집합 #1 - 집합의 뜻과 표현

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- 머리말 : 수학(하) 간단히 소개 -

수학(하)는 뭘 배우는거냐면

이제 이것도 끝내고 고2되면

수학1, 수학2 할텐데

그 전에 선행되어야 할것이

수식을 다루는 방법,

그리고 수학적으로 논리적이게 사고하는 방법이다.

수식을 다루는 방법을 수학(상)에서 배운거고

수학(하)에서는 수학적으로 논리적이게 사고하는 방법을 배우는것이다.

고1때 열심히 공부했다? 그러면 수식도 자유자재로 다룰줄 알고,

논리적으로 사고할수도 있는 상태로 고2로 올라가는것이다.

난 그래서 개인적으로

수학(상)은 재미없고, 수학(하)는 재미있다.

 

 

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- 개요 -

수학(하)에서 처음 배우는 내용이 바로

'집합'이다.

수학은 처음부터 끝까지 논리적으로 완벽히 연결되어있기때문에

수학(하) 에서도 마찬가지로 오개념이 생기면, 다음 수업때 지장이 생긴다.

 

 

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- 집합이란? -

집합 : 어떤 조건에 의하여 그 대상을 분명히 정할 수 있을 때, 그 대상들의 모임

 

수학적 정의는 이런데, 말이 좀 어려우니까 쉽게 가자.

우선 일상생활에서도 집합 이라는 말은 자주 접한다.

1학년 3반 학생들은 운동장으로 집합하시오.

하면 1학년 3반 학생들이 다 운동장에 모인다.

수학에서의 집합도 크게 다를 바 없다.

집합이란, 모임이다.

 

모임은 모임인데, 문제는

모으긴 할건데, 정확히 누굴 모을건지

그니까 모을 대상이란게 정확히 어떤걸 말하는건지 확실히 해야한다.

예를 들어, 키 큰 학생은 운동장으로 모이시오. 하면

키가 185cm다 이러면 확실히 키 크니까 운동장으로 갈것이다.

근데 176cm인 사람은 가야되나?

173cm인 사람은 가야되나?

키가 크다는것의 기준이 뭔가?

이러면 본인이 모임의 대상인지, 즉 집합의 대상이 될수 있는지를 모르기때문에

큰 혼란이 벌어진다.

그래서 이런식으로는 방송하지 않는다.

키 큰 사람을 모으고싶다면

키 180cm 이상인 학생은 운동장으로 모이시오. 하면 될것이다.

운동장엔 키가 180cm 이상인 학생만 모여서 집합이 만들어지는것이다.

즉, 모임을 만들기 위한 '확실한 기준'이 있어야한다.

 

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이제 수학으로 가보자.

1보다 크고 5보다 작은 자연수는 모두 모이시오.

이러면 2, 3, 4 가 모일것이다.

즉 '조건을 만족하는 모임'이 만들어질것이다.

이런걸 집합이라 하는것이다.

 

그런데, 이번엔 이렇게 해보자.

1에 가까운 정수는 모두 모이시오.

가까운 수? 가깝다는게 정확히 뭔가?

가깝다는 것에 대한 정확한 기준이 있나?

그런건 없다. 숫자들은 본인이 모임의 대상인지를 모르겠어서 혼란을 빚는다.

 

따라서, 종합하면 다음과 같은 결론을 얻는다.

 집합을 만들려면, 즉 모임을 만들려면 

 모으고자 하는 대상이 뭔지 정확히 구별할 기준이 있어야한다. 

 

이게 이번시간에 다루는것중 가장 중요한 문장이다.

집합은 곧 모임이고, 모을거면 정확한 기준을 제시해야한다.

 

 

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- 중간점검 예제 -

다음 중 집합인 것은 'O'로, 집합이 아닌 것은 'X'로 표시하시오.

1)  2에 가까운 유리수의 모임

2)   두 자리 자연수의 모임

3)   몸무게가 많이 나가는 학생들의 모임

4)   1보다 작은 자연수의 모임

 

1 )

가깝다는게 뭔가? 가깝다는것의 기준이 없다.

이런 애매한 기준으로는 집합을 만들수 없다.

따라서 이건 집합이라 부를 수 없다. (X)

 

2 )

모임이며, 두 자리 자연수라는 정확한 조건이 제시되었다.

이러면 10부터 99까지의 자연수가 다 모일것이다.

