- 들어가며 -
3월 모의고사는 사실 별로 중요하지 않다.
3월 모의고사가 수능 성적이다 라는건 헛소리이니 무시하면 된다.
그래도 6모 9모를 제외하면 그나마 가장 중요한게 3월 모의고사라서
앞으로는 3월모의고사도 수학은 해설을 할 생각이다.
3월 모의고사의 의미는, 고2까지의 수학을 얼마나 잘하느냐를 측정하는것이다.
즉 3월 모의고사의 성적이 좋지 않다면 고2까지의 수학부터 복습하는것을 추천한다.
그렇게 문제의 근원을 찾아 거슬러 내려가다보면, 중등수학이 부족하다는 결론에 다다를수도 있는데,
그러면 중등수학부터 하면 된다.
고3이 무슨 중등수학이냐? 할수 있는데, 중등수학도 절대로 쉽지않다.
고1 3월 모의고사 범위는 중등수학인데 여러분이 고1 3모 만점 못받는게 그 증거다.
여러분의 고2까지의 수학능력을 측정하는 시험이니 해설을 해주긴 할텐데,
3월모의고사는 별로 중요하지 않으니
6모 9모 수능 해설처럼
빈틈이 전혀 없고 하나하나 친절히 설명해주는 정석중의 정석인 풀이로 하기보단
나만의 테크닉이나 논리적 비약(직관)을 조금 이용할것이다.
그래도 해설지보단 친절하다.
혹시 본인이 못 푼 문제인데
어떻게 푸는건지 궁금해서 이 글을 보는거라면
이 글을 보지 말것.
남이 풀어주는걸로는 실력이 늘지 않는다.
풀긴 풀었는데 풀면서 100%확신하진 못하고 약간 찜찜했거나
다른 풀이도 있을까 해서 찾아보는거라면
매우 환영이다.
원하시는 문제로 바로 가고싶으면
N번 문제로 가고싶다면
N )
이 형태로 검색하시면 됩니다.
예를들어 2번으로 가고싶으면 2 )
1 )
답은 5번
2 )
답은 2번
3 )
답은 4번
4 )
-1에서의 우극한은 0이며, 1에서의 좌극한은 1이므로
0+1 = 1이다. 답은 4번
5 )
답은 1번
6 )
답은 3번
7 )
구할 넓이를 S라 하고, 접선을 ℓ(x)라 한다.
답은 2번
8 )
답은 3번
9 )
답은 1번
10 )
g(x)의 그래프를 그리면
g(f(x)) 의 최솟값이 2이다.
g(x)=2 의 근은, 중근 2와, 2보다 작은 수이다.
이 수를 a라 하겠다.
f(x)는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이므로
f(x)의 최솟값이 a이면 된다.
f(x)는 x=-1 일때 최소이고
삼차함수의 비례관계에 의해 a=1/2 이다.
(조금 설명해주자면, 극소점에서 접선을 그었을 때,
교점과 극대점 사이의 x차이 : 극대점과 극소점 사이의 x차이 = 1 : 2 이다. )
따라서 f(-1) = 1/2 를 만족하는 k값을 찾으면 그게 k의 최솟값이다.
따라서 답은 5번
비례관계는 교과서에 없는내용이라 몰라도된다.
모르면 그냥 g(x)=2 의 근을 구하면 된다.
11 )
답은 5번
12 )
g(x)는 연속함수이므로,
h(x)가 연속이기 위해 f(x)의 x=2 에서의 연속성을 조사해야한다.
그런데 -1 = 2a-4 를 만족하는 a값은 a=3/2 이고,
이는 문제에서 제시한 조건에 어긋난다.
따라서 f(x)는 x=2에서 불연속이라는 결론을 얻는다.
근데 h(x)는 연속이어야하고, g(x)는 연속이니 g(2)=0 이어야한다.
따라서 g(x)는 x-2를 인수로 갖는다.
이제 (가) 부터 풀어보면
h(x)는 연속함수이므로, 아래의 식이 성립한다.
그런데 f(x)는 x→1 일때와 x→a 일때의 극한값이 둘다 0이므로
g(x)의 x→1 일때와 x→a 일때의 극한값도 0이다.
그리고 g(x)는 삼차함수이므로 연속함수이다.
따라서, g(x)는 x-1과 x-a, 그리고 아까 알아냈듯이 x-2를 인수로 갖는다.
따라서 g(x)를 아래와 같이 쓸 수 있다.
다음으로 (나)를 풀어보면
따라서, g(x)는
g(x)의 추론이 완료되었으므로, h(1)+h(3)을 구할수 있다.
