복소수 #1 - 허수란 무엇인가?

수많은 학생을 수포자로 만든 주제중 하나이다.

어려워서 그렇다기보단

아예 무슨말을 하겠다는건지 이해못해서 그렇다고 생각한다.

 

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- 실수의 한계 : 허수의 필요성 -

이 방정식의 근을 구해볼까?

우선 이건 이차방정식이다.

이차방정식은 '무조건' 두개의 근을 가져야한다.

이건 어떤 수학자가 증명했기 때문에 반박 불가능하다.

그럼 근이 뭔가?

제곱해서 -1이 되는 수가 근일텐데

제곱해서 -1이 될수가 없다.

제곱하는데 어떻게 음수가 된다는 말인가?

제곱해서 음수가 되는 수는 없다.

이것도 반박 불가능하다.

 

지금 반박 불가능한 두가지 논리가 서로 충돌하였다.

1. 이차방정식은 무조건 두개의 근을 가진다.

2. 제곱해서 음수가 되는 수는 없다.

 

이 두 논리가 충돌하기때문에

우리가 지금까지 알고있는 숫자 체계인 '실수'로는 설명이 불가능하다.

따라서 실수 그 이상의 또다른 숫자 체계가 필요하다.

그게 바로 '허수' 체계이다.

 

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- 허수단위 : 저 방정식의 근 -

일단 두개의 근이 존재해야한다는건 자명한 사실이고

근이 무엇인지 적어보자면 아래와 같다.

-1의 제곱근을 제곱하면 -1이 되니까 이렇게 된다.

근데 왜 설명이 안됐냐면

-1의 제곱근이 어떻게된일인지 설명할수가 없기때문이다.

제곱해서 -1이 되는 수를 실수의 범위 내에서 설명할수가 없다.

그래서 도입한게 허수체계라 했는데

여기서 제곱해서 -1이 되는 수를 기호 ｉ라 쓰고,

이것을 허수단위라 '약속'한다.

즉 ｉ는 허수이다.

약속한다는건 그냥 그렇게 정해진거니까 외우면된다.

실수에서 1 과 비슷한포지션으로 이해하면 된다.

1이 실수체계의 기본 단위라면

ｉ는 허수체계의 기본 단위인것이다.

즉, 허수단위 ｉ의 정의는

여기서 ｉ는 imaginary number 에서 앞글자 따온거다.

imaginary : 상상의

 

따라서

이 방정식의 근은 다음과 같다.

x = +ｉ ,  x = -ｉ

 

 

누구맘대로 제곱하면 -1이 되냐 이게 말이되냐? 할수 있는데

그냥 허수가 이런거구나 하고 받아들이면 된다.

제곱해서 음수가되는수는 없다고했는데 사실 있었답니다 짜잔 하니까

학생 입장에서 당황스러워서 이해가 안될만한 주제이다.

 

여기서 정확히 잡고가자.

제곱해서 음수가 되는 수가 있긴 한데

그 수가 '실수의 범위 내에서는' 없다.

제곱해서 음수가 되는 수는 '허수' 이다.

 

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- 오개념 주의 : 허수는 실재하지 않는 수이다? -

허수가 실재하지 않는 수인것은 맞다.

하지만 이것이

실수와의 구별 기준으로 쓰이면 안된다.

왜냐면 실수도 사실은 실재하는 수가 아니기때문이다.

1 이라는 실수는

인간들이 자연현상을 설명하기 위한 도구로써

자기들이 쉽게 이해하고 설명하기 위해 임의로 만들어낸거지

실재하는것은 아니다.

1 이라는걸 자연수의 첫번째 수라고 하자.

라고 인간들이 자기들끼리 약속한것 뿐이고

그런식으로 만들어진게 지금의 실수 체계이다.

 

결론은, 실수와 허수 둘다 실재하지 않는수이다.

그러니 허수가 뭐냐하면 실제로 존재하지 않는수 라고 보기보단

실수의 숫자체계로는 설명이 불가능한것을 설명하기 위해

수의 개념을 확장한것 이라 봐야한다.

 

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- ｉ의 거듭제곱 -

일단 1제곱부터 쭉쭉 가볼것이다.

 

- 1제곱 -

어떤 수든 1제곱하면 그 수가 그대로 나온다.

 

- 2제곱 -

ｉ의 제곱을 -1이라 정의했었다.

 

- 3제곱 -

2제곱이 -1 이니까 3제곱은 -ｉ이다.

 

- 4제곱 -

-ｉ×ｉ = -ｉ² 이고

ｉ² = -1 이므로

-ｉ² = -1×-1 = 1 이다.

 

- 5제곱 -

어떤 수든 1을 곱하면 그 수가 그대로 나온다.

ｉ의 5제곱은 ｉ⁴ × ｉ = 1 × ｉ 이다.

따라서

 

 

따라서 다음과 같은 결론을 얻는다.

ｉ는 5제곱하면 다시 ｉ로 돌아온다.

ｉ⁴ = 1 이기 때문이다.

따라서 ｉ의 거듭제곱은 규칙성을 띤다.

정확히는 ｉ, -1, -ｉ, 1 이 반복되어 나타나므로

다음과 같이 표현 가능하다.

ｉ의 1제곱, 5제곱, 9제곱, ... 이 ｉ이고

ｉ의 2제곱, 6제곱, 10제곱, ... 이 -1 이고

ｉ의 3제곱, 7제곱, 11제곱, ... 이 -ｉ이고

ｉ의 4제곱, 8제곱, 12제곱, ... 이 1 이므로

정확한 수학적 표현은 다음과 같다.

 

 

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- 예제 -

1 )

다음중 틀린 말을 고르시오.

 

정답은 ㄷ이다.

허수단위 ｉ가 포함된 수는 전부 허수라고 보면 된다.

이 부분은 다음에 '복소수'를 다룰때 좀더 자세히 설명해줄것이다.

 

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2 )

다음을 계산하시오.

 

ｉ의 50 거듭제곱은?

ｉ의 거듭제곱에서의 규칙성에 의해

ｉ의 50 거듭제곱은

곧 ｉ의 2 거듭제곱과 같다.

아까 위에 적어놨던 ｉ의 거듭제곱의 규칙성이다.

여기서 k=12 라고 두면

ｉ의 50 거듭제곱은 곧 ｉ의 2제곱과 같다는걸 알수있고

따라서 결론은

 

따라서 답은 -1