명제 #1 - 명제란 무엇인가?

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- 개요 -

논리학을 다루는 곳이라

개인적으로 고1수학중 가장 재미있는곳이 명제이다.

다만 수학교육에서의 명제는 논리학에서의 명제와 의미가 약간 다른데,

거기까지는 몰라도 되니 그냥 그런가보다 하고 넘어가자.

 

어떤걸 하는건지 예를 들어주겠다.

" x가 실수라면 항상 x²≥0 을 만족하는가? "

답은 '그렇다' 이다.

명제 단원이 끝나면, 왜 답이 그렇다 인지를 '수학적으로' 설명할수 있게 된다.

 

 

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- 명제의 정의 -

우선 이걸 하기전에, '정의' 라는게 뭔지부터 알아야한다.

수학에서의 '정의' 는 '정의롭다' 에서 쓰이는 정의랑 다른말이다. justice가 아니다.

 

정의(definition, 定義) : 용어의 뜻을 정확하게 정한 문장

定 : 정할 정,  義 : 옳을 의

즉 옳다고 정하는것이다.

예를 들자면,

'1이란, 가장 작은 자연수이다.'

'직각삼각형이란, 한 내각이 직각인 삼각형이다.'

 

 

정의 라는것의 뜻이 뭔지 알았으니,

명제의 정의가 뭔지 이제 설명할 수 있다.

 

명제(proposition, 命題) : 참 또는 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식

참 이라는건 맞다는거(true) 말하는거고

거짓 이라는건 틀리다는거(false) 말하는거다.

명제의 어원은 나도 잘 모르겠다.

 명제의 핵심은, 그 자체로 참 거짓을 정확하게 '판별'할수 있다는것이다. 

 

예를 들어보겠다.

'에펠탑은 파리에 있다.'

이는 의심의 여지 없이, 누가 봐도 참이다.

따라서 이것은 명제이다.

 

'이 그림은 아름답다.'

아름답다는 것을 정확히 구분지을 기준이 없다.

즉 이것의 참 거짓을 명확히 판별할 기준이 없다.

따라서 이것은 명제가 아니다.

 

'0은 자연수이다.'

0은 자연수가 아니다. 의심의 여지없이 거짓이다.

따라서 이것은 명제이다.

 

 

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- 오개념 주의 : 거짓이어도 명제이다 -

참 거짓을 정확히 판별할수 있으면 다 명제이다.

앞에 제시한 '0은 자연수이다.' 라는 것은

명제긴 한데, 거짓인 명제인 것이다.

거짓이라는건 명제가 아니라는뜻이 아니라,

명제라서 이 문장의 참 거짓을 판별해봤더니, 거짓이더라. 라는거다.

이걸 가지고 학교 시험에서 함정을 파놓을수 있으니 조심하자.

참 거짓을 정확히 판별할수만 있다면 무조건 명제이다.

 

 

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정말 오개념이 없는지 점검해보겠다.

x-1=0 이라는 식이 있다.

x의 값은 1인가?

 

답은 '아니다' 이다. 정확히는 '그렇게 단정지을수 없다' 이다.

왜냐면, x-1=0 은 방정식이다.

'방정식은 명제인가?'

방정식은 명제가 아니다.

방정식이 뭔가?

미지수가 포함된 등식에서, 그 미지수에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식

x에 특정한 값을 주었을때만 성립한다고 한다.

따라서 x-1=0 이라는 방정식은

x=1 이라는 특정한 값에서만 성립하는 등식이다.

그리고 x-1=0 이라는건

'x-1의 값은 0이다.' 라는 문장이 참이라는 뜻이다.

근데 저게 참인지 아닌지는 모르는거다.

왜냐면 x는 아직 값이 정해지지 않은 수, 즉 미지수니까

 

따라서 x-1=0 이라는 문장의 참, 거짓을 판별할 수 없다.

왜냐면 x값을 모르니까

그래서 방정식은 명제가 아닌거다.

 

따라서 x-1=0 은 명제가 아니기때문에

x-1=0 이 참인지 거짓인지 판별할수 없고

따라서 x=1 이라고 단정지을수 없다.

 

그니까 저런 문제에는 어떻게 답하는게 맞냐면,

그 식이 참인지 거짓인지 명시하지 않았기 때문에,

즉 저건 명제가 아니기 때문에,

x는 1이라고 단정지을수 없습니다.

