수학계 3대 떡밥 #2 - 몬티홀 문제: 선택을 바꿔야 하는가?

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- 개요 -

'수학계 3대 떡밥'은

 

Ⅰ)  0.999... = 1 인가?

Ⅱ)   몬티홀 문제 : 선택을 바꿔야 하는가?

Ⅲ)    정수와 짝수의 개수가 같다고?

 

이건데, 이것중 두번째것을 다룰것이다.

독자의 수준을 고려하여, 복잡한 수학적 지식이 들어가는 내용은 지양하고

아주 쉽게 설명해줄것이다. (조건부확률로 수식쓰는 풀이는 다루지 않는다)

 

'몬티홀 딜레마' 라고도 부른다.

 

개인적으로 빨리 다루고 싶었던 주제이다.

수학은 신기하구나 하고 느꼈던 문제이다.

 

이건 질문이 많을것같은데,

모두 받아줄테니 댓글로 적극적인 질문, 반박 바란다.

 

 

 

결론부터 말하자면,

 선택을 바꾸는것이 이득이다. 

 

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- 몬티홀 문제 소개 -

세 개의 문 중에 하나를 선택하여

문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임 쇼에 참가했다.

한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다.

당연히 문을 열어보기 전엔 문 뒤에 뭐가 있는지 모른다.

여러분은 당연히 자동차를 갖고싶을것이다.

앞으로 자동차를 골랐을 경우를 '당첨' 이라 표현할것이다.

문 뒤에 뭐가 있는지는, 문을 열어보기 전엔 알 방법이 없기때문에

그냥 찍어서 맞추는수밖에 없다.

 

예를 들어서, 여기서 1번을 찍었다고 해보자.

근데 사회자가 "선택을 바꿀 기회를 드리겠습니다" 라고 하며

3번 문을 열어준다. 3번 문 뒤엔 염소가 있었다.

"선택을 바꿀 기회를 드리겠습니다. 1번과 2번중 선택하십시오."

라고 한다.

 

 

선택을 바꾸시겠습니까?

 

 

 

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- 그래서 답은?  :  이것이 왜 떡밥인가? -

1. 바꾸지 않는다.

2. 바꾼다.

 

아마 대부분은 '바꾸지 않는다'를 선택할것이다.

나도 처음 접했을 때 그랬는데,

내가 바꾸지 않은 이유는

어차피 1번문과 2번문중 하나를 고르는 '새로운 선택'을 해야하는거고

둘중 하나만 자동차 라는건 변하지 않으니

아무거나 골라도 확률은 반반이다.

따라서 굳이 바꿀 이유가 없다. 바꾸지 않겠다.

라는 근거를 들면서 말이다.

 

바꾸지 않는게 '확률적으로' 이득이므로 안바꾸겠다는 주장은

미안하지만 그 주장의 근거를 내가 떠올리지 못하겠으니

댓글로 어떻게 그렇게 생각했는지 적어주면 좋겠다.

 

 

근데 정답은 대부분의 생각을 벗어나는, '바꾼다' 라는 선택이다.

그래서 이것이 떡밥인것이다.

사람들의 직관을 벗어나기 때문이다.

심지어 바꾸는것의 당첨확률은 2/3(66%)로,

바꾸지 않는것의 당첨확률(1/3, 33%)의 두배나 된다.

 

저번에 0.999... = 1 이라고 했던 글과 비슷한 이유이다.

직관적으로 말이 안되는것처럼 보이기 때문이다.

근데 틀렸다고 자책할건 전혀 없다.

실제로 이건 수학자들 사이에서도 오랜 논쟁거리였다.

 

아무리봐도 반반일거 같은데 어떻게 선택을 바꾸는게 이득인가?

심지어 바꾸면 당첨확률이 2/3 이나 된다니

어떻게 이런 일이 벌어질 수 있는걸까?

그 이유를 여러가지로 설명해주겠다.

어떻게든 이해시켜줄테니 끝까지 읽고

그래도 이해안되면 댓글로 질문하면 다 답해드립니다.

 

 

 

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- 전제조건 -

 

일단 바꾸는게 이득인 이유를 설명하기 위해서,

이걸 수학적인 확률로 풀어내줄 필요가 있는데,

그러려면 아래의 두 전제조건이 필요하다.

 

1. 사회자는 자동차와 염소가 어느 문에 있는지 알고있다.

2. 사회자는 참가자와 심리싸움을 하지 않는다.

즉 사회자는 특별한 의도 없이 랜덤으로 염소가 있는 문을 연다.

확률 이외의 모든것은 배제한다는 말이다.

 

 

둘다 매우 중요한 조건이다.

첫번째 조건부터 설명하자면,

이 조건이 없으면, 여러분의 첫 주장대로 확률이 실제로 반반이 된다.

사회자가 열어주는 문 뒤에서 자동차가 나와버릴수도 있기때문이다.

