조건부확률

그나마 확률단원에서 가장 어려운 부분인데

그냥 말도안되게 쉽다.

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- 조건부확률의 정의 -

 

표본공간 S의 부분집합인 두 사건 A, B에 대하여

확률이 0이 아닌 사건 A가 일어났다고 가정할 때,

사건 B가 일어날 확률을

사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이라 하고,

기호로 P(B|A)로 나타낸다.

 

말이 조금 어려운데,

핵심은

사건 A가 일어났다고 '가정' 했다는것이다.

즉 사건 A는 이미 일어난 사건이다.

사건 A는 이미 일어났고,

거기서 사건 B까지 같이 일어날 확률을 구하는게 조건부확률이다.

사건 A가 이미 일어났다는 전제조건 하에서 구하는거라서 이름이 조건부확률인것이다.

즉 P(B|A)를 구할때에 있어서는

표본공간이 사건 A가 되는것이다.

A 라는 사건이 일어났다는 전제조건이 있기 때문이다.

따라서 P(B|A)를 구하는 방법은 아래와 같다.

분모가 n(A)인 이유는

A가 표본공간이기 때문이고

분자가 n(A∩B) 인 이유는

B가 일어날 확률을 구하는거긴 하지만

A도 일어나야하기 때문에

A와 B가 같이 일어나는 사건

즉 A와 B의 곱사건을 구해야 하는 것이다.

저 식에서 분모분자를 n(S)로 나누면

조건부확률 공식이 완성된다.

이것도 사실 외울필요가 없는게

A가 표본공간임을 이해한다면 너무 당연한거다.

A가 일어났을때, B까지 동시에 일어났을 확률을

P(B|A) 와 같이 표현하고, 이를 조건부확률이라 한다.

만약 A와 B가 배반사건이라면

A가 일어나면서 B가 동시에 일어날수는 없다.

즉 A∩B가 공사건(일어날수 없는 사건) 이므로

P(B|A) = 0 이 된다.

 

 

벤다이어그램으로도 설명 가능하다.

여기서 사건 A가 이미 일어났으므로

빨간색으로 칠한부분이 '표본공간'이 된다.

그리고 여기서 P(B|A) 는

A라는 표본공간 안에서 B가 일어날 확률을 구하는것

따라서 빨갛게 칠한 부분이 '표본공간'이고

녹색으로 칠한 부분이 '구하고자 하는 사건' 이다.

 

만약 A와 B가 배반사건이라면?

빨갛게 칠한 부분이 표본공간인데

표본공간 안에 사건 B는 존재하지 않는다.

즉 A와 B가 배반사건이면

A와 B가 동시에 일어날수 없다.

따라서 이때 P(B|A) = 0 이다.

 

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- 확률의 곱셈정리 -

이 식에서 양변에 P(A)만 곱해주면 완성된다.

근데 외울필요는 없다.

그냥 벤다이어그램 그린다음 풀면 된다.

 

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- 예제 -

 

1 )

2018학년도 9월 모의평가 수학 가형 4번

 

1. 벤다이어그램 풀이

일단 문제에서 준것만 그대로 적으면 이렇게되고

P(B|A) 라는건

A가 일어났을때 B도 같이 일어날 확률이니까

A는 일단 이미 일어난 사건이다. 따라서 A가 표본공간이다.

( A와 B가 동시에 일어날 확률 ) / ( A가 일어날 확률 )

A와 B가 동시에 일어날 확률 = 2/5

A가 일어날 확률 = 2/3

따라서 각각 대입해서 계산하면 답은 4번

 

2. 공식풀이

각각 대입해서 계산하면 답은 4번

 

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2 )

2015학년도 수능 수학 A형(홀) 16번

 

1. 벤다이어그램 풀이

문제에서 준것만 그대로 적으면 이렇게되고

1/3 - 1/8 을 연산해서 다시 적으면

이제 얘를 구해야 되는데

사건 A가 일어나고 B의 여사건도 동시에 일어날 확률

즉 사건 A가 일어나고 사건 B는 일어나지 않을 확률

따라서 구하고자 하는 답은

( 사건 A가 일어났을때 사건 B는 일어나지 않을 확률 ) / ( 사건 A가 일어날 확률 )

사건 A가 일어나고 사건 B는 일어나지 않을 확률은 5/24

사건 A가 일어날 확률은 1/3

각각 대입해서 계산하면 답은 5번

 

2. 공식풀이

문제에서 제시한 값을 각각 대입하여 계산하면

( 1/3 - 1/8 ) / (1/3) = 5/8

따라서 답은 5번

여기서 내 블로그로 확통 진도를 나가고있다면

A와 B여사건의 곱사건이 어떻게 저렇게 변환되는지 모를수도 있는데

일부러 설명 안해줬다.

어차피 벤다이어그램을 그려보면 이해가 바로 된다.

공식이 빠르고 간단하긴 하지만

벤다이어그램 풀이가 만능이니까 이것에 익숙해지라는 의도였다.

 

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3 )

2017학년도 9월 모의평가 수학 나형 13번

 

우선 이 문제가 조건부확률 문제임을 파악하는게 핵심이다.

임의로 1명을 선택했는데

그 선택된 1명이 남학생이었다고 한다.

즉 사람을 1명 선택하는 '시행'에서

그 선택된 학생이 남학생이라는 '사건' 이 이미 벌어졌다.

따라서 이건 조건부확률 문제이다.

따라서,

선택한 1명이 남학생인데

이 학생이 과목 B를 선택한 학생일 확률은

학생수가 총 20명이고 남학생수가 10명이므로

P(남학생) = 1/2

남학생이면서 B를 선택한 사람 수는 7명이므로

P(남학생∩B선택) = 7/20

따라서 대입하여 정리하면

따라서 답은 2번

 

사실 조건부확률에 대한 완벽한 이해가 있다면

이렇게 거창한 식을 세우지 않아도 된다.

남학생은 10명

남학생 10명중 7명이 B 선택

따라서 7/10이고 답은 2번

이렇게 풀수도 있다.

그냥 똑같은말인데 위쪽 풀이는

수학적으로 세련되게 푼거다.