복소수 #2 - 복소수의 뜻과 켤레복소수

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- 실수와 허수의 정확한 구분 -

우선 복소수가 무엇인지 다루기 전에

실수와 허수를 정확히 구분할 기준을 알아가야한다.

 

실수 : 말이 되는수

허수 : 말이 안되는수

라고 알면 일단 대충 뭔느낌인진 알겠는데

말이 된다 라는 수학적 표현은 없다.

실수와 허수를 구분짓는 수학적 표현은 다음과 같다.

실수 : 대소관계 비교가 가능한 수

즉 수의 크기가 크다, 작다 를 논할수 있으면 전부 실수이다.

방금 배운 ｉ가 포함된게 아니면

다 실수라고 보면 된다.

그니까 ｉ를 배우기 전까지 여태 배운 수는 전부 실수이다.

1, -1, 1.2, π, √2 전부 실수이다.

그럼 허수는 대소관계 비교가 불가능한가?

그렇다. 허수는 크기라는것 자체가 없다.

4ｉ가 3ｉ보단 크지 않을까? 할수 있는데

그렇지 않다.

4ｉ와 3ｉ는 둘다 허수이고

허수는 크기 자체를 논할수 없다.

-ｉ는 음수인가? 아니다.

음수란, 0보다 작은 수를 의미하는데

-ｉ는 크기를 논하는것 자체가 불가능하기 때문에

0과 대소관계를 비교할수 없다.

 

실수가 대소관계 비교가 가능하다 했는데

양수의 정의 : 0보다 큰수

음수의 정의 : 0보다 작은수

따라서 실수는 양수, 0, 음수 이 셋중 하나이며

양수를 제곱하면 양수고

0을 제곱하면 0이고

음수를 제곱하면 양수이다.

 

따라서 실수의 정의는 다음과 같다.

실수 : 제곱한 값이 0보다 크거나 같게 되는 수

 

그럼 허수는 뭐냐?

허수 : 실수가 아닌 수

 

이정도로 알고있으면 된다.

 

 

- 요약 -

실수 : 제곱한 값이 0보다 크거나 같게 되는 수, 대소관계 비교 가능

허수 : 실수가 아닌 수, 대소관계 비교 불가능

 

 

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- 복소수란? -

 

한줄로 설명 가능하다.

'실수 + 허수 = 복소수'

 

즉 우리가 '수'라고 부르는 모든것이 다 복소수이다.

(복소)수 에서 복소를 생략해서 부르는거다.

 

여기까지 수의 체계를 정리하면

다음과 같다.

실수도 복소수이고

허수도 복소수이다.

 

 

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- 복소수의 표현법 -

a+bi 형태로 수를 표현하면

표현하려는 수가 실수와 허수 어떤것이든

이 표현방식으로 표현이 가능하기때문에

저렇게 쓰는것이다.

즉 모든 수는 복소수이며, 저런 형태로 표현 가능하다.

 

만약 저기서 허수부분인 b가 0 이라면

이렇게 되니까 실수가 된다.

따라서 '허수부분 = 0 이면 실수'이다.

 

 

만약 저기서 실수부분인 a가 0 이라면

이렇게 되고

허수부분밖에 없으니 이걸 '순허수' 라고 한다.

 

a도 0이 아니고 b도 0이 아니면

일단 ｉ가 포함되어 있으니까 허수이다.

순허수가 아닌 허수인것이다.

 

따라서 복소수는 다음과 같이 분류할 수 있다.

여기서 b≠0인데 a=0 인 경우는

허수부분밖에 없으니 특별히 순허수 라고 부른다.

 

주의할것은, bi+a 형태로 나와도 당연히 복소수이다.

bi+a = a+bi 이기 때문이다.

bi+a 의 실수부분이 b이고 허수부분이 a라고 하는 말도안되는 실수를 하지 말자.

i가 붙은쪽이 허수부분이다.

 

 

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- 중간점검 -

틀린 말을 모두 고르시오.

 

ㄱ )

허수 : 실수가 아닌 수

따라서 ㄱ(o)

 

ㄴ )

약간의 말장난이다.

모든 허수는 복소수이지만

모든 복소수가 허수인것은 아니다.

실수도 복소수이기 때문이다.

따라서 ㄴ(x)

 

ㄷ )

복소수 = 수

따라서 2+3i가 복소수인것까지는 맞는말이며,

2+3i 라는 복소수는

실수부분이 2이고 허수부분이 3이다.

따라서 ㄷ(o)

 

ㄹ )

2i와 2i+1 둘다 허수이다.

허수는 대소관계 비교 자체가 불가능하다.

따라서 ㄹ(x)

 

ㅁ )

3은 실수이며,

실수도 복소수이다.

정확히는 허수부분이 0인 복소수이다.

