수학II/II. 미분5 도함수의 활용 #3 - 속도와 가속도 딱히 대단한 내용도 없고 특히 과탐 물리 선택자라면 날로 먹는 부분이다. - 속도 - 영어로는 velocity이고 보통 v라고 쓴다. 수학적 정의는 '위치 변화를 시간 간격으로 나눈 값'이다. 수직선(x축) 위를 움직이는 점 P가 있다고 해보자. 그리고 이 점 P의 위치가 시간에 따라 달라질 때 즉 위치와 시간이 관련되어 있을 때 즉 위치를 시간에 대해 나타낼 수 있을 때 이 점 P의 위치를 x라 하면 x를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다. x = f(t) 예를 들자면, 점 P가 원점에서 출발하여 x축 위에서 초속 2m/s 로 움직인다? 그러면 x = f(t) = 2t 인 것이다. 만약 점 P가 t=0초에서 t=5초까지 x=1에서 x=3 으로 움직였다 해보자. 움직인 경로는 상관없다. f(0)=1 이고.. 2021. 9. 30. 도함수의 활용 #2 - 함수의 증가와 감소, 함수의 극대와 극소 상당히 오개념이 잘 잡히는 부분인데 출제율도 높은 부분이다. 주의깊게 봐야한다는 뜻이다. - 함수의 증가와 감소 - 함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간의 모든 x에서 f'(x)>0 이면 함수 f(x)는 그 구간에서 증가한다. f'(x)0 이면 기울기>0 이다. 따라서 기울기가 양수이므로 f(x)가 증가하는것이다. f'(x)0 이게 성립한다는 보장은 없지만 f'(x)≥0 이건 항상 성립한다. 감소하는 함수도 똑같다. f'(x)0 을 만족한다 열린 구간 (b, 0) 에서 g(x) < 0 이다. 근데 g(x) = f'(x) / x 에서 b 2021. 9. 30. 도함수의 활용 #1 - 접선의 방정식, 평균값 정리 - 도함수의 기하학적 의미 - 함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능하다고 해보자. 미분가능하다는건 f'(a)가 존재한다는거다. 이때 f'(a)의 기하학적 의미를 알아보자. f'(a)의 정의는 다음과 같다. 즉 도함수라는건 어떤 지점에서의 순간적인 x 변화량에 대한 y 변화량의 비율이다. 따라서 도함수라는건 어떤 지점에서의 순간적인 기울기를 의미한다. - 접선의 방정식 - 함수 y=f(x)의 그래프이다. 이것의 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식을 구해보자. 우선 접선이라는게 뭔지부터 알 필요가 있다. 쉽게말하면 '어떤 곡선과 접하는 직선'이고 수학적인 정의는 다음과 같다. 곡선 위의 두 점 P, Q로 만들어지는 직선 PQ에서 점 Q가 곡선을 따라 점 P에 한 없이 가까워 질 때, 이 직선 PQ를 곡선과.. 2021. 9. 28. 미분가능성 수능 킬러 단골소재다. 하지만 내용 자체는 크게 어렵지 않다. - 미분가능성 - 말 그대로 미분이 가능하냐 불가능하냐를 따지는것이다. 미분이 불가능하다는게 무슨 말이냐면 도함수의 정의를 떠올려보자. 도함수라는건 함수의 극한으로 정의된다. 따라서 저기서 f(x)가 x=a에서 미분계수가 존재하려면 f(x)가 x=a에서 극한값을 가져야 한다. 그리고 도함수를 계산하려고 저 식에 a를 대입하면 분모 x-a는 x→a 이기 때문에 0에 수렴한다. 따라서 이 값이 존재하려면 f(x)의 극한값 - f(a) = 0 이어야 한다. 즉 f(x)의 x=a 에서의 극한값과 f(a)가 같아야 한다. 즉 극한값과 함숫값이 같아야 한다. 따라서 정리하자면 f(x)가 x=a에서 미분 가능하려면 f(x)가 x=a에서 연속이어야한다. 그.. 2021. 9. 28. 미분계수와 도함수, 미분법 공식 드디어 거의 모두가 이름만 들어도 무서워하는 미적분이 등장했다. 사실 별거 아닌데 뭔가 이상한 기호가 등장하고 공식이 복잡해보이니까 겁을 먹는것이다. 진짜 아무것도 아니니까 겁먹지말고 따라오면 좋겠다. - 평균변화율 - 말 그대로 x값의 변화에 따라 평균적으로 y값이 얼마나 변화했냐를 비율로 나타낸것이다. x값의 변화량은 Δx 라고 쓰고 y값의 변화량은 Δy 라고 쓴다. 즉 평균변화율의 정의는 다음과 같다. x의 변화량에 따른 y의 변화량 변화량을 비교할때는 처음값과 나중값을 비교한다. 즉 나중값에서 처음값을 빼주면 변화량이 나온다. 나중값이 처음값보다 작을수도 있으므로 변화량은 음수가 나올 수도 있다. 여기서 y=f(x) 라고 하고 x가 a에서 b까지 변화했다고 해보자. Δx=0이면 안되므로 a≠b 이.. 2021. 9. 27. 이전 1 다음