 

두번째 조건은 왜있냐면,

사회자는 자동차가 어디있는지 아는데

참가자가 염소가 있는 문을 골랐다면, 바꿀 기회를 안줘버리면 되기 때문이다.

이런걸 방지하는 조건이다.

여러분이 헷갈려하는 이유중 하나가 바로 이 조건이다.

우리의 직관에 의하면, 참가자가 처음에 염소를 골랐으면

사회자가 굳이 바꿀 기회를 줄 이유가 없다.

애초에 이 문제에서 제시하는 조건과

우리의 직관이 지시하는 조건이 다르기때문에

직관적인 이해에 어려움이 있는것이다.

 

 

 

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- 확률이 반반이 아닌 이유 -

우선 확률이 반반이 아닌 이유부터 설명해줘야 된다.

사실 여기만 이해하면 거의 다한거다.

대부분 이걸 이해 못하기때문에 혼란에 빠지는것이다.

 

앞으로 가독성을 위해

1번문, 2번문, 3번문이 아니라

A, B, C 라고 표현한다.

 

문 하나를 공개한 순간 확률이 각각 1/2 이 되어야지
왜 1/3 과 2/3 이 되는거지?

 

여러분이 이런 혼란에 빠지는 이유는

'사회자가 문을 열든 말든 문제상황에 아무 상관이 없을것이다'

'따라서 선택을 바꿀거냐 묻는건 그냥 두 문중 하나 고르라는거니 반반이다'

라는 착각때문이다.

사회자가 문을 여는 순간 문제상황이 바뀐다.

그냥 둘중 하나를 고르는 상황이 아니라는것이다.

왜냐면, 사회자가 그냥 셋중 아무거나 여는게 아니라

참가자가 고르지 않은 문이면서 염소가 있는 문을 열어야한다.

즉 '특정 조건을 만족하는' 문을 열어야한다.

내가 A를 고르면, 사회자는 항상 C를 여는가? 그건 아니다 이거다.

그래서 문을 여는 순간 문제상황이 바뀌는거다.

어디에 자동차가 있고 염소가 있는지 아예 모르는 상태에서 고르는거랑

염소 하나가 어느 문에 있는지 확실히 공개된 상태에서 고르는것은

다른 경우이다.

 

 

 

그래서 왜 1/2 가 아닌지 최대한 쉽게 설명해줄테니 들어보자.

 

우선 맨처음에 세개의 문중 골랐을때의 당첨확률은 1/3 이다.

여기까지는 반박의 여지가 없다.

 

근데 여러분이 선택을 바꾸지 않았다고 해보자.

선택을 바꾸지 않았다는 표현보단,

선택을 해놓고 자신은 아예 손을 뗐다고 해보자.

즉, 사회자가 문을 열든 말든 처음의 내 선택에 의존한다.

이래도 당첨확률이 1/2 인가?

아까 1/3 이라 하지 않았나?

내 처음의 선택에 의존한다고 했는데

근데 사회자가 문 여는걸로 당첨확률이 왜 바뀌나?

어차피 선택을 바꾸지 않을거면 사회자가 다른문을 열든말든 아닌가?

 

이래도 이해안되나? 그럼 조금 바꿔보자.

사회자가 문을 열긴 하는데, 그건 방청객들만 볼수 있고

참가자인 여러분은 그걸 못봤다.

못봤고, 그냥 안바꿀거라고 손떼고있었다. 이래도 1/2 ?

 

이래도 이해안되면 다시

이번엔 여러분은 선택을 바꿀 기회가 없다.

대신 결과를 공개하기 전에 사회자가 문여는건 똑같다.

사회자가 문을 열지 않고 그냥 결과공개하면 1/3 인건 반박의 여지가 없다.

근데, 선택을 바꿀 기회를 주지 않고 문을 연 상황에서도

여러분이 선택을 바꾸지 않는다는건 똑같은데

이래도 확률이 1/2 ?

A를 찍었는데 사회자가

결과를 공개하기 전에 C가 염소인걸 보여드리겠습니다~

라고 한 상황이다.

근데 당첨확률이 바뀐다고? 뭔가 이상하지 않은가?

여러분이 자동차를 골랐든 염소를 골랐든

사회자는 반드시 염소가 있는 문 하나를 열어야하는거고

그럼 염소 하나가 공개되겠지만, 그게 내 처음 선택에 영향을 주지는 못한다는거다.

 

 

이래도 이해안되면

정확히 어떤 부분이 이해가 안되는지 댓글 적어주시면 답해드립니다.

 

 

그니까 요약하자면,

처음에 고른것이 당첨일 확률은 1/3 이고,

선택을 바꿨을때 당첨일 확률은 2/3 이다.

 

그리고 혹시몰라서 얘기하는데,

모든 경우에서의 확률을 다 더하면 1이다.

이건 확률을 다룰때 기본중의 기본인 상식이다.

 

 

대신, 처음부터 사회자가 문을 하나 열어준다음 둘중 하나 고르라하면

그건 1/2 이 맞다. 그냥 둘중하나 고르는거다.

