미분계수와 도함수, 미분법 공식

 

드디어 거의 모두가 이름만 들어도 무서워하는 미적분이 등장했다.

사실 별거 아닌데 뭔가 이상한 기호가 등장하고

공식이 복잡해보이니까 겁을 먹는것이다.

진짜 아무것도 아니니까 겁먹지말고 따라오면 좋겠다.

 

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- 평균변화율 -

 

말 그대로 x값의 변화에 따라

평균적으로 y값이 얼마나 변화했냐를

비율로 나타낸것이다.

x값의 변화량은 Δx 라고 쓰고

y값의 변화량은 Δy 라고 쓴다.

즉 평균변화율의 정의는 다음과 같다.

x의 변화량에 따른 y의 변화량

변화량을 비교할때는

처음값과 나중값을 비교한다.

즉 나중값에서 처음값을 빼주면

변화량이 나온다.

나중값이 처음값보다 작을수도 있으므로

변화량은 음수가 나올 수도 있다.

 

여기서 y=f(x) 라고 하고

x가 a에서 b까지 변화했다고 해보자.

Δx=0이면 안되므로 a≠b 이다.

그러면 Δy = Δf(x) 이고

Δf(x) = f(b) - f(a) 이다.

그리고 Δx = b - a 이다.

따라서 저 평균변화율 식을 다시 쓰면

이렇게 된다.

b-a = Δx 이므로

b = a+Δx 이고

따라서 이렇게 쓸 수도 있다.

 

둘다 무조건 알아야 한다.

이걸 모르고 미분과 적분을 논한다는것 자체가 말이 안된다.

근데 안타깝게도 수험생의 절반 이상은 이것도 모르고 미적분 문제를 풀고있다.

당연히 기본 개념을 모르기때문에

조금만 꼬아서 내면 못푼다.

 

 

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- 미분계수 -

 

순간변화율 이라고도 부른다.

순간변화율 이라는건

어떤 순간의 변화율 이라는 말이다.

평균변화율이 이건데

순간변화율 이라는건

어떤 순간을 보는거다.

어떤 '순간' 이라는건 매우 짧다.

즉 Δx의 값이 매우 작다.

따라서 이때의 순간변화율(미분계수)은

이렇게 되는거고

아까 평균변화율에서 저 식을 두 가지 방법으로 표현했으니까

그걸 그대로 가져와서 적용하면

 

그리고 Δx→0 이라는건

b-a → 0 이라는거고

따라서 b→a 이다.

따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

근데 여기서 a랑 b라는건 임의로 잡은 어떤 값이다.

함수 f(x)니까 모든 x에 대하여 성립하도록

식을 일반화 시키고 싶다.

 

 미분계수를 일반화시킨게 '도함수'의 정의이다. 

 f(x)의 도함수는 f'(x) 라고 쓴다. 

이 식은 임의의 값 a에 대한 미분계수니까

일반화하기 위해 a대신 x를 넣고

도함수는 보통 Δx 대신 h라고 표현하니까

문자만 바꿔넣으면

도함수의 정의는 다음과 같다.

이 식도 일반화를 위해

b 대신 x를 넣으면

도함수의 정의는 다음과 같다.

 

둘을 하나로 합치면

 도함수의 정의는 다음과 같다. 

 

여기서 h는 Δx임을 잊지 말자.

 

 

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- 심화 : 주어진 식이 순간변화율이 아닐 때 -

이게 뭔지 구해보자.

h는 Δx 이므로

이렇게 쓸 수 있다.

근데 이건

x의 변화량은 Δx 인데

y는 2Δx 변한것의 y값을 구하고 있다.

즉 x의 변화량에 따른 y의 변화량이 아니다.

따라서 저게 변화율이 되려면

아래와 같이 변화량을 맞춰줘야한다.

분모를 2Δx로 만들기 위해

분모 분자에 2를 곱한것이다.

따라서 저것의 값은

 

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- 미분법의 공식 -

 

1. 함수 f(x) = xⁿ ( n은 자연수 ) 의 도함수

사실 이건 확률과 통계 에서의 '이항정리' 를 알아야 이해 가능하므로

증명 과정은 그냥 호기심 풀이용으로 보자.

모두가 확통을 선택하는건 아니기때문에 이 공식은 외워야한다.

최종 식만 외우면 된다.

예를 들어 f(x) = x^3 + 2x 면

f'(x) = 3x^2 + 2 가 되는 것이다.

 

 

2. 상수함수의 도함수

따라서 상수함수의 도함수는 0이다.

 

 

3. 실수배의 도함수

미분한다음 상수는 그냥 곱해주면 된다.

 

 

4. 합, 차의 도함수

 

 

그냥 각각 미분해서 더하고 빼주면 된다.

 

 

5. 곱의 미분법

 

이건 각각 미분한다음 곱하는건 안된다.

주의해야한다.

유도법 : 분자에 f(x)g(x+h)를 더하고 빼준다.

 

함수가 3개 이상 곱해진것도 마찬가지로 하면 된다.

 

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- 예제 -

 

1 )

 

xⁿ 꼴의 미분법과

합, 차 미분법을 이용하면 된다.

따라서 답은 15

 

 

 

2 )

 

 

곱의 미분법을 이용하면 된다.

따라서 답은 104

 

 

 

3 )

2011년 7월 모의고사 수학 나형 3번

 

 

도함수의 정의를 이용하면 된다.

따라서 답은 4번

 

 

 

4 )

2015년 10월 모의고사 수학 A형 7번

 

 

도함수의 정의를 조금 꼬아서 낸 것이다.

위의 심화부분을 제대로 읽었다면 쉽게 풀어낼 수 있다.

따라서 답은 1번