독립시행 #1 - 독립사건과 종속사건

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- 독립사건 -

 

두 사건 A, B에 대하여

P(A)>0, P(B)>0 이고

어느 한 사건이 일어나거나 일어나지 않는 것이

다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않을때,

두 사건 A, B는 서로 독립이라 하고,

서로 독립인 두 사건을 독립사건이라 한다.

 

조금 어렵게 설명되어있는데 쉽게 설명해주자면

사건 A가 일어나고 일어나지 않는것은

사건 B가 어떻게 되었든 상관없다는것이다.

즉 사건 B는 사건 A에 아무런 영향을 주지 않는다.

사건 A도 사건 B에 아무런 영향을 주지 않는다.

따라서 사건 A와 B는 서로에게 영향을 주지도 받지도 않는

'독립' 상태에 있고 그래서 이름이 독립사건인것이다.

 

 

가장 흔한 예로는

동전 1개와 주사위 1개를 던진다 해보자.

주사위에서 6의 눈이 나올 확률은

동전이 앞면이 나오던지 뒷면이 나오던지

전혀 상관없이 무조건 1/6 이다.

주사위가 자아가 있어서

동전이 앞면나왔으니까 난 6 나와야겠다. 하는게 아니기 때문이다.

동전도 마찬가지이다.

주사위가 6나왔으니 난 앞면나와야지 하는게 아니다.

주사위가 몇 나왔는지는 전혀 관심없다.

따라서 여기서 동전이 앞면나오는 사건을 A

주사위가 6나오는 사건을 B라고 하면

사건 A가 일어나던 말던

주사위 입장에선 아무 상관관계가 없기때문에

사건 B가 일어날 확률은 무조건 1/6 이다.

 

 

또다른 예를 들어보자면

사람 A와 B가 동전던지기로 내기를 하고있다.

A는 동전을 던졌을때 앞면나올지 뒷면나올지 찍어서 맞춰야하고

맞추면 A가 이기는거고 못맞추면 B가 이기는 간단한 내기이다.

A가 앞면이라 예측했고 게임이 시작되려는데

갑자기 A의 친구 C가 달려와서 말한다.

"저기 미국에있는 내 친구 D가 동전던졌는데 앞면나왔다더라"

그러면 아마 A는 이렇게 대답할거다.

"그래서 어쩌라고?"

D가 던지는 동전이랑

지금 내기에 쓰일 동전이랑 대체 뭔상관이란 말인가?

D가 던진게 앞면나왔으니까 이번에 던져지는 동전은 뒷면나와야 하는건가?

아니다. 아무런 상관관계가 없는거다.

 

 

마지막으로 이건 좀 극단적인 예인데

사람 A가 동전던지기를 100번 한다고 해보자.

근데 99번 연속 앞면이 나왔다.

마지막 100번째 던질때

이때 뒷면이 나올 확률은?

1/2이다.

전에 던졌을때 앞면인지 뒷면인지

앞면이 연속 99번 나왔는지 연속 9999번 나왔는지는 전혀 상관이 없다.

동전에게 자아가 있어서

99번 연속으로 앞면 나왔었으니까

이번엔 뒷면 나와줘야겠다. 하는게 아니기 때문이다.

 

여기서 궁금한게 있을수 있다.

100번 던져서 앞면만 100번 나올 확률이

100번 던져서 앞면99번 뒷면1번 나올 확률보단 낮을거 아닌가?

따라서 100번째 던질때는 뒷면나올 확률이 더 높은거 아닌가?

이는 독립사건을 공부할때 가장 쉽게 잡히는 오개념이다.

100번던져서 앞면만 100번 나올 확률이

100번던져서 앞면99번 뒷면1번 나올 확률보다 낮은것까지는 맞다.

근데 앞면99번 뒷면1번 나온다는건

뒷면이 1번째로 나올수도 있는거고

2번째로 나올수도 있는거고

23번째로 나올수도 있는거고

100번째로 나올수도 있는거다.

이 경우를 모두 포함하고 있는게

앞면99번 뒷면1번 나온다는 사건이다.

