- 도함수의 기하학적 의미 -
함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능하다고 해보자.
미분가능하다는건 f'(a)가 존재한다는거다.
이때 f'(a)의 기하학적 의미를 알아보자.
f'(a)의 정의는 다음과 같다.
즉 도함수라는건
어떤 지점에서의 순간적인 x 변화량에 대한 y 변화량의 비율이다.
따라서 도함수라는건 어떤 지점에서의 순간적인 기울기를 의미한다.
- 접선의 방정식 -
함수 y=f(x)의 그래프이다.
이것의 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식을 구해보자.
우선 접선이라는게 뭔지부터 알 필요가 있다.
쉽게말하면 '어떤 곡선과 접하는 직선'이고
수학적인 정의는 다음과 같다.
곡선 위의 두 점 로 만들어지는 직선 PQ에서
점 Q가 곡선을 따라 점 P에 한 없이 가까워 질 때,
이 직선 PQ를 곡선과 점 P에서 만나는 접선이라고 한다.
이때 점 P를 접점이라고 한다.
따라서 함수 y=f(x)의 x=a 에서의 접선의 방정식을 구하고 싶다면
우선 이 접선이 a를 접점으로 하니까
접선은 ( a, f(a) ) 를 지난다.
그리고 접선은 직선이니까 일차함수이다.
따라서 접선의 방정식은 다음과 같다.
여기서 m은 접선의 기울기이다.
접선의 기울기는 어떻게 구할까?
도함수의 기하학적 의미를 떠올려보자.
f'(a) 라는건 f(x)의 x=a에서의 기울기이다.
따라서 m=f'(a)고
정리하자면
함수 y=f(x)의 x=a 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
이제 이것의 점 (2, 4) 에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다.
2, f(2)를 지나므로 이렇게 될 것이다.
f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2 라고 해보자.
그럼 f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 이고
따라서 f'(2) = 5 이다.
따라서 접선의 방정식을 다시 쓰면
접선의 방정식을 구했다.
- 평균값 정리 -
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b] 에서 연속이고
열린 구간 (a, b) 에서 미분가능할 때,
인 c가 열린 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
좌변은 (a, b) 사이의 어떤 지점에서의 순간변화율이고
우변은 a부터 b까지의 평균변화율이다.
평균변화율과 순간변화율이 같아지는 지점이
구간 (a, b)에 적어도 하나는 존재한다는 것이다.
중간값 정리와 거의 똑같은 논리이다.
미분가능하다는건 도함수가 존재한다는거고
도함수는 극한값으로 정의되는거기 때문에
결국 열린 구간 (a, b)에서 미분가능하다는 말은
열린 구간 (a, b)에서 도함수가 연속이라는 말이다.
따라서 중간값 정리와 같은 맥락으로
a부터 b까지 도함수의 그래프가 끊어지지 않고 이어져있어야 하기 떄문에
a부터 b까지의 평균변화율과 같아지는 지점이 어딘가에 존재할 수 밖에 없다는 논리이다.
이것의 기하학적 의미는
곡선 y=f(x) 위의 두 점 ( a, f(a) ), ( b, f(b) ) 를 지나는 직선과
평행한 '접선' 이 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
- 심화 : 롤의 정리 -
평균값 정리에서의 특이 케이스를 다룬것이다.
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고
열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때,
f(a) = f(b) 이면 f'(c) = 0인 c가
열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
왜 평균값 정리에서의 특이 케이스라 하냐면
f(a) = f(b)면 평균변화량이 0이기 때문이다.
여기서
이 값이 0이다. 왜냐면 f(a)=f(b)니까
- 예제 -
1 )
접선의 방정식만 구하면 되는 간단한 문제이다.
x^3 + 2 = f(x) 라 하겠다.
점 (a, -6) 에서의 접선의 방정식은
y = m(x-a) -6 이다.
m = f'(a)이고
(a, -6) 은 곡선 y=x^3 + 2 위의 점이므로
각각 대입하면 -6 = a^3 + 2 를 만족해야한다.
따라서 a=-2이다.
종합하면 접선의 방정식은
y = f'(-2)(x+2)-6 이다.
f'(x) = 3x^2 이므로
f'(-2) = 12 이다.
따라서 접선의 방정식은
y = 12(x+2)-6 = 12x+18
따라서 a = -2, m = 12, n = 18
a + m + n = 28
따라서 답은 28
2 )
접선의 방정식을 구한다음 한 단계만 더 하면 된다.
x^3 + 2x + 7 = f(x) 라 하고
점 P(-1, 4) 에서의 접선의 방정식을 구해보면
y = f'(-1)(x+1)+4 이고
f'(x) = 3x^2 + 2 이므로
f'(-1) = 5 이다.
따라서 접선의 방정식은
y = 5(x+1)+4 = 5x+9
근데 이 접선이
곡선과 점 (a, b)에서 또 만난다고 한다.
만난다는건 y값이 같다는것이므로
x^3 + 2x + 7 = 5x + 9 라 놓고 풀면 된다.
저걸 정리하면 x^3 - 3x - 2 = 0이다.
이제 이것의 해를 구하면 되는데
우리는 지금
x=-1에서의 접선과 곡선이 만나는 지점을 구하고 있다.
즉 이미 x=-1 에서 만난다는 힌트가 있다.
따라서 x^3 - 3x - 2 는 x+1을 인수로 갖는다.
이를 힌트로 인수분해하면
(x+1)(x^2-x-2) = 0 이고
따라서 x=-1, x=2 를 근으로 갖는다.
따라서 x=2에서 만난다.
접선의 방정식이 y=5x+9 이므로
x=2를 대입하면
점 (2, 19) 에서 만난다.
따라서 a=2 , b=19 이므로
2+19 = 21
따라서 답은 21
3 )
우선 함수 f(x)는
다항함수이므로 닫힌구간 [0, 2] 에서 연속이며
열린구간 (0, 2) 에서 미분가능하다.
따라서 평균값 정리를 사용해도 된다.
뭔가 평균값 정리 써야될거같이 생겼다고
무작정 평균값 정리를 쓰지 말고
위와 같이 아무도 반박할 수 없는 논리를 기반으로 하여
문제를 풀기 바란다.
근데 사실 평균값 정리 아예 몰라도 풀수 있을정도로 쉬운 문제이다.
아무튼 평균값 정리에 의해
저걸 만족하는 실수 c의 값은 존재할수밖에 없다.
이건 f(x)의 0부터 2까지의 평균변화율이다.
f(2) = -6 이므로
-3 = f'(c) 를 만족하는 c 값을 찾으면 된다.
f'(x) = -4x + 1 이고
따라서 열린 구간 (0, 2) 에서 f'(c)=-3 을 만족하는 c값은
c=1 이다.
따라서 답은 1
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