명제 #2 - 조건과 진리집합, 부정

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- 개요 -

명제는 설명 자체는 난해한 느낌이 있는데

문제는 엄청나게 쉽다.

 

 

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- 조건 -

문자를 포함하는 문장이나 식이

그 문자의 값에 따라 참, 거짓이 정해질 때,

이 문장이나 식을 '조건'이라 한다.

 

그냥 말 그대로다.

다만 이건 좀 어려운개념이라,

적당히 가락만 잡고 넘어가면 된다.

방정식은 조건이다.

수식인데, 명제가 아닌애들은 다 조건이다.

그니까 항등식 빼고는 다 조건이다.

 

다만 주의해야할 오개념은

명제가 아니면 다 조건이다?

조건이 아니면 다 명제이다?

이건 아니다.

참 거짓을 판별하는것 자체가 불가능한 경우도 많기때문이다.

'수학은 재미있다' 이건 명제도 아니고 조건도 아니다.

누구는 재미있어할수도 있고, 누구는 재미없어할수도 있으며,

재미있다 라는 것을 확실히 구분지을 기준도 없다.

이런건 명제도 아니며, 명제가 될 가능성도 없는 문장이다.

 

 

그래서 난 이정도로 요약해주고싶다.

 '명제는 아닌데, 명제가 될 가능성이 있는 문장을 조건이라 한다.' 

 

다만 수학에서 등장하는건 대부분 수식이라

그냥 주어진 수식이 명제가 아니면 조건이구나 정도로 이해해도 괜찮다.

 

문제를 풀어보면 무슨말인지 안다.

 

ㄱ )

x=0 이거나, x=-1 이어야만 성립하는 등식이다.

즉, 방정식이다. 따라서 이건 조건이다. ㄱ(o)

 

ㄴ )

이건 항상 성립하는 부등식이다.

이런걸 절대부등식이라고 하는데, 다음시간에 다룬다.

아무튼 항상 성립하는 부등식이므로

이건 '참인 명제' 이다. 따라서 이건 조건이 아니다. ㄴ(x)

 

ㄷ )

x=3이면 2x=6 이라는건, 참인 명제이다.

따라서 이건 조건이 아니다. ㄷ(x)

 

ㄹ )

x의 값이 얼마냐에 따라

x가 소수일수도 있고, 아닐수도 있다.

따라서 이건 조건이다. ㄹ(o)

 

ㅁ )

철수가 농구를 잘하는지 참 거짓을 판별할 방법이 없다.

따라서 이건 명제도, 조건도 아니다. ㅁ(x)

 

따라서 답은 ㄱ, ㄹ

 

 

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- 진리집합 -

전체집합 U의 원소 중에서

어떤 조건이 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을

그 조건의 진리집합이라 한다.

 

좀 쉽게설명해주자면,

방정식이 있으면, 그것의 근을 다 모은게 진리집합이다.

 

'x는 9의 약수이다'

이건 '조건'이다.

이 조건이 참이 되기 위한 x값은

1, 3, 9 이다.

따라서 이 조건에 대한 진리집합은

{1, 3, 9} 이다.

 

문제를 하나 풀어보면 바로 감을 잡는다.

 

 

q라는게 뭔지 모를수 있는데

q는 그냥 저 조건의 이름이라 보면 된다.

앞으로 p q 가지고 여러가지 말장난이 있으므로

이 표현에 익숙해져야한다.

조건을 보통 p, q 와 같이 표현한다.

 

아무튼 전체집합은 정수 전체의 집합이며,

그중 주어진 조건이 참이 되게 하는 정수 x는

2, 3, 5, 7 이다.

따라서 답은 {2, 3, 5, 7}

 

참고로, '모두' 모아야 진리집합이 되기 때문에

{2, 3, 5, 7}을 제외한 모든 부분집합은 오답이다.

 

 

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- 부정 -

조건 또는 명제 p에 대하여

'p가 아니다.' 를 p의 부정이라 하고,

기호로 ~p 와 같이 나타낸다.

 

예를 들어, p : x는 짝수이다.