요약하자면

앞면만 99연속으로 나왔는데

100번던져서 100연속 앞면만 나올 확률보다

앞면99번 뒷면1번 나올 확률이 더 높으니까

100번째 던질때 뒷면이 나올 확률이 더 높다는건 잘못된 생각이다.

왜냐면 앞면99번 뒷면1번 나온다는건

뒷면이 몇번째로 나오는지가 들어있지 않은거기때문에

이렇게 계산하면 안된다.

이미 앞면이 99연속으로 나와버렸기 때문에

100연속 앞면만 나올 확률과

99연속 앞면이 나온 뒤 뒷면이 나올 확률

이 두개를 비교해야한다.

 

이래도 이해가 안되면

사람 A가 앞면만 99번 나오는걸 보고

A가 동전 99번 던졌다는 사실을 모르는 B에게 가서

동전을 던져보라고 했다고 치자.

B는 A가 던졌던 동전이 99연속 앞면이 나왔다는 사실을 모른다.

이래도 뒷면이 나올 확률이 더 높은가?

 

이래도 이해가 안되면

동전 하나를 직접 가져오자.

이 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률은 1/2 인가?

당연히 1/2 겠지

근데 그 동전이

공장에서 만들어지자마자 자기가 가장 먼저 선점해서 고이 모셔놓은 동전인가?

즉 동전을 던진다는 시행을 한번도 하지 않은 동전인가?

그거는 모르는거 아닌가?

동전이 돌고 돌아서 자기한테 온걸텐데

그 동전을 누군가가 던져보는 시행을 했을지

그리고 그 시행의 결과가 앞면인지 뒷면인지

모르는거 아닌가?

근데 그런거는 몰라도 되는거 아닌가?

그걸 안다고 앞면이 나올 확률이 바뀌나?

아니다.

 

이래도 이해가 안되면

난 설명 포기하겠다.

 

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- 종속사건 -

두 사건 A, B가 서로 독립이 아니면

두 사건 A, B는 서로 종속이라 하고,

서로 종속인 두 사건을 종속사건이라 한다.

즉, 독립사건이 아니면 종속사건이다.

 

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- 배반사건과 독립사건의 차이 -

둘은 완전히 다른것이다.

배반사건 : A와 B가 절대로 동시에 일어날 수 없음

독립사건 : A와 B는 서로에게 아무 영향을 줄수 없음

따라서 배반사건인 경우엔 A와 B가 동시에 일어날수 없지만

독립사건인 경우엔 A와 B가 동시에 일어날수도 있다.

 

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- 독립사건의 판별법 -

독립사건의 정의에 힌트가 있다.

예를 들어서,

사건 A, B가 서로 독립인데

P(B|A) 를 구해보자.

P(B|A)는 A가 일어났을때 B도 같이 일어날 확률이다.

근데 A가 일어나건 말건 B는 관심이 없다.

즉 A가 일어났는지, 일어나지 않았는지는 B에 영향을 주지 않는다.

따라서 P(B|A) = P(B) 이다.

그리고 여기서 조건부확률의 공식을 가져오면

독립사건 판별 공식이 완성된다.

P(B|A) = P(B) 니까 이거 대입하고

양변에 P(A)를 곱해주면 된다.

 

아래 식이 성립할경우, 사건 A와 B는 독립이다.

반대로 성립하지 않으면, 사건 A와 B는 종속이다.

 

그리고 사건 A와 B가 독립이면

사건 A의 여사건과 B도 독립이고

사건 A의 여사건과 사건 B의 여사건도 독립이다.

사건 A가 일어났는지 일어나지 않았는지는 B한테 아무상관 없기때문이다.

 

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- 예제 -

1 )

2015년 10월 모의고사 수학 A형 6번

 

A와 B가 서로 독립이므로

P(A|B) = P(A) 이다.

따라서 P(A)=1/3 이므로

따라서 답은 1번

 

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2 )

2018학년도 6월 모의평가 수학 나형 5번

 

두 사건 A와 B가 서로 독립이므로

P(A)P(B) = P(A∩B) 이다.

P(A)=2/3 , P(A∩B) = 1/9 이므로

각각 대입해서 정리하면

P(B) = 1/6 이다.

따라서 답은 1번