미분가능성

 

수능 킬러 단골소재다.

하지만 내용 자체는 크게 어렵지 않다.

 

---

 

- 미분가능성 -

 

말 그대로 미분이 가능하냐 불가능하냐를 따지는것이다.

미분이 불가능하다는게 무슨 말이냐면

 

도함수의 정의를 떠올려보자.

도함수라는건 함수의 극한으로 정의된다.

따라서 저기서 f(x)가 x=a에서 미분계수가 존재하려면

f(x)가 x=a에서 극한값을 가져야 한다.

그리고 도함수를 계산하려고

저 식에 a를 대입하면

분모 x-a는 x→a 이기 때문에 0에 수렴한다.

따라서

이 값이 존재하려면

f(x)의 극한값 - f(a) = 0 이어야 한다.

즉 f(x)의 x=a 에서의 극한값과 f(a)가 같아야 한다.

즉 극한값과 함숫값이 같아야 한다.

 

따라서 정리하자면

 f(x)가 x=a에서 미분 가능하려면 

 f(x)가 x=a에서 연속이어야한다. 

 

그리고 한 가지 빼먹은게 있다.

이게 도함수의 정의인데

그럼 저것의 극한값이 존재한다는거고

따라서 x=a에서의 좌극한값과

x=a에서의 우극한값이 같아야한다.

좌극한값을 좌미분계수,

우극한값을 우미분계수라고 하겠다.

즉 좌미분계수 = 우미분계수 여야 한다.

즉  도함수가 연속이어야 한다. 

 

따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

 f(x)가 연속이라고 무조건 미분 가능한것은 아니다. 

 

벤다이어그램으로 정리하면

 

 

 

여기까지 정리하자면

 함수 f(x)가 x=a 에서 미분가능하려면 

 f(x)가 x=a에서 연속이어야 하고 

 미분계수가 존재하기 위해 

 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다. 

 따라서 앞으로 미분가능성을 조사할 때는 

 다음 두 가지를 만족하는지를 보면 된다.

 1. 연속인가? 

 2. 좌미분계수와 우미분계수가 같은가? 

 

 

그럼 연속인데 미분가능하지 않은 경우는 어떤 경우일까?

좀 이해가 쉽게 말하자면 함수가 뾰족하게 생긴 경우이다.

이런 함수가 있다고 해보자.

이 함수의 그래프는 아래와 같이 생겼다.

이 함수의 x=0 에서의 미분가능성을 조사해보겠다.

 

우선 미분가능성을 조사할 때 해야될 두가지는

1. x=0에서 연속인가?

2. x=0에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같은가?

 

 

x=0에서 연속인가?

우선 좌극한값, 우극한값, 함숫값 모두 0으로 같으므로 연속이다.

 

 

x=0에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같은가?

좌미분계수와 우미분계수가 다르다.

도함수의 정의는 극한값인데

좌극한 우극한이 다르니 극한값 자체가 없다.

즉 x=0에서의 도함수 자체가 정의될 수 없으며

따라서 x=0에서 미분 불가능하다.

 

 

---

 

- 예제 -

 

2011년 10월 모의고사 수학 나형 5번

 

 

 

함수가 x=1을 기준으로 나뉘어 정의되어있는데

x>1 인 곳에서는

다항함수이므로 연속이고

다항함수이므로 뾰족한 부분이 없을것이므로 미분가능하다.

x<1 인 곳에서도

다항함수이므로 연속이고

다항함수이므로 뾰족한 부분이 없을것이므로 미분가능하다.

따라서 x=1에서만 미분가능하게 된다면

모든 실수 x에 대하여 미분가능한 함수가 된다.

 

미분가능하도록 하는 조건

1. 연속이어야 함

2. 미분계수가 존재해야함

 

우선 연속인지부터 보자.

좌극한=우극한=함숫값 이다.

따라서 연속이다.

따라서 미분계수가 존재하게만 만들어주면 된다.

즉 좌미분계수와 우미분계수가 같게만 만들어주면 된다.

따라서 a+3=4를 만족하면 x=1에서 미분가능하게 되고

따라서 a=1

따라서 답은 4번