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- 극한의 정의 -
변수가 어떠한 값에 한없이 가까워질때의 값이다.
조심해야할 오개념은
x는 a에 아주 가까워지지만
x=a 인것은 아니기 때문에 그것만 주의하면 된다.
- 좌극한과 우극한 -
x=a 에서의 극한값을 구한다는건
x가 a에 한없이 가까워진다는건데
a보다 작은곳에서 가까워지는걸 좌극한
a보다 큰곳에서 가까워지는걸 우극한이라 한다.
- 극한값의 존재 : 수렴과 발산 -
극한값이 k라는 값으로 존재하면
k에 수렴한다 하고
극한값이 존재하지 않으면 발산한다고 한다.
극한값이 존재하려면
1. 좌극한과 우극한이 모두 존재해야 함
2. 좌극한값과 우극한값이 같아야 함
- 극한값과 함숫값의 차이 -
함수 f(x)가 이렇게 있다고 하면
f(0) = 3 이다.
하지만 x=0 에서의 극한값은 2이다.
즉 극한값과 함숫값은 다를수도 있다.
- 극한의 성질 -
함수 f(x)와 g(x)가 각각 x=a에서 α, β 로 수렴한다고 해보자.
그럼 아래 식들이 성립한다.
0으로 나누는건 안되기때문에 β≠0 이어야 함을 잊지 말자.
- 극한값의 계산 -
원리는 매우 간단하다.
1. 대입해본다.
2. 계산이 곤란하게 만드는 인자가 있으면
인수분해 등을 활용해 식을 변형한 뒤
그것들을 없애고 계산한다.
극한값은 1 대입하면 1
극한값은 1 대입하면
0/0 꼴이라 곤란하다.
따라서 인수분해한다음 약분해서 계산하면 2
극한값은 ∞ 대입하면 ∞/∞꼴이라 곤란하다.
따라서 계산하기 곤란하게 만드는 x를 없애기 위해
분모분자를 x로 나눈 뒤 계산하면 1
- 샌드위치 정리 -
- 함수의 연속성 판단 -
쉽게 설명하자면 함수가 끊어지지 않은 것
즉 함숫값과 극한값이 같으면 연속이다.
함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에서 연속일 때,
f(x)는 그 구간에서 연속 또는 연속함수 라고 한다.
- 연속함수의 성질 -
- 최대•최소 정리 -
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면
f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.
함수가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면
a와 b 사이에서 그래프가 끊어지지 않았다는거니까
어딘가엔 최댓값과 최솟값이 생길 수 밖에 없다.
- 닫힌 구간이어야 하는 이유 -
열린 구간이면 최댓값, 최솟값이 존재하지 않을수도 있기 때문이다.
- 연속이어야 하는 이유 -
tanx의 그래프이다.
x=π/2 에서 불연속이며
좌극한과 우극한이 각각 +∞, -∞로 발산한다.
즉 최댓값 최솟값이 존재하지 않는다.
그래서 연속이어야 하는것이다.
- 사잇값 정리 -
함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이고
f(a)≠f(b) 일 때,
f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대하여
f(c)=k 인 실수 c가
열린 구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재한다.
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이라는건
그래프를 그렸을 때
a와 b 사이에 끊어지는 부분이 없이 쭉 이어야한다는건데
그러면 f(a)와 f(b) 사이의 값 k를 아무거나 잡으면
y=f(x)와 y=k 는 a와 b 사이의 어딘가에서 만날 수 밖에 없으므로
f(c)=k 를 만족하는 c의 값이 a와 b 사이 어딘가에 무조건 존재한다.
이를 응용하여 여기서 k=0이라 하면 함수의 근 여부를 판정할수도 있다.
- 평균변화율 -
x의 변화량에 따른 y의 변화량
x가 a부터 b까지 변화했다고 하면
아래와 같이 쓸 수 있다.
x가 a부터 b까지 변화했으므로
Δx = b-a 이고 a를 이항하면 b = a+Δx이다.
따라서 위 식을 다시 쓰면
- 미분계수 -
순간변화율이라고도 한다.
아까 평균변화율의 두가지 다른 표현법을 그대로 가져오면
- 도함수의 정의 -
미분계수를 일반화한게 도함수의 정의이다.
f(x)의 도함수는 f'(x)라 하며 정의는 다음과 같다.
h = Δx 이다.
- 여러가지 함수의 도함수 -
1. f(x) = xⁿ ( n은 자연수 ) 의 도함수
2. 상수함수의 도함수
3. 실수배의 도함수
4. 합, 차의 도함수
5. 곱의 미분법
- 미분가능성 -
말 그대로 미분이 가능하냐 불가능하냐를 따지는것
미분가능성을 판단하려면 다음 두 가지를 만족하는지를 보면 된다.
