상당히 오개념이 잘 잡히는 부분인데
출제율도 높은 부분이다.
주의깊게 봐야한다는 뜻이다.
- 함수의 증가와 감소 -
함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고,
그 구간의 모든 x에서
f'(x)>0 이면 함수 f(x)는 그 구간에서 증가한다.
f'(x)<0 이면 함수 f(x)는 그 구간에서 감소한다.
여기서 '어떤 구간'이라는건
그냥 임의로 정하는 구간이라고 보면 된다.
[1, 3] 이라고 정했으면
어떤 구간 = [1, 3] 이 되는 것이다.
즉 자기 마음이고 출제자 마음이다.
그니까 문장이 이해가 어렵다고 쫄지말고
그냥 출제자가 시키는대로 하면 된다.
f'(x) = 도함수 = 순간변화율 = 기울기
즉 f'(x)>0 이면 기울기>0 이다.
따라서 기울기가 양수이므로 f(x)가 증가하는것이다.
f'(x)<0 이면 기울기<0 이다.
따라서 기울기가 음수이므로 f(x)가 감소하는것이다.
- 오개념 주의 -
f(x)가 모든 실수의 집합에서 증가하는 함수라고 해보자.
즉 항상 증가하는 함수라고 해보자.
그럼 f'(x)>0 이게 성립할까?
아니다.
반례를 들어주겠다.
f(x) = x^3 이라 해보자.
x^3은 항상 증가하는 함수이다.
f'(x) = 3x^2 이고 f'(0) = 0 이다.
즉 f'(x)>0 이게 성립한다는 보장은 없지만
f'(x)≥0 이건 항상 성립한다.
감소하는 함수도 똑같다.
f'(x)<0 이라는 보장은 없지만
f'(x)≤0 이건 항상 성립한다.
그리고 또 주의해야할 오개념이
f'(x)≥0 이면 증가함수일까?
그건 또 아니다.
왜냐면 f(x) = c (c는 상수)
이런 함수가 있다고 해보자.
f'(x) = 0이고 f'(x)≥0 이지만
증가하는 함수는 아니다.
- 증가함수와 감소함수 -
항상 증가하는 함수가 증가함수이고
항상 감소하는 함수가 감소함수이다.
즉 모든 실수에 대하여
증가함수는 f'(x)≥0 이 성립하고
감소함수는 f'(x)≤0 이 성립한다.
결론짓자면
1. f'(x)>0 이면 증가함수
2. f'(x)<0 이면 감소함수
3. 증가함수면 f'(x)≥0 성립
4. 감소함수면 f'(x)≤0 성립
5. f'(x)≥0 이라고 무조건 증가함수인건 아니다.
f(x)가 상수함수라던가 하는 특이 케이스가 있기 때문이다.
물론 그 외에는 f'(x)≥0 이면 증가함수이다.
- 함수의 극대와 극소 -
수학적 정의 자체는 함수의 증가 감소보다 더 이해하기 어렵게 설명되어있다.
x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여
f(x)≤f(a) 이면 함수 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, f(a)를 극댓값이라 한다.
f(x)≥f(a) 이면 함수 f(x)는 x=a에서 극소라 하고, f(a)를 극솟값이라 한다.
우선 어떤 열린구간이라는 말이 무슨말인지는
아까 증가감소 할때 이해했을것이다.
그냥 마음대로 잡는데 x=a 를 포함하도록 잡으면 되는것이다.
함수 y=f(x)의 그래프가 이렇게 있다고 해보자.
열린 구간 (2, 5) 를 잡아보겠다.
그럼 이 열린구간 (2, 5)에 속하는
어떤 x값을 대입해도
f(a) 이하일것이다.
따라서 f(x)는 x=a에서 극대이고
f(a)가 극댓값이다.
여기서 핵심은
x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여 f(x)≤f(a)
이것을 만족시키는 어떤 열린구간 이라는게 존재할 수 있다면
x=a에서 극대이다.
무슨말이냐면
이건 x=a에서 극대이다.
왜냐면
x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여 f(x)≤f(a)
이걸 만족하는 어떤 열린구간이 존재하기 때문이다.
적당히 저 파란 동그라미친 두 지점
x=1, x=2 에서 열린구간을 잡아보자.
(1, 2)에 속하는 모든 x에 대하여 f(x)≤f(a) 이기 때문에
x=a에서 극대인 것이다.
주의할건
구간을 이렇게 잡아놓고
x=1에서 극대라고 우기면 안된다.
극대의 정의를 다시 보자.
x=a 를 포함하는 열린 구간이어야 한다.
따라서 x=1에서 극대려면
x=1을 포함하는 열린 구간에서 항상 f(x)≤f(1) 이어야 하는데
'열린 구간' 이므로 (0, 1) 이렇게 잡으면
x=1을 포함하는 구간이 아니므로 x=1에서 극대라고 할 수 없다.
그럼 적당히 열린구간 (0, 1.2) 라고 잡아보자.
f(1)보다 f(x)값이 커지는 경우가 열린 구간 (0, 1.2) 안에 존재한다.
