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최대•최소 정리와 사잇값 정리 그냥 함수의 연속 부분의 심화 내용이다. 고등학교 수학 수준으로는 증명할 수 없어서 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가는 부분이다. 그래서 그런지 출제 비율도 낮은 편이다. - 최대•최소 정리 - 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 이런 식으로 함수가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면 a와 b 사이에서 그래프가 끊어지지 않았다는거니까 어딘가엔 최댓값과 최솟값이 생길 수 밖에 없다는 논리이다. 근데 두 가지 의문점이 있다. 1. 왜 닫힌 구간이어야 하는가? 2. 왜 연속이어야 하는가? 1. 왜 닫힌 구간이어야 하는가? 열린 구간 (a,b) 에서 연속이라고 해보자. 그럼 저기서 최댓값은 f(b)인가? 열린 구간 (a,b) 에서 연속이라 .. 2021. 9. 26.
연속함수의 정의와 성질 수능 킬러문제에 거의 고정적으로 출제되는 주제이다. 물론 킬러이니만큼 여기서만 나오는게 아니고 여기저기서의 수학적 재료를 끌고와야하며 하나라도 모르면 못푼다. 여기서 그 킬러에 들어간다는 수학적 재료에 이 부분이 거의 무조건 들어간다. 매우 중요하다는 뜻이다. - 연속의 정의 - 함수의 연속이라는건 쉽게 말하자면 함수가 끊어지지 않은 것 이다. 즉 함수 f(x)가 x=a에서 연속인지 알고싶다면 1. f(a) 가 존재하는가? 2. f(x)의 x=a에서의 극한값이 존재하는가? 3. f(x)의 x=a에서의 극한값과 함숫값이 같은가? 이 세개를 모두 만족하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다. 물론 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 함수의 연속 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다. 이걸 만족하지.. 2021. 9. 26.
극한의 성질과 극한값 계산, 샌드위치 정리 이 부분은 처음엔 굉장히 난해하고 어렵게 느껴지기 때문에 문제를 많이 풀어서 감을 익히는게 중요하다 생각한다. - 극한의 성질 - 당연한것만 모아놨지만 중요하다. 지금부터 등장하는 모든 성질은 함수 f(x)와 g(x)가 둘다 x=a에서 수렴할 때 성립하는 것들이다. 1. k값은 x라는 변수가 몇이던 항상 k이다. 즉 x라는 변수에 대해 상수이다. 따라서 바깥으로 빼낼 수 있다. 2. 3. 4. (중요) 증명은 간단하게 가능하다. 물론 0으로 나누는건 정의되지 않기때문에 β=0 이거나 g(x)=0 이면 안된다. - 함수의 극한값의 계산 - 이 값을 구하라 하면 쉽게 구할 수 있다. 그냥 x에 1을 대입하면 거기가 극한의 목적지니까 0 이라는 극한값으로 수렴한다. 근데 이러면 곤란해진다. 수렴값을 알기 위해.. 2021. 9. 24.
극한의 정의 수학II부터 본격적으로 함수와 그래프를 가지고 심화된 내용을 다룬다. 처음으로 배울건 극한이라는 건데 극한이라는 개념 자체가 대학교 미분적분학 과정이기 때문에 고등수학에서는 다음과 같이 알려져 있습니다. 라는 정도로 가르친다. 즉 극한이라는 개념을 엄밀히 배운다기보단 직관적으로 이해할 수 있는 정도로만 배운다고 보면 된다. 미분과 적분을 배우기 위한 빌드업의 시작인데 오개념이 잡히기 쉬운곳이라 주의해야한다. 여기서 오개념 잡힌채로 그냥 진행하면 나중에 미분 적분 할때도 오개념 잡힐거고 나중에 미분 적분 문제 풀때 잘 안풀리니까 그제서야 본인의 문제를 발견하는데 그때 돼서야 고치려니 도대체 어디부터 문제인지 모르겠는 총체적 난국이 펼쳐진다. - 극한 - 영어로는 limit 이고 기호로는 다음과 같이 쓴다... 2021. 9. 23.
수학적 귀납법 - 수열의 귀납적 정의 '귀납' 이라는 단어가 생소해서 어려울거같지만 쉬운곳이다. - 귀납법 - 귀납 추론 이라고도 한다. 경험적으로 알아낼 수 있는 특수한 사실이 있을것이다. 그리고 이 경험이 반복되면 이 특수한 사실들 사이에서 공통성을 추론할 수 있게 되고 그것을 일반화하여 일반적인 결론을 내는 방법이 귀납법이다. 필연적인 근거로부터 시작하는 연역법과는 추론의 방향이 반대이다. 예를 들자면 a, b, c, d, e, ... 이런 수열이 있다고 해보자. b-a 값을 X라 했더니 c-b도 X이고 d-c도 X이고 e-d도 X이다. 직접 앞의 항과 뒤의 항의 차이를 구해보는 경험을 통해 둘의 차이가 X로 같다는 공통성을 찾아냈다. 따라서 연속하는 두 항의 차이가 일정하니까 이건 등차수열이겠구나. 라고 추론하는게 귀납법이다. 물론 .. 2021. 9. 23.
수열의 합 - 수열의 합과 일반항의 관계 - 당연한거라 넣을까말까 했는데 일단 넣었다. 수열의 합은 아는데 그걸로 일반항을 알아내고 싶을 때 쓰면 된다. 수열의 일반항 = 수열의 n번째 항 따라서 수열을 1번째부터 n번째까지 다 더한거에서 1번째에서 n-1번째까지 다 더한거를 빼주면 결국 n번째 항만 남을것이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다. - 합의 기호 - 수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 이라고 배웠는데 저 S_n 이라는건 수열의 합이라는건 알겠는데 뭐하는 수열인지 모르겠다. 그니까 등차수열인지 등비수열인지 아니면 다른 어떠한 규칙이 있는 수열인지 직접 a1+a2+a3+... 풀어 써봐야 알 수 있다. 따라서 편의를 위해 새로운 기호가 필요하다. 이때 기호 Σ 는 시그마 라고 읽는다. 이 문장의 뜻은 수.. 2021. 9. 22.

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