따라서 답은 3번
13 )
본인의 직관, 테크닉이 가장 많이 들어간 문제라서
내 설명이 이해가 안될 확률이 높지만,
이런 풀이법도 있구나 라는 느낌으로 보면된다.
어차피 정석풀이 해설 보고싶으면 해설강의 보면 될거고
나만의 풀이법을 보여주겠다.
핵심 : 수열은 정의역이 자연수인 함수이다.
등차수열이므로, 첫째항을 a, 공차를 d라 한 다음
정의역을 실수 전체로 확장하면, 수열 a_n은
y절편이 a-d이고 일차항의 계수가 d인 일차함수로 표현할 수 있다.
그런다음 그래프를 그려서 풀것이다.
이 경우, a_n의 그래프는 이렇게 그려질것이다.
칠한 두 부분의 면적이 같으니 S_3 = S_6 인것이다.
따라서 a-d+5d = 0 이고, 따라서 이때 a=-4d 이다.
a_n은 n=5를 기점으로 부호가 바뀌므로,
S_9은 0일것이다.
따라서 S_11은 a_10 + a_11 = -4d+9d + -4d+10d = 11d 이고
이므로
-4d-3d-2d = -11d-3 이다.
따라서 d = -3/2 이며, a=6 이다.
이 경우, a_n의 그래프는 이렇게 그려질것이다.
따라서 이때 a = -2d 이다.
a_n은 n=3을 기점으로 부호가 바뀌므로,
S_5는 0일것이다.
따라서 S_11은 a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_10 + a_11
= -2d×6 + (5+6+7+8+9+10)d = 33d 이고
이므로
-2d-d = -33d-3 이다.
따라서 d = -1/10 이며, a=1/5 이다.
두 a를 더하면, 6+1/5 = 31/5
따라서 답은 1번
14 )
이 문제는 오답률이 78%이다.
객관식문제중 최고난이도 문제였다는 것이다.
ㄱ )
사실 이건 안해봐도 맞는 선지일 확률이 매우 높은게
오지선다의 선택지중 ㄱ이 안들어간건 4번밖에 없는데
출제진은, 학생들이 ㄱ 부터 풀거라고 상정하고 문제를 출제하므로
ㄱ이 틀리면 ㄴ,ㄷ 풀이 없이 바로 4번으로 찍어버릴수 있기때문에
이럴땐 ㄱ이 대부분 맞다. 이건 문제를 많이 풀어보며 터득한 잡기술이다.
물론 확실히 맞추려면 절대 이렇게 풀면 안된다.
ㄱㄴㄷ을 다 풀고있을 시간이 없을때 유용하게 써먹을수 있다.
k=0 일때 라니까 그냥 대입해버리고 삼차방정식을 풀면 된다.
따라서, f(x)+g(x)는 x=0일때 4라는 극솟값을 갖는 삼차함수이다.
극솟값이 0보다 크므로, f(x)+g(x)=0 의 실근은 하나밖에 가질수 없다.
따라서 ㄱ(o)
ㄴ )
f(x)-g(x)를 작성하면
f(x)-g(x)는 삼차함수인데
f(x)-g(x)의 서로다른 실근이 2개라는건
하나는 중근이고 하나는 실근이었다는것이다.
중근을 α, 또다른 실근을 β 라 하고
f(x)-g(x)를 작성하면
따라서, 아래의 식은 항등식이다.
항등식이니 계수만 비교해주면 α, β, k의 값을 다 구할 수 있다.
따라서 ㄴ(o)
ㄷ )
|f(x)| = g(x) 라는 식을 작성하면
g(x)는 그래프 그릴수 있으니 그려주고
확실히 알수있는 값인 f(0)=6 을 xy좌표평면에 표시해주면
아래와 같이 된다.
그런데, f(x)를 잘 보자.
이차항이 없다.
위 식을 만족하므로, 아래와 같은 결론을 얻는다.
" f(x)는 (0, 6)을 기준으로 점대칭이다. "
따라서 x<0 인 범위와 x>0 인 범위로 나눠서 생각할것이다.
x<0 인 범위에서 |f(x)| = g(x)의 근은 최대 2개이다.
왜냐면, f(x)는 최고차항의 계수가 양수이고 (0, 6)에 대해 점대칭이기 때문에
극대가 존재한다면 무조건 x<0에서 존재해야하며,
따라서 x<0 에서는 근이 최대 2개 나온다.
근이 2개 나올 조건은, f(-1)>0 이다.
f(-1)=0 이면 근이 1개 나온다.
f(-1)<0 이면 근이 0개 나온다.
이번엔 x>0 인 범위를 보면,
여기서는 |f(x)| = g(x) 의 근이 최대 4개까지 나올 수 있다.
|f(x)|가 이렇게 생기면 근이 4개가 된다.