따라서 x=1에서는 극대가 아니다.
정리 하자면
증가하고 있거나 감소하고 있는 곳에서는
극대나 극소를 가질 수 없다.
왜냐면 '극대나 극소인지 보고싶은 x값을 포함하는 열린 구간'이어야 하므로
열린 구간을 잡을 때
극대나 극소인지 보고싶은 x값보다 조금 더 가서 잡아야한다.
근데 증가하고 있거나 감소하고 있으면
당연히 조금 더 간 x값에서의 함숫값이 더 크거나 작을것이다.
따라서 극대나 극소를 가지려면
무조건 그래프가 이렇게 생겨야한다.
즉 위로 볼록하거나 아래로 볼록해야한다.
그래야만 저 볼록한 지점에서 극대나 극소가 된다.
근데 저 볼록한 지점이라는건
어떤 구간에서의 최댓값, 또는 최솟값 인데
증가하고있다가
극대 지점을 지나는 순간
더이상 증가하지 못하고 감소하였다는 것이다.
감소하고있다가
극소 지점을 지나는 순간
더이상 감소하지 못하고 증가하였다는 것이다.
증가한다, 감소한다는 말의 의미는
도함수가 양수, 음수 임을 의미한다.
따라서 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
미분가능한 함수 f(x)에 대하여
f(x)가 x=a에서 극대라면
f(x)의 도함수 f'(x)는
x=a의 좌우에서
양수였다가 음수로 바뀐다.
f(x)가 x=a에서 극소라면
f(x)의 도함수 f'(x)는
x=a의 좌우에서
음수였다가 양수로 바뀐다.
미분가능하다는건 도함수가 연속이라는거다.
따라서 f(x)가 x=a에서 극대 또는 극소라면
x=a는 도함수의 부호가 바뀌는 지점이니까
f'(a)=0이다.
즉 기울기가 0이다.
- 극값 -
극댓값 또는 극솟값을 하나로 묶어서 '극값'이라고 한다.
예를 들어 함수 f(x)가 x=3에서 극값을 갖는다고 하면
x=3에서 극댓값이나 극솟값을 갖는다는거다.
f(x)가 극값을 갖지 않는다고 하면
극댓값도 없고 극솟값도 없는것이다.
- 오개념 주의 1 : 극값을 갖는 지점에서의 기울기는 무조건 0인가? -
결론부터 말하자면 아니다.
기울기가 0이라는건
도함수의 값이 0이라는건데
도함수가 0이라는건
도함수의 값이 존재한다는거고
그 말은 곧 미분가능함을 의미한다.
미분가능하다면 기울기가 0인게 맞는데
미분가능하지 않아도 극값을 가질 수 있다.
이렇게 생긴 함수 말하는거다.
저 동그라미 친 지점이 극댓값인건 맞다.
왜냐면 극대의 정의에 따르면
저 동그라미 친 지점의 x좌표를 a라 하면
x=a를 포함하면서
f(x)≤f(a) 를 항상 만족하는 열린 구간이 존재하기 때문이다.
하지만 x=a에서 미분불가능한 함수이다.
따라서 결론은
미분가능하다면 기울기가 0인게 맞다.
하지만 미분가능하지 않아도 극값을 가질 수 있고
그때는 기울기라는것 자체가 정의되지 않는다.
즉 극값이라고 무조건 기울기가 0이라고 할게 아니라
극값을 갖는 지점에서 미분가능한지까지 체크해야한다.
- 오개념 주의 2 : 최대=극대, 최소=극소 인가? -
사실 위의 글이 이해가 안되는 이유는 하나밖에 없다.
최댓값과 극댓값이 같은거라고 생각하기 때문이다.
뭔가 극대 라고 하니까 무조건 가장 큰 값이어야 할거같은데 아니다.
이래서 극대, 극소의 정의를 정확히 이해하고 있어야 하는것이다.
y = (-x)^3 + 3x 의 그래프이다.
이 함수의
극대, 극소, 최대, 최소를 찾아보자.
우선 파란 동그라미 친 부분이 극소이고
녹색 동그라미 친 부분이 극대이다.
그리고 최댓값은 존재하지 않는다.
왜냐면 x가 매우 작은 수라고 하면
y값은 양의 무한대로 발산할것이기 때문이다.
최솟값도 존재하지 않는다.
x가 매우 큰 수라고 하면
y값은 음의 무한대로 발산할것이기 때문이다.
- 예제 -
1 )
함수가 감소한다 = f'(x)≤0 이다.
f'(x)<0 이어야하는것 아닌가 할 수 있는데
f(x)는 상수함수가 아니므로 f'(x)≤0 이라 써도 된다.
그렇다고 바로 미분해서 도함수 구하지는 말고
미분가능한지부터 봐야한다.
f(x)는 다항함수이므로 모든 실수에서 미분가능하고
따라서 미분해도 된다.
f'(x) = x^2 - 9 이고
x^2 - 9 ≤ 0 을 만족하는 구간에서 감소한다.