따라서 이건 집합이다. (O)

 

3 )

몸무게가 많이 나간다는 것의 기준이 없다.

이런 애매한 기준으로는 집합을 만들수 없다.

따라서 이건 집합이라 부를 수 없다. (X)

 

4 )

모임이며, 1보다 작은 자연수라는 정확한 조건이 제시되었다.

근데 1보다 작은 자연수라고?

1보다 작은 자연수는 없는데?

그럼 이건 집합이 아닌건가?

집합이 맞다. 정확한 조건을 제시해서 모은거면 다 집합이다.

멤버가 몇개 모였는지는 관심이 없다.

멤버가 있든 없든, 정확한 조건을 제시해서 모은거라면 다 집합이다.

그냥 멤버가 없는 모임(집합)인것이다.

멤버가 없는 모임이니까

이런걸 특별히 공집합 이라 부르는데, 이건 다음시간에 설명해주겠다.

따라서 답은 (O)

 

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- 집합의 원소 -

난 앞으로 모임 이라는 말 대신 집합이라 표현할거고

멤버라는 말 대신 원소라 표현할거다.

즉 원소란, 멤버이다.

예를 들어,

키 190cm 이상인 학생은 운동장으로 모이시오. 했더니

철수와 민수가 모였다고 해보자.

그럼 철수와 민수가 모여서 집합을 형성한것이고,

이 집합의 멤버는 철수, 민수이다.

이 멤버를 원소라고 한다는것이다.

따라서 '키 190cm 이상인 학생' 이라는 집합에서

'철수', '민수'는 원소인것이다.

이 예시는 계속 끌고갈거니 기억해놓자.

 

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- 집합의 원소임을 표현하는 방법 -

 

'철수'는 '키 190cm 이상인 학생' 이라는 집합의 원소이다.

라는걸 표현하는 '수학적 기호'가 있다.

이 두 가지 기호로 표시한다.

이건 '원소이다' 라는 뜻이고,

이건 '원소가 아니다' 라는 뜻이다.

 

 

바로 예를 들어주겠다.

'철수'는 '키 190cm 이상인 학생' 이라는 집합의 '원소'이다.

따라서 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

근데 190cm 이상인 학생 모이라는 방송이 나가고 나서,

누가 준식이에게 말한다.

"준식아 너 키 많이큰데 나가야되지않냐?"

준식 : "나 188cm라 안나가도 될거같아"

이 대화에 따르면,

'준식'이는 '키가 190cm 이상인 학생' 이라는 집합의 원소가 아니다.

따라서 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

여담 ) 기호가 ∈인 이유?

솔직히 이 기호의 유래는 나도 잘 모른다. 다만 외우기 쉬운 방법은 안다.

원소는 영어로 Element이다.

앞글자인 E를 좀 둥글게 쓰면 ∈가 된다.

 

 

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- 집합에 이름붙이기 -

'키가 190cm 이상인 학생'

내가 위로 들어준 예시는

집합의 이름이 너무 길지 않은가?

그래서 이런걸 일일이 적기 귀찮으니

집합의 이름을 붙여버리자.

키가 190cm 이상인 학생의 집합을

'집합 A' 라고 해버리면 되는거다.

 

키가 190cm 이상인 학생의 집합을 집합 A라 하겠다.

그럼 아까 집합의 원소임을 표현하는 식도 더 간단해진다.

그리고 앞으로도 거의 항상 집합엔 이름을 붙여서 줄것이다.

일일이 적기 귀찮기 때문이다.

그냥 집합 A라고 해버리면 되는건데 길게 적을 이유가 없다.

영어에서 대명사를 왜 쓰나? 똑같은말 계속 반복하기 싫으니까.

 

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- 중간점검 예제 -

바로 예제로 감을 잡아보자.

 

ㄱ )

10은 A의 원소다. 라는 식인데

10은 A의 원소인가?

12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 인데 이중에 10이 없다.

따라서 10은 A의 원소가 아니다.

따라서 ㄱ(x)

 

ㄴ )

1은 A의 원소다. 라는 식인데

1은 A의 원소인가?

12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이므로 이중에 1이 있다.

따라서 1은 A의 원소가 맞다.

따라서 ㄴ(o)

 

ㄷ )

3은 A의 원소가 아니다. 라는 식인데

3은 A의 원소가 아닌가?

12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이므로 이중에 3이 있다.

따라서 3은 A의 원소이다.