따라서 아까 f(-1)<0 이면 x<0 에서 근이 0개 나온다는 경우는 생각하지 않아도 된다.
x>0 에서 근이 최대 4개이므로, 이 경우에서는 근이 5개 나올수 없기때문이다.
그리고 f(-1)=0 인 경우 (x<0에서 근이 1개인경우) 도 말이 되지않는다.
f(-1)=0 이면, 극대점이 x>-1 인곳에 있다는건데
f(x)는 (0, 6)에 대해 점대칭이므로 극소점은 x<1 인곳에 있을거고
그러면 |f(x)|가 절대 위처럼 그려질수 없다.
따라서 f(-1)>0 이어야한다.
f(-1)>0 이라면 x<0 에서 근이 2개이므로
x>0에서는 근이 3개 나와야한다.
근이 3개 나오려면 가능한 경우의 수는 두가지이다.
1. f(1)=0 이면서, 극소점이 x>1에 있으면서, -f'(1)>g'(1) 인 경우
무슨 상황이냐면, |f(x)|의 그래프가
x=1에서 딱 만난다음, g(x)의 위로 올라갔다가 극점을 찍고
다시 내려오면서 또 만나고
그 뒤에 다시 올라오면서 또 만나는 상황이다.
우선 f(x) = x³-kx+6 이므로
f(1)=0 이려면 k=7 이어야한다.
f(x)의 극소점을 알고싶다면 미분하면 된다.
f'(x) = 3x²-7
f'(1)=-4 이므로 극소점은 x>1에 있다.
하지만 g'(1) = 4 이므로, -f'(1)=g'(1) 이고
따라서 이 경우는 불가능하다.
2. f(1)>0 이면서, 극소점이 x>1에 있으면서, |f(x)|와 g(x)가 접하는 경우
무슨 상황이냐면, |f(x)|의 그래프가
g(x)의 그래프를 아래로 교차했다가
극점을 찍으려고 올라올때 g(x)와 접하고
다시 내려갔다가 올라와서 또 만나는 상황이다.
그렇다는건,
-f(a) = g(a) 이면서
동시에 -f'(a) = g'(a) 인 a값이
a>1 이라는 범위에 존재한다는것이다.
즉, f(x)+g(x)=0 은 a>1 인 a가 존재해서
(x-a)² 를 인수로 가져야한다는 뜻이다.
이건 항등식이니, 아까 ㄴ 선지 풀듯이 풀어보면
a=1 임을 알수 있다.
이는 a>1인 a가 존재한다는 가정에 모순이다.
따라서 이 경우도 불가능하다.
따라서, 최종적인 결론은
서로다른 실근의 개수가 5가 되도록 하는 k값은 존재하지 않는다.
따라서 ㄷ(x)
따라서 답은 2번
15 )
얘는 15번인데 너무 쉬웠다.
작년 수능부터 문제 배치가 좀 이상하다.
아무래도 요즘 추세는 객관식 킬러를 14번에 놓는거같다.
(가)
빈칸추론문제는 그냥 문제에서 하라는대로 하면 된다.
삼각형 ABD와 BCD에서 코사인법칙 쓰라니까 쓰면 되는거다.
삼각형 ABD에서 코사인법칙 쓰면
BD의 길이를 구할수 있다.
이제 삼각형 BCD에서 코사인법칙 써주면
CD의 길이가 나올것이다.
각 BCD는 2π/3 이다.
왜냐면, ABCD는 원에 내접하는 사각형인데
원에 내접하는 사각형에서, 마주보는 두 내각의 합은 항상 π이기 때문이다.
이걸 모르는건 중등수학이 안되는거니 거기를 공부하자.
아무튼 코사인법칙 써주면
따라서 p = 1 이다.
(나)
삼각형 EAB와 삼각형 ECD가 닮음인데,
AB : CD = 2 : 1 이므로
닮음비는 2 : 1 이다.
DE의 길이를 x라 하면,
x : BE = 1 : 2 이고
BC = 2 이므로
CE = 2x-2 이다.
AE : CE = 2 : 1 인데
AE = 3+x 이고, CE = 2x-2 이므로
대입해서 정리하면, x=7/3 이다.
따라서 q = 7/3 이다.
(다)
삼각형 ECD에서, 사인법칙에 의해 아래 식이 성립한다.
(각 BCD가 2π/3 이므로, 각 DCE는 π/3 이다.)
이를 정리하면 sinθ가 나온다.
p, q, r을 다 구했으니 (p+q)×r 을 계산만 하면 된다.
따라서 답은 4번
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