이차함수 #3 - 이차함수의 그래프 그리기와 평행이동

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- 이차함수의 그래프를 왜 그리는가? -

이차함수를 더 직관적으로 이해하기 위해서.

그리고 이 다음 내용에서

이차함수의 최댓값, 최솟값을 다룰건데

그걸 알아내려면 그래프를 그릴줄 알아야한다.

 

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- 이차함수의 그래프를 그리는 방법 -

 

중등수학 복습이다.

 

1. 식이 일반형이라면 표준형으로 바꾼다.

2. 표준형으로 된 이차함수 식에서 그래프의 꼭짓점을 찾는다.

3. 꼭짓점의 위치와 이차항의 계수를 이용해서 그린다.

즉 요약하자면,

이차함수를 그래프로 해석하고싶을때는 뭐를 찾는다?

'꼭짓점'을 찾는다.

 

 

차근차근 해보자.

 

일단 '일반형'은 뭐고 '표준형'은 뭔가?

이런식으로 '전개'되어있는걸 '일반형'이라 하고

 

이런식으로 '완전제곱식'을 포함한 꼴로 나타내어져 있는걸 '표준형'이라 한다.

 

그래프를 그리려면

'꼭짓점의 위치'를 알아야한다.

중등수학에서 배웠겠지만

이차함수의 그래프는 꼭짓점을 기준으로 좌우 대칭이다.

그래서 꼭짓점의 위치를 알아야하는것이고

꼭짓점의 위치를 직관적으로 빠르게 알아낼수 있는 방법이 바로

식을 표준형으로 나타내는것이기 때문에

표준형으로 바꿔줄 필요가 있는것이다.

 

바꾸려면 완전제곱식을 얻어야하니까

아래와 같이 이차항의 계수를 밖으로 끌어낸다.

근의공식 유도하는 과정에서

최종 식인 근을 구하는 과정만 빼주면 된다.

 

일반형을 표준형으로 바꿨다.

이제 꼭짓점의 위치를 알수 있다.

저 완전제곱식 부분의 값이 0이 되는곳이 꼭짓점이다.

이제 꼭짓점을 찍은다음

이차항의 계수인 a에 따라서

꼭짓점을 기준으로 좌우대칭이면서

포물선 모양이 되게끔 그려주면 된다.

단, a>0

이런 느낌으로 그리면 되는거다.

 

꼭짓점의 좌표가 x=-b/2a니 어쩌고 하는걸 외우라는게 아니고

'꼭짓점의 좌표'를 알아내기 위해

식을 '표준형'으로 바꿔야한다는걸 이해하고

그 방법을 알아가는게 핵심이다.

 

 

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연습해보자.

 

식이 일반형이라서 꼭짓점이 어딘지 잘 모르겠다.

따라서 표준형으로 바꿔주자.

따라서 꼭짓점은 (1, 2) 이다.

꼭짓점을 찍은다음

이차항의 계수가 양수니까

꼭짓점을 기준으로 계속 증가하는 모양의 그래프가 그려질것이다.

이차항의 계수가 1이니까

기울기가 너무 가파르지도, 완만하지도 않게 적당히 그리면 된다.

적당히가 어느정도인지 모르겠으면

꼭짓점 근처의 값인 x=0이나 x=2 를 대입해서 연결하는식으로 감을 잡아도 좋다.

어차피 우리 손은 기계가 아니기때문에 대충 그려도 된다.

'그리는 방법을 아느냐'가 목적이지

'정확하게 그리느냐'가 목적은 아니다.

적당히 이렇게 그렸으면 정답이다.

 

 

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- 이차함수의 그래프의 평행이동 -

 

어려운 개념이 등장했다.

본인도 처음 공부할때 여기부분이 이해가 안됐다.

이게 이차함수의 표준형인데

저기서 p, q가 평행이동의 결과물이다.

즉 평행이동이 없었다면 p, q도 없다.

 

그러면 일단 평행이동 없는것부터 보자.

얘의 그래프는 바로 그릴수 있다.

(0, 0)을 꼭짓점으로 하며

a가 양수라면 아래로 볼록한 모양

a가 음수라면 위로 볼록한 모양

으로 그려질것이다.

a>0 일경우의 그래프

이 그래프를 '평행이동' 할 것이다.

평행이동이라는건

이동은 이동인데 평행하게 이동한다는것이다.

x축에 평행하게 이동한다는건 x방향으로만 이동한다는거고

y축에 평행하게 이동한다는건 y방향으로만 이동한다는거다.

여기서 핵심은 '이동' 이다.

그냥 그래프의 위치만 바꾸는거라서,

평행이동은 그래프의 모양에 아무런 영향을 주지 않는다.

따라서 그래프의 모양에 영향을 주는건

이차항의 계수인 a 뿐이다.

 

이 그래프를 x방향으로 +3,

y방향으로 -1

평행이동 시켜보자.

그러면 꼭짓점의 위치가 (3, -1) 로 바뀌고

거기서 그려진다.

 

이걸 식으로 나타내면 어떻게 될까?

꼭짓점의 위치가

x방향 +3, y방향 -1 옮겨졌는데

그래프는 점을 모두 모은것이니

모든 점의 위치가 x방향 +3, y방향 -1 옮겨졌을거다.

그러면 x자리에 x+3을 넣는가?

그건 아니다.

점의 위치는 이게 맞지만 그래프는 이렇게 하면 안된다.

나도 처음 배울때 이 부분이 이해가 안됐다.

일단 모든 점의 위치가 x방향 +3, y방향 -1 옮겨진것까진 맞다.

옮겨진 후의 점의 x좌표를 x' 이라 하고,

옮겨진 후의 점의 y좌표를 y' 이라 하면

x' = x+3 이고

y' = y-1 이다.

 

근데 우리가 알고있는건

x와 y에 대한 관계식이지

x'과 y'에 대한 관계식이 아니다.

 

따라서 x'과 y'을 쓸게 아니라

x와 y를 알아낸다음 그걸 써야한다.

따라서 저 위의 x'과 y' 관계식을

x와 y 관계식으로 바꿔줘야한다.

x' = x+3 이므로 3을 이항하면

x = x'-3

y' = y-1 이므로 -1을 이항하면

y = y'+1

여기다 대입하면

분명히 x방향 +3, y방향 -1 평행이동했는데

x'-3이 들어가고 y'+1이 들어간다.

그냥 부호가 반대로 돼서 들어간다고 외웠을텐데

그 이유를 설명할수 있게되었으면 좋겠다.

y' = 어쩌고... 로 나타내야하니까 +1을 우변으로 이항하면

평행이동된 식을 표현하는게 마무리된다.

여기서 ' 기호는

x'도 x는 맞는데 원래x와 구별하기 위해

우리끼리 임시로 정해둔 기호니까 떼버려도 된다.

그러면 진짜 평행이동된 식을 표현하는게 마무리된다.

 

 

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- 평행이동 일반화 -

이걸 x방향 p, y방향 q만큼 평행이동시킨 결과는

x' = x+p / 따라서 x = x'-p

y' = y+q / 따라서 y = y'-q

각각 대입해주면

' 기호 떼버리고 -q 이항하면

최종적인 식은 아래와 같다.

 

그리고 이게 이차함수의 '표준형' 이다.

 

 

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- 예제 -

1 )

 

 

따라서 꼭짓점은 (-1, 5) 이고

이차항의 계수가 -1로 음수니까

이런 느낌으로 그려줬으면 정답이다.

 

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2 )

 

x' = x+3

y' = y-2

따라서 x = x'-3

y = y'+2

각각 위 식에 대입해주면

' 기호 떼고 정리해주면

답은