등비급수와 등비급수의 활용

 

최근 수능 4점짜리 급수문제는

다 여기서 나온다.

 

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- 등비급수 -

 

말 그대로 급수인데

더하는 수열이 등비수열인 것이다.

즉 등비수열의 무한합이다.

 

- 등비급수의 수렴과 발산 -

 

등비급수가 수렴하려면 어떻게 해야 할까?

우선 급수가 수렴하려면

더하고자 하는 수열의 극한이 0이어야 한다.

이것도 똑같다.

수열의 극한이 0이어야 한다.

즉 등비수열의 극한값이 0이어야한다.

등비수열의 극한이라는건

첫째항에 공비를 무한하게 곱한것이다.

즉 공비가 1보다 크다면

값은 계속 커지고

따라서 등비수열의 극한값이 존재하지 않고 발산할것이다.

따라서 등비수열의 극한값이 0이려면

공비의 크기가 1보다 작아서

곱하면 곱할수록 값의 크기가 작아져서

결국 무한히 곱하면 0에 수렴하거나

애초에 첫째항이 0이라 아무리 곱해도 계속 0이거나

이 두개밖에 방법이 없다.

즉 첫째항이 0이 아니라는 조건 하에서는

|r|<1 을 만족하지 못하면 등비급수는 무조건 발산한다.

따라서 등비급수가 수렴할 조건은 다음과 같다.

공비의 크기가 1보다 작아야한다.

 

그럼 이때 등비급수의 수렴값은 얼마일까?

등비수열의 합 공식에다가 n→∞ 으로 극한 취하면 된다.

따라서 등비급수의 수렴값은 다음과 같다.

 

- 예제 -

 

 

따라서 답은 8

 

 

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- 등비급수의 활용 : 넓이, 길이의 무한합 -

 

수능 시험장에서는 대부분 이런 문제를 만나게 될 것이다.

문제가 너무 길어서 여러장으로 나눠서 올린다.

 

2020학년도 수능 수학 나형 18번

 

 

 

처음 보는 사람들은

이런 문제를 푸는 생각의 기본 재료를 알려주지 않으면 시작도 못할거같아서

그냥 여기서 같이 풀어주고 끝낼생각이다.

어차피 이런문제는 다 똑같은 방법으로 푸는거라

기본 생각의 재료 정도는 알려줘도 된다생각한다.

 

우선 이게 등비급수 문제임을 알아채야한다.

우선 여기서 급수문제임을 알아야 하고

도형의 생김새를 보면서 문제를 읽어보자.

 

 

첫번째 도형에다가

여러가지 특정 조건을 만족하는 두번째 도형을 그리고

거기서 또 똑같은 조건을 만족하는 세번째 도형을 그리고

그걸 계속 반복한다고 한다.

즉 도형이 계속 같은 비율로 축소된다.

따라서 등비수열과 관련되어 있는거고

급수 문제니까 등비급수 문제라는걸 알아낼 수 있다.

이건 등비급수의 합이므로 등비급수의 합 공식을 가져오면

이거니까

첫째항과 공비만 구하면 된다.

 

첫째항부터 구해보자.

첫째항은 R₁ 이라고 문제에서 알려줬다.

우선 A₁ 은 AD를 3:2 로 내분한다고 하니까

AA₁의 길이는 3이고

A₁D의 길이는 2이다.

그리고 A₁을 지나고 선분 AB에 평행한 직선이

호 DB와 만나는 점이 B₁ 이라고 한다.

따라서 피타고라스 정리를 이용해

B₁의 위치를 유추해내었다.

따라서 여기서 그려진 정사각형의

한 변의 길이는 4이다.

이제 색칠된 부분의 넓이만 구하면

그게 첫째항 R₁ 이다.

딱봐도 식이 더러울거같은데 더러운게 맞다.

원래 이런 문제는 다 식이 더럽다.

더러울 뿐이지 그리 어렵지는 않다.

 

따라서 식을 정리하면

첫째항을 구했다.

이제 공비만 구하면 된다.

공비 = 도형이 축소된 비율 이다.

그리고 도형의 넓이는

길이 × 길이 꼴로 나타나므로

도형이 축소된 비율은

길이가 축소된 비율의 제곱이다.

따라서 길이의 축소 비율을 구한 뒤

제곱하면 그게 공비가 되는것이다.

 

원래 한변의 길이가 5였던 정사각형이

한변의 길이가 4가 되었으므로

길이의 축소비율은 4/5 이고

따라서 넓이의 축소비율은 16/25 이다.

따라서 공비는 r = 16/25 이고

 

이제 등비급수 식에 대입하면 끝난다.

따라서 답은 5번이다.

 

이렇게 식이 더럽기때문에

이런 문제는 풀때마다

제발 실수없이 잘 구했으면 좋겠다는 생각밖에 안든다.