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- 지수법칙 -
a = 밑 , b = 지수
단, 밑(a)이 음수일 경우는
b가 정수인 경우만 다룬다.
- 로그의 정의 -
- 로그의 성질 -
- 지수함수와 로그함수 -
여기서 지수인 b를 미지수로 하는게 지수함수
여기서 진수인 b를 미지수로 하는게 로그함수
- 지수함수의 그래프 -
점근선은 y=0 이다.
즉 치역은 y>0 이다.
a<1 인 경우 : 감소함수
a=1인 경우 : 상수함수
a>1인 경우 : 증가함수
- 로그함수의 그래프 -
점근선은 x=0이다.
즉 정의역은 x>0 이다.
a<1 인 경우 : 감소함수
a=1 인 경우 : 정의되지 않음
a>1 인 경우 : 증가함수
지수함수, 로그함수의 최댓값 최솟값 판별법은
각각 증가함수, 감소함수임을 이용하거나
식이 복잡해 알아낼 수 없을 때는
식을 변형하거나 치환하여 푼다.
치환할때는 범위 조심하자.
- 일반각 -
OB : 시초선
OA : 동경
이때 일반각 AOB는
θ + 360˚×n ( n은 정수 )
- 호도법 -
호의 길이를 각도로 나타내는 방법
반지름의 길이가 1인 부채꼴의 호의 길이가 1이 되도록 하는
중심각의 크기를 1(rad)이라 한다.
호의 길이가 2π일때는 중심각의 크기가 2π(rad) 이다.
따라서 360˚ = 2π 이다.
아까 일반각을 호도법으로 다시 나타내면
일반각 AOB는
θ + 2π×n ( n은 정수 )
- 부채꼴의 넓이 -
r = 반지름, θ = 중심각
- 부채꼴의 호의 길이 -
r = 반지름, θ = 중심각
따라서 부채꼴의 넓이는 다음과 같이 표현 가능하다.
- 삼각함수의 정의 -
반지름의 길이가 1이고 원의 중심이 원점에 있는 원이 있을 때
A : 동경과 원이 만나는 점
O : 원점
B : 시초선과 원이 만나는 점
여기서 일반각 AOB를 x라 하면
sinx = A의 y좌표
cosx = A의 x좌표
tanx = A의 기울기
- sinx 의 그래프, 성질 -
1. 정의역은 실수 전체이고,
치역은 -1≤y≤1 이다.
2. 주기가 2π인 주기함수이다.
3. 원점 대칭이다.
- cosx 의 그래프, 성질 -
1. 정의역은 실수 전체이고,
치역은 -1≤y≤1 이다.
2. 주기가 2π인 주기함수이다.
3. y축에 대하여 대칭이다.
- tanx 의 그래프, 성질 -
1. 정의역은 x ≠ nπ+π/2 (n은 정수) 인 실수 전체이고,
치역은 실수 전체이다.
2. 주기가 π인 주기함수이다.
3. 원점 대칭이다.
4. 점근선은 직선 x = nπ+π/2 (n은 정수) 이다.
- 일반각에 대한 삼각함수의 성질 -
sinx, tanx는 원점대칭이므로
sin(-x) = -sinx
tan(-x) = -tanx
cosx는 y축대칭이므로
cos(-x) = cosx
sinx와 cosx의 주기는 2π
tanx의 주기는 π
임을 이용하면 다음과 같은 결과를 유도할 수 있다.
sin(π+x) = -sinx
sin(π-x) = -sin(x-π) = sinx
cos(π+x) = -cosx
cos(π-x) = cos(x-π) = -cosx
tanx = tan(x+π)
tan(π-x) = -tan(x-π) = -tanx
추가로
sin, cos, tan의 정의까지 이용하면
다음과 같은 결과를 유도할 수 있다.
sin(π/2+x) = cosx
sin(π/2-x) = cosx
cos(π/2+x) = -sinx
cos(π/2-x) = sinx
tan(π/2+x) = 1/(-tanx)
tan(π/2-x) = -tan(x-π/2) = 1/(tanx)
- y = asin(bx+c) + d 의 해석 -
a : 그래프의 폭( 최댓값과 최솟값 ) 에 영향을 줌
b : 주기에 영향을 줌
c, d : 평행이동한 결과물
저것의 최댓값은 a+d이고
최솟값은 –a+d이다.
주기는 2π/b 이다.
- 삼각방정식, 삼각부등식 풀이법 -
1. 주어진 식을 sin, cos, tan중 하나로 통일한다.
2. 삼각함수의 대칭성을 이용한다.
3. sin²x + cos²x = 1 임을 이용한다.
단 이것만으로 항상 풀리는건 아니니
그 부분은 알아서 추론하여 해결하자.
- 삼각함수를 이용한 삼각형의 넓이 -
두 변의 길이와 그 두 변이 이루는 각만 알면
삼각형의 넓이를 구할 수 있다.
- 사인법칙과 코사인법칙 -
- 사인법칙 -
이 삼각형의 외접원의 반지름을 R이라 하면
- 코사인법칙 -
- 수열의 정의 -
수를 순서 있게 나열한 것
수열을 이루는 각각의 수를 '항' 또는 '원소'라고 한다.
이와 같이 표현되며
a₁ = 첫번째 항
a₂ = 두번째 항
...
여기서 a_n = n번째 항이고
n번째 항을 일반항이라 한다.
일반항이 a_n 인 수열을 간단하게 아래와 같이 나타낸다.
예를 들어
수열 { 1, 3, 5, 7, 9 } 의 일반항은
2n-1 이다.
- 수열은 함수이다 -
수열의 일반항은 정의역이 자연수인 함수라고 볼 수 있다.
- 등차수열의 정의 -
연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열
이때 연속하는 두 항의 차이를 공차라고 한다.
예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ... 이 수열은
공차가 2인 등차수열이다.
공차는 기호 d로 쓴다.
일반항은 다음과 같다.
세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이룬다면,
아래 식이 성립한다.
- 등차수열의 합 -
- 등비수열의 정의 -
연속하는 두 항의 비가 모두 일정한 수열
이때 연속하는 두 항의 비를 공비라고 한다.
예를 들어 2, 4, 8, 16, 32, ... 이 수열은
공비가 2인 등비수열이다.
일반항은 다음과 같다.
a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이룬다면
아래 식이 성립한다.
- 등비수열의 합 -
- 등차수열과 등비수열의 관계 -
등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 된다.
등차수열의 각 항을 어떤 수의 거듭제곱으로 취하면 등비수열이 된다.
- 수열의 합 -
표현 방법은 아래 두가지이다.
- Σ의 성질 -
- 주의 -
- 자연수의 1 거듭제곱의 합 -
- 자연수의 2 거듭제곱의 합 -
- 자연수의 3 거듭제곱의 합 -
- 부분분수 꼴로 나타내어진 수열의 합 -
- 분모의 유리화를 이용한 수열의 합 -
- 수열의 합과 일반항의 관계 -
- 수열의 귀납적 정의 -
처음 몇 개의 항과
이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 것
아래는 예시이다.
- 수열문제 풀이법 -
1. 하나하나 대입해보면서 규칙성을 찾기
2. 함수로 생각해서 그래프그리기
3. 주어진 식 정리해서 일반항 구하기
4. (m-1)(d-2)=10 인데 m과 d는 자연수이다.
와 같은 조건을 주기때문에
식 적당히 정리해놓고 하나하나 넣어보기
끝