따라서 ㅁ(o)

 

따라서 답은 ㄴ,ㄹ

 

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- 켤레복소수란? -

'신발 한 켤레' 라고 하면

신발이 왼쪽발 오른쪽발 둘다 있는걸 말하는거다.

왼쪽발 부분만 있으면 그건 한켤레라 하지 않는다.

이 신발의 오른쪽발 부분이 있어야 그걸 한 켤레라 부르는거다.

 

복소수도 이처럼 켤레복소수 라는게 존재한다.

아까 복소수를 이렇게 표현한다고 했는데

여기서 '허수부분'의 부호를 바꿔주면 '켤레복소수'가 된다.

즉, 켤레복소수 : 어떤 복소수에서 허수부분의 부호를 바꾼것

 

예를 들어, 2+3i의 켤레복소수는?

허수부분이 +3 이니까 -3 으로 바꿔주면된다.

따라서 2+3i의 켤레복소수는 2-3i 이다.

 

3의 켤레복소수는?

3은 복소수 표현방식으로 표현하면 3+0i 이다.

허수부분인 +0의 부호를 바꿔주면 -0 이다.

따라서 3의 켤레복소수는 3이다.

허수부분이 0이기때문에 부호를 바꿔도 똑같은것이다.

 

 

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- 켤레복소수의 표현 -

우선 복소수의 표현법부터 복습해보자.

이렇게 표현하고,

이걸 보통 z라 쓴다.

z라 쓰는 이유는 특별한건 없고 그냥 약속이다.

복소수를 z=a+bi 이런식으로 표현하자. 라고 약속한거다.

 

그럼 켤레복소수는?

근데 z의 켤레복소수라 쓰기는 너무 길다.

그래서 이걸 또 '기호'로 표현하는데,

다음과 같이 표현한다.

z 위에 선 하나를 얹어주면 된다.

읽는 방법은 'z바'(z bar) 이다.

여기서 z = a+bi 니까 아래처럼 표현할수도 있다.

 

 

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- 복소수가 서로 같을 조건 -

 

두 복소수

a+bi

c+di

가 있다고 해보자.

물론 a, b, c, d는 실수이다.

 

복소수가 서로 같다는건 아래 등식을 만족한다는거다.

그럼 너무 당연한 관계식을 세울수 있다.

복소수가 서로 같으려면

실수부분이 같고, 허수부분도 같으면 되는거다.

항등식문제 풀때와 비슷한 느낌이다.

두번째 문장의 a=c, b=d 보단

첫번째 문장이 핵심이다.

실수부분이 같고, 허수부분이 같으면 된다.

 

근데 주의해야할것이 하나 있다.

가볍게 지나갔을법한 문장을 다시 보여주겠다.

'a, b, c, d는 실수이다.'

이게 상당히 중요한 조건인데, 왜 그렇냐면

저 조건이 없다고 해보자.

그러면 a는 실수부분인가? b는 허수부분인가?

그건 아니다. 장담할수 없다.

a=di 이고 b=-ci 여도 저 등식은 성립한다.

따라서 a, b, c, d는 실수입니다. 라는 조건이 없으면

a=c, b=d 라는 등식을 세울수가 없다.

어디가 실수부분이고 어디가 허수부분인지 모르기 때문이다.

그래서 a, b, c, d는 실수이다. 라는 조건이 들어가는거고

복소수의 정의에서도 a, b는 실수이다. 라는 조건이 들어간거다.

실수라는 언급이 없으면 아예 오류가 있는 문제라고 보면 된다.

 

 

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- 예제 -

1 )

 

실수 a, b 라고 해줬으므로 문제오류 걱정할것 없이 풀면 된다.

a, b가 실수이므로

a+bi 라는 복소수에서

a가 실수부분이고, b가 허수부분이다.

복소수가 서로 같으려면

실수부분이 같고, 허수부분도 같으면 된다.

우변도 복소수인데

우변의 실수부분은 1이고

허수부분은 -2이다.

따라서 답은

a=1, b=-2

 

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2 )

 

켤레복소수는

-4i+2 에서

허수부분의 부호만 바꾸면 된다.

허수부분은 -4 이다.

따라서 답은 4i+2

 

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3 )

 

우선 이건 √(11) 이라는 복소수의 켤레복소수이다.

√(11) 이라는 복소수는

실수부분이 √(11) 이고 허수부분이 +0 이다.

따라서 √(11) 이라는 복소수의 켤레복소수는

√(11) 이다.

여기까지 한걸 정리하면

따라서 답은 a=√(11), b=0

 

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4 )

 

두 복소수가 서로 같을 조건 :

실수부분이 같고, 허수부분도 같으면 된다.

 

좌변에서 실수부분은 3a+b

우변에서 실수부분은 5

좌변에서 허수부분은 a-b

우변에서 허수부분은 -1

따라서 3a+b=5 이고

a-b=-1 이다.

 

이 두 식을 연립하면

답은 a=1, b=2