이차함수 #2 - 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

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- 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 -

별거 없는 내용이기 때문에

바로 본론으로 들어간다.

 

'이차함수의 그래프' 와

'직선'

이 둘의 '위치 관계'를 구할것이다.

위치 관계라는것은,

직선과 그래프가 만나느냐, 안만나느냐

만난다면 접하느냐, 접하지 않느냐

이걸 묻는것이다.

우선 '직선' 이라는건 선을 의미하는 것이기 때문에

직선도 '함수의 그래프'이다.

 

구하는 방법은 간단하다.

 

이차함수의 그래프와 직선이 만난다는건

두 함수의 그래프가 만난다는거니까

이차함수의 함숫값과 직선의 함숫값이 같다고 두면

'방정식'이 하나 나올거 아닌가?

그 방정식의 근을 구하면 된다.

만약 실근이 없다면 만나지 않는거고

중근이라면 한번 만나는것(즉 접하는것)이고

실근 두개라면 두번 만나는것(즉 접하지않는것) 이다.

 

 

문제는 이런식으로 나온다.

 

직접 풀어볼까?

위치관계를 구한다 = 만나는지 안만나는지

만난다면 어떻게 만나는지(접하는지 안접하는지) 구한다.

 

만난다는건 함숫값이 같다는것

따라서 아래와 같은 방정식을 세울 수 있다.

혹시 3x+1이 왜 직선인지 모르나?

일차함수니까 그래프는 당연히 직선이다.

 

방정식을 세웠으니 이것의 근만 판별하면 된다.

우선 이차방정식인데 우변이 0이 아닐때의 판별법은

알려준적이 없다.

우변을 0으로 만들기 위해

3x+1 을 좌변으로 이항한다.

다항함수의 뺄셈연산이다.

동류항끼리 모아서 계산하고 정리한다.

x²-4x+4 = 0 이라는 이차방정식의 근을 판별하면 된다.

판별식 D = b²-4ac 에서

b=-4, a=1, c=4

따라서 대입해서 계산하면 D=0

따라서 '중근'을 갖는다.

 

중근을 갖는다는건 서로 같은 두 실근을 갖는다는거고

이는 이차함수의 함숫값과 직선의 함숫값이

같아지는 순간이 '한번' 존재한다는 뜻이다.

 

따라서 답은

한 점에서 만난다(접한다)

 

 

추가로, 정확히 x좌표 어디서 만나냐고 물을수도 있는데

그러면 근을 판별하지말고 그냥 근을 구하면 된다.

x²-4x+4 = 0 을 인수분해하면 (x-2)²=0 이고

따라서 x=2에서 만난다.

 

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- 예제 -

1 )

 

위치관계를 구한다 = 만나는지 안만나는지

만난다면 접하는지 접하지 않는지 구한다.

 

만난다 = 두 함수의 함숫값이 같다.

 

따라서 아래와 같은 이차방정식을 세울 수 있다.

근을 판별하려면 우변을 0으로 만들어줄 필요가 있다.

따라서 2x+7을 좌변으로 이항하면

이차방정식의 판별식 D = b²-4ac

여기서 b=4, a=-1, c=-6

각각 대입해서 계산하면 D=-8

D<0 이므로 두 허근을 갖는다.

 

따라서 답은

만나지 않는다.

 

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2 )

 

기본예제 문제에서 살짝 꼬아봤지만

어려운건 하나도 없다. 하던대로 하면 된다.

 

우선 교점이 2개이다.

따라서 이차함수의 그래프와 직선은 두번 만난다.

두번 만난다는건

이차함수의 함숫값과 직선의 함숫값이

같아지는 순간이 두 번 존재한다는 것이다.

따라서

( 이차함수의 함숫값 ) = ( 직선의 함숫값 )

이라는 방정식을 세우면

이 방정식의 실근이 두개이며

각각 x=-1, x=2 라는 뜻이다.

 

( 이차함수의 함숫값 ) = ( 직선의 함숫값 )

이 방정식을 세우면

이차방정식의 근을 구하려면

인수분해를 이용하거나 근의 공식을 이용하면 되는데

어느쪽이든 우변이 0이어야하므로

우선 mx+1 을 좌변으로 이항한다.

이차방정식의 근을 구하는 방법은

인수분해(인수정리)를 이용하거나, 근의공식을 이용하면 된다.

두 방법 모두 보여주겠다.

 

 

-1 : 인수분해(인수정리)를 이용한 풀이 -

x=-1, x=2를 근으로 갖는다는건

위 방정식에 x=-1, x=2를 대입했을때 둘다 성립한다는것

x=-1 을 대입해서 정리하면

-3-5+m+6 = 0

따라서 m=2 이고 답은 2

x=2를 대입해도 된다. 대입해서 정리하면

-12+10-2m+6 = 0

따라서 m=2 이고 답은 2

 

 

- 2 : 근의공식을 이용한 풀이 -

근의공식을 적용하면

식이 조금 복잡하니까 5-m = A 라고 치환하고 정리하면

m은 상수이므로 실수이고

그러면 A도 실수일테니

A²+72는 무조건 양수이다.

따라서

이것의 값은 양수이고

왼쪽것의 값이 -1, 오른쪽것의 값이 2 이다.

왼쪽것의 값 = -1

이 방정식을 세워서 A값을 구하던가

오른쪽것의 값 = 2

이 방정식을 세워서 A값을 구하면 된다.

 

왼쪽것의값 = -1 부터 해보자면

여기서 좌변의 A를 우변으로 이항한 뒤

양변을 제곱해주면

따라서 A=3 이고

A=5-m 이므로 3=5-m

따라서 m=2이고 답은 2

 

다음으로 오른쪽것의 값 = 2 를 해보면

따라서 A=3 이고

A=5-m 이므로 3=5-m

따라서 m=2 이고 답은 2

 

 

이 문제에서도 보다시피

보통은 인수분해를 이용하는게 답을 빠르고 간단하게 구할수 있다.

하지만 근의공식으로 푼다고 잘못된풀이는 절대 아니기때문에

적절한 상황에서 사용할수 있게 둘다 연습해두는게 좋다.