고등수학31 급수 #1 - 급수의 뜻과 성질 쉽다. 미분 적분 들어가기 전에 쉬어가는 느낌이다. - 급수 - 우리가 수학I에서 수열 a_n의 제n항까지의 합을 S_n 이라 했었는데 급수를 이걸로 표현하고 싶다면 S_n에서 n→∞ 으로 극한 취하면 된다. 즉 그냥 수열의 합의 극한 이라고 보면 된다. - 급수의 합 - 아까 급수를 수열의 합의 극한으로 표현했다. 즉 급수의 합은 수열의 합의 극한이다. 따라서 수렴할수도 있고, 발산할수도 있다. - 급수와 수열의 일반항 사이의 관계 - 급수가 수렴하려면 어떻게 해야할까? 무한히 더하기만 할건데 그러면 계속 커지거나 계속 작아지지 않을까? 즉 무한대로 발산하지 않을까? 그럴수도 있지만 그렇지 않게 할 수 있다. 0은 아무리 계속 더해봐야 계속 0 아닌가? 즉 더하고자 하는 수열이 0에 수렴한다면 수렴할수.. 2021. 10. 5. 등비수열의 수렴과 발산 사실 수열의 극한이라는건 수학II에서 했던 함수의 극한하고 다를게 없는 단원이다. 수열이 곧 함수이기 때문이다. 따라서 중복되는 내용은 다 스킵하고 등비수열의 극한만 다룬다. - 등비수열의 수렴•발산 - 다음과 같은 수열을 등비수열이라 한다. 여기서 n→∞ 으로 극한을 취하면 어떻게될까? 첫째항이 음수일수도 있지만 헷갈리니까 첫째항은 양수라고 하겠다. 만약 공비가 2라고 해보자. 그럼 r=2이다. 양의 무한대로 발산한다. 양의 무한대로 발산하는 이유는 간단하다. 공비가 1보다 크기 때문에 1보다 큰 수를 계속 곱하니까 당연히 무한히 커지는것이다. 따라서 공비가 1보다 크면 양의 무한대로 발산한다. 저게 수렴할 방법은 하나밖에 없다. 첫째 항인 a_1 이 0이어야 한다. 근데 그러면 모든 항이 0이라 큰 .. 2021. 10. 4. 정적분의 활용 #2 - 위치와 거리 미분할때 했던거랑 똑같은 부분이다. 대신 적분이 들어온만큼 조금 심화해서 다룬다. - 위치 - 미분 단원에 있는 내용을 그대로 가져오겠다. 수직선(x축) 위를 움직이는 점 P가 있다고 해보자. 그리고 이 점 P의 위치가 시간에 따라 달라질 때 즉 위치와 시간이 관련되어 있을 때 즉 위치를 시간에 대해 나타낼 수 있을 때 이 점 P의 위치를 x라 하면 x를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다. x = f(t) 그리고 속도는 위치를 미분한 것 v(t) = f'(t) 그리고 가속도는 속도를 미분한 것 a(t) = v'(t) 여기까지가 우리가 아는 내용이다. 저때는 미분까지밖에 안 배웠기 때문에 속도는 위치를 미분한거고 가속도는 속도를 미분한거다. 라고밖에 못한것이다. 근데 이젠 적분을 배웠다. 부정적분의 정의를.. 2021. 10. 4. 정적분의 성질과 정적분으로 나타내어진 함수 정적분의 정의를 이해했다면 정적분의 성질은 너무 당연하다는듯이 알고있어야한다. - 정적분의 성질 - 세 수 a, b, c 를 포함하는 닫힌 구간에서 두 함수 f(x), g(x)가 연속일 때, 즉 연속이라 적분이 가능한 함수 f(x), g(x)에 대한 정적분은 다음 식들이 성립한다. 1 ) 정적분은 넓이의 합이다. 라는것을 이해하고 있다면 너무 당연한 것이다. 곱셈의 분배법칙에 의해 k+2k+3k = k(1+2+3) 이고 따라서 저 식이 성립한다. 2 ) f(x)의 원시함수를 F(x) g(x)의 원시함수를 G(x)라 하겠다. 증명완료 3 ) 아래는 증명과정이다. 증명완료 4 ) 아래는 증명과정이다. 증명완료 5 ) f(x)를 x=a부터 x=a까지 적분하니까 당연히 0이다. 당연한거지만 써먹어야 되는거니까 .. 2021. 10. 3. 정적분의 정의 정적분 이라는건 구분구적법에서 시작되는건데 구분구적법이 미적분으로 넘어갔다. 미적분에서도 정적분과 급수의 관계를 설명하는데 언급되는 정도로만 한다. 하지만 일단 정적분의 정의는 이렇게 되니까 외워라 식으로 가르치는게 싫기 때문에 난 여기서 구분구적법을 할것이다. 싫으면 구분구적법은 그냥 넘어가도 된다. 어차피 미적분에서 또 해줄거다. - 구분구적법 - 구분구적법 이라는게 뭔말인지 모를텐데 구분 : 구분한다. 즉 분할했다. 잘랐다. 구 : 구한다. 적 : 쌓을 적(積). 면적에서의 적과 같은 한자이다. 즉 구적법 : 면적, 체적을 구하는 방법 구분구적법 : 분할하여 면적, 체적을 구하는 방법 그래서 어떻게 분할해서 구하는거냐면 예를 들어 원뿔이 있다고 해보자. 높이는 h이고 밑면의 반지름은 r이다. 이것의.. 2021. 10. 3. 적분과 부정적분의 정의 미분이 끝났고 이제 적분이다. 재미있는 부분이다. 근데 미분이 끝났다고 미분이 안나오는게 아니다. 적분의 정의에 미분이 사용되기 때문에 사실상 미분과 적분은 절대 떼어낼 수 없다고 보면 된다. 한글자도 빠짐없이 다 중요한 부분이니 꼭 이해하고 넘어가야한다. - 부정적분의 정의 - 우선 미분의 정의부터 출발해보자. 미분이라는건 다른 말로 한 단어로 표현하자면 미분 = 변화율 즉 미분이라는건 이거다. 변화율 이라는건 f(x) 변화량 / x 변화량 인데 여기서 적분이라는건 f(x)의 변화량 을 구하는것이다. 즉 f(x)의 변화량인 Δf(x)를 구하려면 간단하다. Δx를 양변에 곱하면 된다. Δx→0 이면 Δ 대신 미소 변화량 즉 매우 작은 변화량 이라는 뜻의 d 라는 기호를 써서 표현할 수 있다. Δx대신 d.. 2021. 10. 1. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