따라서 ㄷ(x)

 

ㄹ )

7은 A의 원소가 아니다. 라는 식인데

7은 A의 원소가 아닌가?

12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이므로 이중엔 7이 없다.

따라서 7은 A의 원소가 아니다.

따라서 ㄹ(o)

 

따라서 답은 ㄱ, ㄷ

 

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- 집합의 표현 -

집합이 뭔지는 대충 알았고,

이제 수학적으로 표현할줄만 알면 된다.
아까 들었던 예시인

'키가 190cm 이상인 학생'의 집합을 '집합 A'라고 하겠다.

집합 A를 어떻게 표현하느냐?

우선 집합 A는 '중괄호 {}'로 표시한다.

요 괄호 안에 들어가는게 바로 집합 A의 원소인데,

집합 A의 원소를 저 괄호 안에 넣는 방법은

두 가지 방법이 있다.

1. 원소나열법

2. 조건제시법

둘다 뜻은 말그대로인데, 하나씩 뜯어보자.

 

 

1. 원소나열법

말 그대로, 원소를 그대로 나열하겠다는거다.

집합 A의 원소는 철수, 민수이다.

그럼 그대로 적어주면 된다.

원소끼리는 중괄호 안에 쉼표(,)로 구별한다.

 

예를 하나 더 들어주자면,

집합 B를 12의 양의 약수의 집합이라 하면

집합 B를 다음과 같이 표현할수 있다는것이다.

B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

 

 

2. 조건제시법

말 그대로, 집합에 들어갈 원소의 조건을 제시하겠다는거다.

집합 A에 들어갈 원소의 조건은

'키가 190cm 이상'이라는것이다.

그럼 이렇게 표현된다.

무슨 뜻이냐면,

x가 A의 원소이긴 한데,

그 x의 조건을 적어줘야 할거 아닌가? 그 조건을 적을때,

x 뒤에 절댓값기호인 | 를 치고 뒤에 적겠다는거다.

A의 원소는 x인데, x는 키가 190cm 이상인 학생입니다.

라는 뜻이다.

 

집합 B를 12의 양의 약수의 집합이라 하면

집합 B를 다음과 같이 표현할수 있다는것이다.

 

 

추가로, 벤다이어그램으로 집합을 표현할 수도 있다.

바로 위에 예로 들었던 집합 B를 가져와보자.

B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 이다.

이를 벤다이어그램으로 표현하면

이런식으로 된다.

이건 '벤다이어그램' 이라는게 어떤건지만 알아가면 된다.

나중에 '부분집합' 이라는걸 배울텐데 그걸 설명할때 쓰이는 재료이다.

집합 B를 벤다이어그램으로 표현하고 싶다면,

저런식으로 B라는 이름의 동그라미를 그린 다음, B의 원소를 안에 넣으면 된다.

 

 

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- 예제 -

1 )

a) 잘생긴 연예인의 모임을 집합이라 할수 있는가?

b) 자연수의 모임을 집합이라 할수 있는가?

 

a )

잘생겼다는 것의 정확한 기준이 없다.

따라서 이건 집합이라 할수 없다.

 

b )

자연수 라는 정확한 기준을 가지고 모임을 만들었다.

멤버의 수, 즉 원소의 수가 무한히 많긴 하지만

어쨌든 명확한 기준을 가지고 모임을 만들었으니

이건 집합이다.

정확히 말하자면 무한집합인데, 이건 다음 시간에 다룬다.

 

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2 )

집합 A = { x | x는 4의 양의 배수 } 와

집합 B = {1, 2, 3, 4, ... } 가 있다.

집합 A를 원소나열법으로 표현하고

집합 B를 조건제시법으로 표현하시오.

 

집합 A부터 해보자.

집합 A의 원소는 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... ?

원소가 너무 많아서 일일이 적을수 없다. 하지만 규칙적이다.

이럴땐 그냥 뒤에 ... 붙여주면 된다. 이 규칙대로 쭉~ 간다는 뜻이다.

보통 원소를 3개~4개 정도 쓰고 뒤에 ... 붙인다.

 

따라서 집합 A를 원소나열법으로 표현하면

A = {4, 8, 12, ... }

 

 

다음으로 집합 B를 해보면

B의 원소는 1, 2, 3, 4, ... 이다.

규칙이 보인다. B의 원소는 자연수이다.

 

따라서 집합 B를 조건제시법으로 표현하면

B = { x | x는 자연수 }