라고 대답하는게 가장 정확하다.

 

 

여기서 큰 혼란이 올수 있는게

아니 그럼 x-1=0 이라는 방정식을 여태 x=1 이라고 풀어왔는데

이건 다 어떻게 된건가요? 갑자기 아무것도 모르겠어요.

라는 물음이 있을 수 있다.

 

방정식을 푼다는건, 그 방정식이 참이 되도록 하는 미지수의 값을 찾는다는 것이다.

그리고 그렇게 구한 미지수의 값을 바로 '방정식의 근' 이라고 하는것이다.

즉 방정식의 근을 구한다는건

그 '방정식'이 '참인 명제'가 되도록 하는 미지수의 값을 구한다는것이다.

x-1=0 의 근을 구한다는건

x-1=0 이라는게 '참인 명제' 가 되도록 하는 x값을 찾는다는것이다.

그래서 x-1=0 의 근을 구하면 x=1 인 것이다.

 

이건 추가개념인데, 그냥 읽어보자.

f(x)=0 이 방정식이 x=a 일때 참인 명제가 된다고 해보자.

즉 f(x)=0 의 근이 x=a라고 해보자.

그럼 f(x-1)=0 의 근은? x=a+1 이다.

f(x-1)=0 은 x=a+1 에서 참인 명제가 되는것이다.

근데 f(x-1) 이라는건, f(x)를 +x방향으로 1만큼 평행이동한것이다.

f(x)의 그래프는 (a, 0)을 지나고,

f(x-1)의 그래프는 (a+1, 0) 을 지난다.

이게 평행이동이다. 사실 명제를 설명하는 글이라 이런건 안적어도 되긴 하는데

평행이동의 직관적인 이해에 도움이 되었으면 좋겠어서 적었다.

 

 

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- 정의와 정리의 차이 -

정의는 Definition, 즉 용어의 뜻 자체를 적는거고

정리는 방정리에서의 정리가 아니라

Theorem, 즉 '참인 명제' 이다.

우리가 여태 배운 정리중 중요한것들을 예로 들자면,

피타고라스의 정리, 나머지정리 정도가 있겠다.

 

둘다 '참인 명제' 라는게 공통점이다.

 

직사각형의 정의는

'직사각형이란, 내각이 모두 직각인 사각형이다.'

 

따라서, '직사각형의 내각은 직각이다' 라는 문장은 정리이다.

그리고, '직사각형은 변이 4개인 도형이다' 라는 문장도 정리이다.

참인 명제이기 때문이다.

하지만 '직사각형이란, 변이 4개인 도형이다' 라는건 맞는말이긴 하지만,

이걸 직사각형의 정의라고 하지는 않는다.

왜냐면, 변이 4개인 도형은 사각형이다.

직각이라는 추가조건이 없으면 직사각형이라고 장담할수는 없다.

이게 정의와 정리의 차이이다.

 

좀 쉽게 요약하자면,

직사각형의 정의 : 직사각형이란 무엇인가.

직사각형의 정리 : 직사각형의 특징은 무엇인가.

 

 

 

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- 예제 -

 

ㄱ )

3-5=-2 이다.

따라서 3-5=8 은 누가봐도 거짓이다.

거짓임을 명확히 판별할수 있으므로, 이건 명제이다.

그리고 거짓인 명제이다.

 

ㄴ )

2x-1>9 는, 참인지 거짓인지 판별할수 없다.

x의 값을 모르기 때문이다.

따라서 이건 명제가 아니다.

 

ㄷ )

60÷7은 8보다는 큰수이다.

따라서 60÷7>8 은 누가봐도 참이다.

참임을 명확히 판별할수 있으므로, 이건 명제이다.

그리고 참인 명제이다.

 

ㄹ )

이건 항등식이다.

항등식 = 미지수의 값에 상관없이 항상 성립하는 식

따라서 이건 무조건 참이다.

참임을 명확히 판별할수 있으므로, 이건 명제이다.

그리고 참인 명제이다.

 

ㅁ )

x값이 뭔지 모르는데 1000보다 큰지 작은지는 어떻게 비교하나?

참 거짓을 판별할수 없다.

따라서 이건 명제가 아니다.

 

ㅂ )

8의 배수이면 4의 배수이다.

8 자체가 4의 배수이기 때문이다.

따라서 이건 참이다.

참임을 명확히 판별할수 있으므로,

이건 참인 명제이다.