 

 

그리고, 이런 물음이 있을수도 있다.

아무리 그래도, 경우의수는 자동차1개 염소1개 인데

이 둘중 하나가 일어날테니 당연히 확률은 반반 아닐까요? 라는 물음이다.

이건 '확률' 이라는것의 수학적 정의를 설명해줄 필요가 있다.

확률의 수학적 정의는 쉽지않으니

실제로 이런 물음에서 빠져나오지 못하고있는게 아니라면

그냥 넘어가도 된다.

 

일단, 이 주장이 사실이려면

최종선택한 문 뒤에있는게 자동차인 경우의 수와

최종선택한 문 뒤에있는게 염소인 경우의 수가

똑같아야한다.

그게 확률의 정의이다.

표본공간 S의 각각의 원소가 일어날 가능성이 같은 정도로 기대될 때,

표본공간 S의 원소의 개수 n(S)와 사건 A의 원소의 개수 n(A)에 대하여

사건 A가 일어날 확률 P(A)를 다음과 같이 나타낸다.

'표본공간 S의 각각의 원소가 일어날 가능성이 같은 정도로 기대될 때'

이게 핵심이다.

최종선택한 문 뒤에있는게 자동차일 가능성과

최종선택한 문 뒤에있는게 염소일 가능성은

같지 않다. 그래서 이것의 확률은

이렇게 단순하게 자동차1개고 염소1마리니까 1/2 이겠지? 하면 안되는거다.

 

 

 

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- 1 : 경우의 수 세기 -

문이 3개밖에 없으니 이정도는

하나하나 경우의수를 나눠서 설명할수 있다.

 

자동차는 무조건 A, B, C 중 하나에 있다.

따라서, 자동차가 A에 있는 경우

자동차가 B에 있는 경우

자동차가 C에 있는 경우

이 세개로 나눌것이다.

그리고 당연히 A, B, C 각각의 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 같다.

 

처음에 A를 골랐다고 해보자.

 

자동차가 A에 있다면,

선택을 바꾸면 꽝.

 

자동차가 B에 있다면,

사회자는 참가자가 고르지 않았으면서,

염소가 있는 문을 열어야하기때문에

사회자는 C밖에 못열고,

따라서 선택을 바꾸면 당첨.

 

자동차가 C에 있다면,

선택을 바꾸면 당첨.

 

A, B, C중 하나 골랐을때, 각각 꽝, 당첨, 당첨 이므로

선택을 바꿨을때 당첨 확률은 2/3 이다.

 

따라서, 바꿨을때의 당첨확률은 2/3 이고

안바꿨을때의 당첨확률은 1/3 이므로

선택을 바꾸는것이 이득이다.

 

 

왜 A만 하고 넘어가나요 할수도 있는데

처음에 A고르나 B고르나 C고르나 당첨확률은 똑같이 2/3 이다.

 

 

 

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- 2 : 논리적인 설명 -

A를 골랐다고 해보자.

A가 당첨일 확률 : 1/3

B나 C가 당첨일 확률 : 2/3

근데 사회자는 B나 C중 하나를 열어야한다.

C를 열었다고 해보자.

그럼 참가자는 A나 B중 골라야하는데

A가 당첨일 확률 : 1/3

B가 당첨일 확률은 곧 B나 C가 당첨일 확률(2/3) 이고

B가 당첨일 확률 : 2/3

따라서 바꾸는 것이 이득이다.

 

좀 다르게도 설명해보자면

처음에 염소를 고를 확률이 더 높다.

즉, 자동차는 내가 고르지 않은 문에 있을 확률이 더 높다.

자동차는 내가 고르지 않은 두 문중 하나에 있을텐데

사회자가 그거 둘중 하나를 없애버렸으니

선택을 바꾸는게 당첨 확률이 높다.

 

 

 

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- 3 : 발상의 전환 -

반대로 염소를 찾는 게임이라고 해볼까?

대신 사회자가 염소가 있는 문을 공개한다는건 똑같다.

내가 처음에 고른게 자동차라 해보자.

그러면 선택을 바꾸면 무조건 염소가 나온다.

내가 처음에 고른게 염소라 해보자.

그러면 선택을 바꾸면 무조건 자동차가 나온다.

처음에 염소를 고를 확률이

처음에 자동차를 고를 확률의 2배이므로

선택을 바꾸면 자동차가 나올 확률도

선택을 바꾸면 염소가 나올 확률의 2배, 즉 2/3 이다.

 

 

 

 

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- 마무리 -

이해되는 듯 하다가 돌아서면 또다시 헷갈리는 그런 문제이다.

솔직히 말하자면, 아주 대단한 의미가 있는 문제는 아니다.

아까도 말했지만, 우리가 직관적으로 이해하기 어려워하는건

애초에 문제에서 전제하는 조건 자체가 직관과는 거리가 있기 때문이다.

그냥 말장난하는 수수께끼 정도로 보면 된다.