

따라서 답은 2번