절댓값 기호를 포함한 부등식

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- 개요 -

이번에 다룰것은

이런 문제를 푸는 방법이다.

즉 절댓값 기호를 다루는 방법이다.

 

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- 복습 : 절댓값이란? -

3에 절댓값 기호를 붙이면

|3| 이렇게되고

|3| = 3 이다.

-3에 절댓값 기호를 붙이면

|-3| 이렇게되고

|-3| = 3 이다.

절댓값이란, 0에서 얼마큼 떨어져 있느냐를 나타내는 값이다.

즉 절댓값 = 0과의 거리

|3|이 왜 3이냐면

3 이라는 값과 0 이라는 값 사이의 거리가 3이기 때문인거고

|-3|이 왜 3이냐면

-3 이라는 값과 0 이라는 값 사이의 거리가 3이기 때문인거다.

절댓값은 거리를 나타내는 값이기 때문에

절대로 음수가 될수 없다.

따라서 절댓값 기호 안에 양수를 넣든 음수를 넣든

무조건 0보다 크거나 같아야한다.

 

|7|의 값은? 7

|0|의 값은? 0

|-5|의 값은? 5

즉 절댓값 기호 안에 음수를 넣으면 부호만 양수로 바꿔서 나오고

그 외에는 그대로 나온다.

 

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- 문제 풀어보기 -

핵심 : 절댓값 기호가 있으면 벗겨버린다.

벗겨서 풀지 않으면 단순 두뇌회전을 이용한 암산으로 풀어야한다.

그러면 식이 복잡해지면 못하겠지?

 

 

|5-x| 에서 절댓값 기호를 벗겨내자.

 

5-x가 음수가 아니라면 그대로 나오면 된다.

따라서 5-x가 음수가 아니라면 |5-x| = 5-x

 

5-x가 음수라면

5-x를 양수로 만들기 위해 -를 붙여야한다.

따라서 5-x가 음수라면 |5-x| = -(5-x)

 

근데 5-x가 양수인지 음수인지는

아직 모른다. x값이 결정하는거다.

5-x≥0 이라면 음수가 아닌거고

5-x<0 이라면 음수인거다.

따라서 둘다 -x를 이항해주면

x≤5 이라면 음수가 아닌거고

x>5 이라면 음수인거다.

 

따라서 아래와 같은 결론을 얻는다.

x≤5 라면 |5-x| = 5-x

x>5 라면 |5-x| = -(5-x)

따라서 여기까지 한걸 정리하면 아래와 같이 쓸수 있다.

여기서 주의할건,

저건 연립부등식이 아니다.

그냥 x값에 따라서 경우가 바뀌니까

x값에 따라서 보기쉽게 나눈것 뿐이다.

 

x값에 따라 경우를 세가지로 나눴으니

저 부등식을 모두 푼다음 합치면 된다.

 

첫번째것부터 풀어보면

5-x<4 {x≤5}

여기서 -x를 이항해서 정리하면

1<x≤5

 

다음으로 두번째것

-(5-x)<4 {x>5}

이것도 똑같이 풀어주면

5<x<9

 

이것들을 전부 합치면 답은

1<x<9

 

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- 연습 -

 

절댓값은 벗긴다.

3x-2가 음수라면 마이너스 붙여서 나오고

음수가 아니면 그대로 나온다.

즉 3x-2≥0 이면 |3x-2| = 3x-2

3x-2<0 이면 |3x-2| = -(3x-2)

각 부등식을 좌변에 x만 남기고 다시쓰면

x≥3/2 이면 |3x-2| = 3x-2

x<3/2 이면 |3x-2| = -(3x-2)

 

이를 보기쉽게 다시쓰면

이제 각 부등식을 풀어서 합쳐주면 된다.

 

위쪽 부등식부터 풀어보면

3x-2≥5 {x≥3/2}

따라서 x≥7/3

 

아래쪽 부등식도 풀어보면

-(3x-2)≥5 {x<3/2}

따라서 x≤-1

 

둘을 합치면 답은

x≤-1 또는 x≥7/3

 

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- 심화 : 절댓값 기호가 두개 포함된 부등식 -

큰일날거같이 생겼지만

절댓값을 벗기는 원리만 이해하고있다면 해결할수 있다.

 

|x|와 |x-3| 의 절댓값기호를 모두 벗겨내야한다.

|x| 부터 보자면

x≥0이면 |x| = x

x<0 이면 |x| = -x

 

다음으로 |x-3|

x≥3 이면 |x-3| = x-3

x<3 이면 |x-3| = -(x-3)

 

즉 다음 세가지 경우로 나뉜다.

1. x와 x-3 둘다 음수인경우

2. x-3은 음수인데 x는 음수가 아닌경우

3. x와 x-3 둘다 음수가 아닌경우

 

이를 식으로 나타내면

1. x<0

2. 0≤x<3

3. x≥3

 

따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

1. x<0이면 |x| + |x-3| = -x - (x-3) 이다.

2. 0≤x<3 이면 |x| + |x-3| = x - (x-3) 이다.

3. x≥3 이면 |x| + |x-3| = x + x-3 이다.

 

이걸 보기편하게 써주면

절댓값 기호가 2개라서 경우를 하나 더 나눠줘야하는것 뿐이고

그냥 하던대로 하면 된다.

 

x+x-3≥5 {x≥3} 부터 풀면

x≥4

 

다음으로 x-(x-3)≥5 {0≤x<3} 을 풀면

3≥5 는 성립하지 않으므로 이 구간에서는 해가 없다.

 

다음으로 -x-(x-3)≥5 {x<0} 을 풀면

x≤-1

 

따라서 답은

x≤-1 또는 x≥4

 

 

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- 예제 -

1 )

쎈 고등수학(상) 2021년 / 853번 문제

 

일단 저 부등식을 푼 다음

거기서의 자연수 x의 최솟값을 찾으면 되겠다.

8-3x가 음수면 |8-3x| = -(8-3x)

8-3x가 음수가 아니면 |8-3x| = 8-3x

 

8-3x가 음수려면 x>8/3

8-3x가 음수가 아니려면 x≤8/3

따라서 보기쉽게 써주면

이제 각각 풀어주면 되겠다.

 

위의 부등식부터 풀면

8-3x>11 {x<8/3}

따라서 x<-1

 

다음으로 아래의 부등식을 풀면

-(8-3x)>11 {x≥8/3}

따라서 x>19/3

 

따라서 이 부등식의 해는

x<-1 또는 x>19/3

이를 만족하는 자연수 x의 최솟값은 7이다.

따라서 답은 7

 

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2 )

쎈 고등수학(상) 2021년 / 863번 문제

 

절댓값이 두개 포함된 부등식이다.

x+1이 음수려면 x<-1 이어야한다.

2x-4가 음수려면 x<2 이어야한다.

따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

1. x<-1 이면 (x+1), (2x-4) 둘다 음수

2. -1≤x<2 이면 (2x-4)만 음수

3. 2≤x 이면 둘다 음수가 아님

 

따라서 보기편하게 쓰면 아래와 같이 된다.

이제 저 세 부등식을 다 풀어주면 된다.

 

첫번째 부등식

(x+1)-(2x-4)≥-3 {x≥2}

따라서 2≤x≤8

 

두번째 부등식

(x+1)+(2x-4)≥-3 {-1≤x<2}

따라서 0≤x<2

 

세번째 부등식

-(x+1)+(2x-4)≥-3 {x<-1}

따라서 이 구간에선 해가 없음

 

따라서 종합하면

이 부등식의 해는 0≤x≤8

따라서 M=8, m=0 이고

M+m=8

따라서 답은 8