독립시행 #2 - 독립시행의 확률

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- 독립시행의 정의 -

동전이나 주사위를 여러 번 반복하여 던지는 경우와 같이

매회 같은 조건에서 어떤 시행이 반복되면

각 회의 시행은

그 이전의 시행의 결과에 영향을 받지 않는다.

이와 같은 시행을 독립시행이라 한다.

 

말 그대로 서로 독립인 시행을

여러번 반복한다는것이다.

예를 들어, 두번째 던져지는 주사위와 첫번째 던져지는 주사위는

아무런 상관관계가 없다.

따라서 주사위를 두번 반복하여 던지는건 독립시행이다.

 

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- 독립시행의 확률 -

 

이건 직접 구해보는게 이해가 빠르다.

똑같은 주사위 1개를 반복해서 5번 던졌을때,

6의 눈이 2번 나올 확률은?

 

우선 주사위를 던진다는 시행에서

나올수 있는 눈은 1, 2, 3, 4, 5, 6 이므로

이 시행에서의 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 이다.

따라서 n(S)=6 이다.

그리고 6의 눈이 나오는 사건을 A 라 하면

A = {6} 따라서 n(A)=1 이니까

P(A) = 1/6 이다.

그리고 우리가 원하는건

사건 A가 일어나는 거니까

이를 사건 A가 일어나는 경우, 일어나지 않는 경우

이 두개로 나눠서 생각할것이다.

6의 눈이 나오지 않는 사건은 A의 여사건이니까

이런식으로 될것이다.

그러면 5번 던져서 6의 눈이 2번 나올 확률은

사건 A가 2번

사건 A의 여사건이 3번

근데 문제는

이 사건 A가

1번째 2번째에 일어났을수도 있고

2번째 4번째에 일어났을수도 있고

2번째 5번째에 일어났을수도 있고

사건 A가 두번 일어나는 경우의 수가 너무 많다.

그렇다고 하나하나 더할수는 없다.

여기서 사용될 아이디어 는

시행 횟수가 5회 이고

시행 결과는 A 아니면 A여사건 이니까

저렇게 시행 결과가 들어갈 다섯자리를 마련해놓고

A 2개와 A여사건 3개를 '배열'하는거다.

 우선 위처럼 배열됐을때의 확률을 구해보자.

이것의 의미는

1번째 2번째에 사건 A가 일어났고

나머지엔 그러지 않았다는것이다.

따라서 이것의 확률은

이렇게 될것이다.

근데 사건 A가 두번 일어나는게 이 경우 뿐인가?

방금 구한건 사건 A가 1번째 2번째에 일어나고

나머지 3번째 4번째 5번째엔 일어나지 않을 확률이다.

 

근데 여기서 핵심은

사건 A는 언제일어날지는 모르지만 아무튼 2번 일어난다는것이다.

따라서 사건 A가 2번 일어난다는건 고정시켜놓고

이 사건 A가 2번 언제 일어날지만 정해주면 된다는거다.

그러려면 이 마련돼있는 5자리중

사건 A가 일어날 두 자리를 선택해서 가면 된다.

근데 A 끼리는 구별이 안된다.

A의 여사건 끼리도 구별이 안된다.

따라서 A가 들어갈 2자리만

지금 마련돼있는 5자리중에서 뽑아주면

알아서 들어갈거라는거다.

따라서 A 2개와 A의 여사건 3개를 5자리에 배열하는 경우의 수는

위와 같다.

근데 각각의 확률이

이거였고

이게 5C2 개 있는거니까

최종적으로 구하고자 하는 확률은

 

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- 예제 -

2017학년도 수능 수학 나형(홀) 11번

 

주사위를 던지는 '시행'을

'3회' 반복하는데

각각의 시행이 서로 독립이니까

이건 독립시행이다.

 

4의 눈이 나오는 사건을 A라고 하면

3번의 시행에서 A는 1번

A의 여사건은 2번 나와야한다.

따라서 구하고자 하는 확률은

따라서 답은 1번