이차방정식 #3 - 근과 계수의 관계

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- 개요 -

우선 근과 계수의 관계라는게 무슨말인가?

이차항의 계수 : a

일차항의 계수 : b

상수항 : c

인 이차방정식이다.

이 이차방정식의 계수인 a, b, c 와

이 이차방정식의 근이 특별한 관계가 있다.

 

이번에 다룰것은

1. 두 근의 합

2. 두 근의 곱

이 두가지이다.

이 두가지와 계수가 특별한 관계가 있다는것이다.

 

 

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- 근과 계수의 관계 1 : 두 근의 합 -

 

어떤 특별한 관계가 있냐면

일단 근의 공식을 써보자.

따라서 근은 다음과 같다.

근데 아까 '두 근의 합, 곱'과 관계가 있다했는데

여기서 두 근의 합을 구해볼까?

두 근의 합은 이렇게 될것이고

위처럼 √(b²-4ac) 가 계산되면서 0이 될것이다.

따라서 두 근의 합은 아래와 같이 된다.

두 근을 직접 구하지 않아도

계수만 가지고 두 근의 합을 구할 수 있다.

결론내자면, 아래와 같다.

 

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- 근과 계수의 관계 2 : 두 근의 곱 -

 

똑같이 근의 공식을 써보자.

그다음 두 근을 곱해보자.

이걸 구하는것이다.

합차공식을 이용하면 위와 같이 되고

정리하면, 결론은

 

두 근을 직접 구하지 않아도

계수만 가지고 두 근의 곱을 구할 수 있다.

결론내자면, 아래와 같다.

 

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- 심화 : x²의 계수가 1일때 -

우선 이 식에서

x²의 계수를 1로 만들기 위해

양변에 a를 나눠주면

아래와 같이 될것이다.

갑자기 x²의 계수를 왜 1로 만들었냐면

방금전에 공부했던 모양이 그대로 나왔다.

따라서

이 식은 아래와 같이 표현할 수 있다.

여기서 두 근을 각각 α, β 라고 하면

아래와 같이 표현할 수 있게된다.

α, β같이 이상하게생긴 문자가 등장했다고 겁먹지 말자.

그냥 '이 방정식은 두개의 근을 가질텐데

그 근을 문자로 표현해야되니까

두 근중 하나는 α라 쓰고 나머지 하나는 β라고 쓰자.'

라고 한것뿐이다.

 

따라서 일반화하자면,

두 수 α, β를 근으로 하고

x²의 계수가 1인 이차방정식은

아래와 같이 표현할 수 있다.

 

 

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- 예제 -

1 )

 

여기서 a=1, b=-1 인 것이다.

따라서 두 근의 합은

따라서 답은 1

 

이차항의 계수가 1이니까

아까 심화부분의 내용을 가지고 풀어도 된다.

α+β가 두 근의 합인데

-(α+β) = -1 이어야 하므로

α+β=1 이고 따라서 답은 1이다.

 

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2 )

 

여기서 a=1, c=2 인 것이다.

따라서 두 근의 곱은

따라서 답은 2

 

이차항의 계수가 1이니까

아까 심화부분의 내용을 가지고 풀어도 된다.

αβ가 두 근의 곱인데

αβ=2 이어야 하므로

αβ=2 이고 따라서 답은 2이다.

 

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3 )

 

우선 주어진대로 이차방정식을 써보자.

여기서 a=3 이다.

b와 c의 값을 알아내면 되는데

두 근이 주어져있으니

근과 계수의 관계를 이용해볼수 있겠다.

 

두 근의 합 = -1/3 + 1 = 2/3

따라서 b=-2

 

이제 c만 구하면 된다.

 

두 근의 곱 = (-1/3)×1 = -1/3

따라서 c=-1 이고

이차방정식을 완성시킬수있다.

따라서 답은 3x²-2x-1=0