라는 조건 p가 있고,

이 조건의 부정을 구하라 하면

~p : x는 짝수가 아니다.

또는 ~p : x는 홀수이다.

이렇게 하면 되는거다.

 

부정을 왜 배우냐면,

어떤 조건이나 명제의 참, 거짓을 판별하고 싶은데

그것의 부정의 참, 거짓을 판별하기가 더 쉬울때가 있다.

그럼 부정의 참, 거짓을 판별하면 되는거다.

왜냐면, 상식적으로 생각해보자.

'~p = p가 아니다.'   따라서

~p가 참이면 p는 거짓이다.

~p가 거짓이면 p는 참이다.

 

 

 

√(4)는 무리수이다. 의 부정은

√(4)는 무리수가 아니다.

또는, √(4)는 유리수이다.

이다.

√(4)의 값은 2로, 2는 무리수가 아니다.

따라서 √(4)는 무리수가 아니다. 라는 명제는 참이다.

 

 

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- 조건 'p 또는 q' 와 'p 그리고 q' -

여기부터 본격적인 말장난이 시작된다.

 

 

1. 조건 'p 또는 q' 의 부정

 

p 또는 q 라는건

p 이거나 q 라는거다.

따라서 p 또는 q의 부정은

p도 아니고 q도 아니다. 이다.

따라서 ~p 그리고 ~q 이다.

 

요약 : p 또는 q 의 부정은 ~p 그리고 ~q

 

 

2. 조건 'p 그리고 q' 의 부정

 

p 그리고 q 라는건

p 이면서 q 라는거다.

따라서 p 그리고 q의 부정은

p가 아니거나, q가 아니다. 이다.

따라서 ~p 또는 ~q

 

요약 : p 그리고 q 의 부정은 ~p 또는 ~q

 

 

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- 조건과 진리집합의 표현 -

전체집합 U에서 정의된 두 조건 p, q의 진리집합을

각각 P, Q 라고 하면,

 

조건 'p 또는 q' 의 진리집합은 P∪Q 이다.

조건 'p 그리고 q' 의 진리집합은 P∩Q 이다.

 

p 또는 q 라는건

p 이거나 q 라는거고

그게 바로 P와 Q의 합집합 말하는거다.

 

p 그리고 q 라는건

p 이면서 q 라는거고

그게 바로 P와 Q의 교집합 말하는거다.

 

 

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- 예제 -

 

답은 ㄱ, ㄹ 이다.

 

ㄱ )

x값에 따라 참일수도, 거짓일수도 있는 문장이다.

따라서 이건 조건이다. ㄱ(o)

 

ㄴ )

이 조건의 진리집합이라는건,

이 조건이 참이 되도록 하는 x값을 모두 모은 집합을 구하라는것이다.

제시된 집합인 {-2, -1, 0, 1, 2} 는

저 조건이 참이 되도록 하는 x값을 모은건 맞는데,

그걸 '모두' 모은건 아니다. x가 정수라고 한적은 없기때문이다.

따라서 ㄴ(x)

 

ㄷ )

p:  -2≤x 라 했으면,

~p:  -2>x 가 되어야 한다.

따라서 ㄷ(x)

 

ㄹ )

말 그대로 맞는말이다.

-2≤x 라는 조건을 p라 하고,

x<3 이라는 조건을 q라 하면,

-2≤x<3 은

'x는 2보다 크거나 같고, 3보다 작습니다'

라는 뜻이므로,

'p이면서, q입니다'

라는 말이 된다.

따라서 ㄹ(o)

 

ㅁ )

ㄹ 선지에서 이어지는 내용이다.

-2≤x<3 은

'x는 2보다 크거나 같고, 3보다 작습니다'

라는 뜻이므로,

'x는 2보다 크거나 같습니다. 그리고 x는 3보다 작습니다.'

라는게 되고

따라서 이것의 부정은

'x는 2보다 작습니다. 또는 x는 3보다 크거나 같습니다.'

즉 x<2 또는 x≥3 이다.

따라서 ㅁ(x)

 

따라서 답은 ㄱ, ㄹ