1. 연속인가?
2. 좌미분계수와 우미분계수가 같은가?
- 접선의 방정식 -
도함수의 기하학적 의미는
어떤 지점에서의 순간적인 기울기 이다.
접선 : 어떤 곡선과 접하는 직선
함수 f(x) 위의 점 ( a, f(a) ) 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
- 평균값 정리 -
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b] 에서 연속이고
열린 구간 (a, b) 에서 미분가능할 때,
인 c가 열린 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
좌변은 (a, b) 사이의 어떤 지점에서의 순간변화율이고
우변은 a부터 b까지의 평균변화율이다.
평균변화율과 순간변화율이 같아지는 지점이
구간 (a, b)에 적어도 하나는 존재한다는 것이다.
이것의 기하학적 의미는
곡선 y=f(x) 위의 두 점 ( a, f(a) ), ( b, f(b) ) 를 지나는 직선과
평행한 '접선' 이 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
- 롤의 정리 -
평균값 정리에서의 특이 케이스
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고
열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때,
f(a) = f(b) 이면 f'(c) = 0인 c가
열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
f(a)=f(b)이기 때문에
이것의 값은 0이다.
- 함수의 증가와 감소 -
f'(x)>0 이면 증가함수
f'(x)<0 이면 감소함수
증가함수면 f'(x)≥0 성립
감소함수면 f'(x)≤0 성립
f'(x)≥0 이라고 무조건 증가함수인건 아니다.
f(x)가 상수함수라던가 하는 특이 케이스가 있기 때문이다.
물론 그 외에는 f'(x)≥0 이면 증가함수이다.
- 함수의 극대와 극소 -
위로 볼록한 끝지점이 극대
아래로 볼록한 끝지점이 극소이다.
f(x)가 x=a에서 극대라면
f(x)의 도함수 f'(x)는
x=a의 좌우에서
양수였다가 음수로 바뀐다.
f(x)가 x=a에서 극소라면
f(x)의 도함수 f'(x)는
x=a의 좌우에서
음수였다가 양수로 바뀐다.
만약 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면서
f'(x)가 x=a에서 연속이라면
f'(a) = 0 이다.
주의할 오개념들은
1. 미분불가능해도 극대, 극소를 가질 수 있다.
즉 극값이라고 무조건 도함수가 0인건 아니다.
2. 극대,극소와 최대,최소는 다른 개념이다.
- 속도 -
위치가 시간에 대한 함수라면
위치를 미분한게 속도
- 가속도 -
속도가 시간에 대한 함수라면
속도를 미분한게 가속도
속도는 위치를 미분한거니까
위치를 두번 미분한게 가속도
- 부정적분의 정의 -
1. 미분 = 변화율 , 적분 = 변화량
2. 부정적분은 미분의 역연산이다.
3. 부정적분의 결과물인 원시함수에서
상수항의 값이 얼마인지 모르니 C라고 표시한다.
하나 예를 들자면 3x² 의 부정적분은 다음과 같다.
- 정적분의 정의 -
함수의 그래프가 이루는 도형의 면적을 구하는 방법
이 문장은
함수 f(x)를 x=a에서 x=b까지 적분합니다.
라는 뜻이다.
- 정적분의 성질 -
함수 y=f(x)가 y축에 대하여 대칭이면
다음 식이 성립한다.
2. 함수 y=f(x)가 원점 대칭이면
다음 식이 성립한다.
- 정적분으로 나타내어진 함수 풀이법 -
적분구간이 상수인 경우엔
정적분의 값을 상수 k라 놓고 푼다.
적분구간에 변수가 있는 경우엔
양변을 미분하여 구한다.
이걸로 부족할 경우
x=a부터 x=a까지 적분하면 0이라는 정적분의 성질을 이용하여
특정한 x값에서의 함숫값을 알아낸다.
- 정적분으로 나타내어진 함수의 극한 -
그냥 미분계수를 보기 무섭게 표현한거다.
- 넓이 -
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b] 에서 연속일 때,
곡선 y=f(x)와 x축 밑 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이 S는
f(x)와 g(x) 사이의 a부터 b까지의 넓이 S는
- 위치와 거리 -
- 위치 -
위치가 시간에 대한 함수이면
위치를 미분한게 속도니까
속도를 적분하면 위치가 나온다.
적분상수를 C 대신 x_0 라고 쓰면
다음과 같이 표현된다.
- 이동거리 -
이동거리는 위치와 다르다.
속도가 음수일수도 있기 때문이다.
t=a부터 t=b까지 이동거리는 다음과 같다.
끝