이를 만족하는 구간은 [-3, 3]이다.
따라서 양수 a의 최댓값은 3이다.
따라서 답은 3
2 )
역함수가 존재한다 = f(x)가 일대일대응이다
근데 f(x)는 다항함수다.
따라서 f(x)는 연속함수이고
따라서 f(x)가 연속이면서 일대일대응이려면
f(x)는 증가함수이거나 감소함수여야한다.
즉 모든 실수에 대하여 f'(x)≥0 이거나
모든 실수에 대하여 f'(x)≤0 이어야 한다.
f(x)는 다항함수이기 때문에 모든 실수에서 미분가능하고
따라서 바로 미분해서 도함수를 구해도 된다.
f'(x) = x^2 - 2ax + 3a
모든 실수에 대하여 f'(x)≥0 이거나
모든 실수에 대하여 f'(x)≤0 이어야 하는데
도함수는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 이므로
도함수의 최댓값은 양의 무한대로 발산한다.
따라서 항상 f'(x)≤0일수는 없고
모든 실수에 대하여 f'(x)≥0 이어야한다는 결론이 나온다.
즉 모든 실수에 대하여 x^2 - 2ax + 3a ≥ 0 을 만족해야한다.
저걸 만족하려면
x^2 - 2ax + 3a 의 최솟값 ≥ 0 을 만족해야한다.
최솟값을 구하는 방법은 두가지 정도가 있다.
1. 이차함수니까 완전제곱꼴로 만들기
2. 이것의 도함수를 구하면
이것의 도함수의 값이 0일때가 극솟값이면서 최솟값이니까
이때의 값과 비교하기
둘다 해주겠다.
1. 이차식이니까 완전제곱꼴로 만들기
x^2 - 2ax + 3a = (x-a)^2 - a^2 + 3a
따라서 최솟값은 -a^2 + 3a 이다.
-a^2 + 3a ≥ 0 이어야 하므로
0 ≤ a ≤ 3 이다.
따라서 a의 최댓값은 3이다.
2. x^2 - 2ax + 3a의 도함수는
2x - 2a 이다.
따라서 x=a일때 x^2 - 2ax + 3a는 최솟값을 갖는다.
x=a를 대입하면 -a^2 + 3a ≥ 0 이어야 한다.
따라서 0 ≤ a ≤ 3 이고
따라서 a의 최댓값은 3이다.
따라서 답은 1번
3 )
우선 f(x)는 다항함수이므로 미분가능하며
미분가능하므로 도함수도 연속이다.
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)
따라서 x=0 , x=2 에서 극값을 갖는다.
f(x)는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 이므로
x=0에서 극대, x=2에서 극소이다.
따라서 극댓값은 f(0) = 5
극솟값은 f(2) = 1
5+1 = 6
따라서 답은 6
4 )
ㄱ )
f(x)가 증가한다 = f'(x)>0 을 만족한다
열린 구간 (b, 0) 에서
g(x) < 0 이다.
근데 g(x) = f'(x) / x 에서
b<0 이므로 분모가 음수이고
이때 g(x)<0 이려면 분자가 양수여야한다.
따라서 f'(x)>0 이어야 한다.
따라서 ㄱ(o)
ㄴ )
g(x)는 x=b에서 0이다.
따라서 x=b에서 f'(b) = 0 이다.
f(x)가 미분가능하면서 f'(x)가 연속이기 때문에
f'(b)의 좌우 부호만 비교하면 된다.
f'(b)의 왼쪽부분은 g(x)가 양수이다.
g(x) = f'(x) / x 에서 x가 음수이므로
f'(x)도 음수여야한다.
따라서 b의 왼쪽부분은 감소하는 부분이다.
b의 오른쪽 부분은 g(x)가 음수이다.
x가 음수이므로 f'(x)는 양수이다.
따라서 b의 오른쪽부분은 증가하는 부분이다.
즉 b = 감소하다가 증가하는 지점 이므로
f(x)는 x=b에서 극솟값을 갖는다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ )
ㄴ 선지를 풀때와 같은 방법으로
극값을 갖는 지점을 찾으면
x=b, c, d 이다.
x=0에서의 극값 판단이 조금 어려우니 부가설명 하자면
우선 f(x)는 x=0에서 미분가능하다.
따라서 x=0에서 f(x)가 극값을 가진다는건
x=0의 좌우에서 f'(x)의 부호가 바뀐다는것이다.
x=0의 왼쪽은 g(x)가 음수인데
g(x) = f'(x) / x 에서 x가 음수이므로
x=0의 왼쪽에서 f'(x)는 양수임을 알 수 있다.
x=0의 오른쪽은 g(x)가 양수인데
g(x) = f'(x) / x 에서 x가 양수이므로
x=0의 오른쪽에서 f'(x)는 양수임을 알 수 있다.
따라서 f(x)는 x=0에서 극값을 갖지 않는다.
따라서 극값을 갖는 지점은 x=b, c, d 이 3개 뿐이다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 3번
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