2022학년도 9월 모의평가 수학 공통 16번~22번 해설

혹시 본인이 못 푼 문제인데

어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면

이 글을 보지 말것.

남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.

풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나

다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면

매우 환영이다.

 

원하시는 문제로 바로 가고싶으면

N번 문제로 가고싶다면

N )

이 형태로 검색하시면 됩니다.

예를들어 17번으로 가고싶으면 17 )

 

쉬운건 빠르게 넘어가면서

비약 하나도 없이 풀어보겠습니다.

 

---

16 )

답은 2

 

---

17 )

답은 8

 

---

18 )

답은 9

 

---

19 )

답은 11

 

---

20 )

 

 

따라서 답은 21

 

---

21 )

 

 

따라서 답은 192

 

---

22 )

 

 

먼저 (가) 조건을 풀어보면

함수 g(x)가 연속이 되기 위한 조건을 알아낼 수 있을것이다.

여기까지 g(x)가 연속일 조건을 구한것이다.

 

이제 (나)조건을 풀것이다.

f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고

그러면 가능한 개형은 다음 3개중 하나이다.

우선 세번째꺼는

f'(x)>0인 증가함수이고

따라서 f(x)=0 일때

f(x-3)도 0이 될수 없고 f'(x)도 0이 될수 없다.

따라서 (가)조건을 만족하지 못하고 세번째건 탈락

두번째꺼는

증가함수이긴 한데 f'(x)=0인곳이 딱 하나 있다.

x^3 이런 함수를 말하는거다.

일단 증가함수라서 f(x)=0일때 f(x-3)=0은 만족시킬수 없고

따라서 f'(x)=0인 지점이 딱 f(x)=0 이라면

(가) 조건은 만족할수있다.

근데 (나)조건에서 서로 다른 실근을 4개 가지라 했다.

g(x)가 실근을 가지려면

f(x)=0 이거나

f(x-3)=0 이거나 f'(x)=0 이어야 한다.

근데 저 경우엔 실근이 x=0 하나밖에 없다.

따라서 두번째것도 탈락이다.

남은건 하난데 이것도 x축의 위치에 따라

개형이 5가지로 나뉜다.

일단 첫번째건 f(x)=0일때 f(x-3)=0 이거나 f'(x)=0 이어야 g(x)가 연속이 될 수 있는데

그러지 못하는걸 볼 수있다. 따라서 첫번째껀 탈락

 

다섯번째것도 같은 맥락으로

f(x)=0의 해가 하나밖에 없고 여기서 f'(x)가 0도 아니니

다섯번째것도 탈락

 

이제 세번째걸 보면

x축이 극댓값과 극솟값 사이에 걸쳐있는데

그렇다는건 f(x)=0 에서 f'(x)는 절대 0이 아니란거고

(가) 조건을 만족시키기 위해서는

f(x-3)=0 이어만 가능하다.

f(x)의 세 실근중 가장 작은값을 α라 하면

f(α-3)=0 이어야하는데 그러지 못한다.

따라서 세번째것도 탈락이다.

 

같은 논리로 두번째것도 탈락시킬 수 있다.

f(x)의 두 실근중 작은값을 α라 하면

f(α-3)=0 이거나 f'(α)=0 이어야하는데

둘다 만족하지 않으므로 두번째건 탈락이다.

 

마지막으로 네번째것을 보면

f(x)의 두 실근중 작은값을 α라 하면

f(α-3)=0 이거나 f'(α)=0 이어야하는데

이땐 f'(α)=0 이므로 성립하고

f(x)의 두 실근중 큰 값을 β라 하면

f(β-3)=0 이거나 f'(β)=0 이어야하는데

f'(β)는 0이 아니고

따라서 f(β-3)=0을 만족한다면 이 개형은 가능하다.

 

종합하면 f(x) 그래프는 최고차항의 계수가 1이면서

x=α 에서 중근을 갖고

x=β 에서 중근이 아닌 실근을 갖는 삼차함수가 된다.

그리고 아까 f(β-3)=0을 만족한다고 했으므로

α = β-3 이고 다시 쓰면

이제 g(x)의 실근을 구해보자.

g(x)가 실근을 가질 조건은

1. f(x)=0

2. f'(x)=0

3. f(x-3)=0

 

f(x)=0인건 α, α+3 이고

f'(x)=0인건 f(x)를 미분하면

따라서 f'(x)=0인건 α, α+2

f(x-3)=0 인건 f(x)에 x대신 x-3 넣으면

따라서 f(x-3)=0인건 α+3, α+6

 

따라서 네 근을 더하면 α+α+3+α+2+α+6 = 7

따라서 α = -1

이제 α를 대입하기만 하면

f(x)의 추론이 완료된다.

 

따라서 답은 108