순열 #2 - 순열 문제풀이

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- 개요 -

제목 그대로 '순열'에 관한 문제풀이를 다루는 글이다.

'문제풀이'만 다룬다.

순열에 대한 기본개념이 궁금하다면

이 블로그의 '순열 #1 - 순열의 뜻과 계산'

글을 참고하기 바란다.

개념을 알고있다고 가정하고 진행할 것이다.

이해가 안 된다면 개념이 부족할 가능성이 높으니

개념부터 다시 공부하고 오자.

 

 

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- 1 : 기본 계산 -

쎈 고등수학(하) 2021년 / 905번 문제

 

S, M, I, L, E 라는 서로 다른 5개의 알파벳 중에서

'3개를 뽑아서' '일렬로 나열' 하는 '방법의 수'

를 구하라 했으므로,

이건 순열의 수를 묻는 문제임을 알 수 있다.

즉 5개중 3개를 뽑아서 나열하는 경우의 수이다.

그냥 순열의 수 공식 적용한거고

이걸 모르겠다면 개념공부부터 하고 오는게 맞다.

따라서 답은 60

 

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- 2 : 이웃하는 순열 -

쎈 고등수학(하) 2021년 / 909번 문제

 

문제를 잘 해석해야된다.

나열하긴 하는데,

'P와 R을 이웃하게' 나열해야 한다.

P와 R이 이웃하게 해라 = 'P와 R을 붙여놔라' = 'P와 R을 하나로 묶어라'

 

P와 R이 이웃하는 예시를 들어주겠다.

PROWE, RPOWE, OPRWE, ORPWE, WEOPR 등등 ..

P와 R을 붙여놓으라는 뜻이다.

그럼 이걸 어떻게 계산해야하는가?

붙여놓으라고 문제에서 시켰으니,

둘을 처음부터 붙여놓고 배열하면 된다.

이렇게 묶는 순간,

이젠 5개를 나열하는게 아니라,

4개를 나열하는 상황이 된다.

P와 R은 하나로 묶여있기때문에

(P+R) 자체를 하나로 취급하겠다는 것이다.

그럼 이 4개를 나열하는 방법은

4! = 4×3×2×1 = 24 이다.

 

하지만 아직 끝나지 않았다.

P와 R을 하나로 묶으랬지

P가 R 왼쪽에 오라 한적은 없다.

(P+R)을 하나로 보고 4개를 배열하긴 했지만,

P+R이 PR 의 순서로 묶인건지,

아니면 RP 의 순서로 묶인건지

아직은 구별하지 않았기때문에

이것까지 구별해줘야한다.

 

P+R 을 묶는 방법은

PR 로 묶거나, RP로 묶거나

둘 중 하나이므로,

P+R 을 묶는 경우의 수는 2이다.

 

그리고 이 2 라는 경우의수는 '곱의법칙' 으로 계산해줘야한다.

'알파벳 5개를 나열한다' 라는 시행이 아직 끝난게 아니기때문이다.

 

따라서 아까 구한 경우의수인 24 에다가 2를 곱해줘야

우리가 원하는 최종적인 정답이 된다.

 

 

세 줄로 요약하자면,

24 : (P+R) 묶음 포함 4개를 배열하는 경우의 수

2 : (P+R) 묶음의 내부에서 P와 R을 배열하는 경우의 수

이 두 사건은 '1회의 시행'에서 둘다 일어나므로 곱의법칙으로 계산

 

24 × 2 = 48

따라서 답은 48

 

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- 3 : 중간점검 겸 연습 -

쎈 고등수학(하) 2021년 / 908번 문제

 

1학년이 3명,   2학년이 4명 있고

이 7명을 일렬로 세우는데,

1학년 학생끼리는 이웃하게 세우라고 한다.

이번에도 아까와 똑같이 푼다.

이웃하게 해라 = 하나로 묶어라

편의상 '학년' 이라는 글자는 뺐다.

저렇게 1학년 3명을 하나로 묶어버리면,

이젠 5개를 일렬로 배열하는 상황이 된다.

따라서 이 5개를 배열하는 방법은

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 이다.

 

하지만 아직 시행이 끝나지 않았다.

아직 1학년을 하나로 묶기밖에 안 했고,

1학년이라는 하나의 묶음 내부에서도

1학년들 나름대로 순서대로 배열될테니

이 1학년 3명을 또 묶음의 내부에서 배열해줘야한다.

배열할 사람이 3명이니, 배열하는 경우의 수는 3! = 3×2×1 = 6 이다.

 

마무리로 '곱의법칙' 적용해서 계산해주면

120 × 6 = 720

따라서 답은 720

 

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- 4 : 자리에 대한 조건 -

쎈 고등수학(하) 2021년 / 917번 문제

 

남학생 3명, 여학생 4명이 있는데

이 7명의 학생이 '일렬로 서있다'고 한다.

따라서 이것도 7명을 배열하는 방법의 수,

즉 '순열의 수' 문제임을 알 수 있다.

다만, 양 끝에는 여학생이 와야만 한다는 조건이 있다.

일단 상황을 이해하기 위해,

7명이 서 있을 자리를 표시해보자.

문제 조건을 보면,

양 끝에 여학생이 와야한다.

그럼 하라는대로, 우선 여학생을 양 끝에 배열시키면 된다.

근데, 양쪽 끝에 어떤 여학생이 올지는 아직 정해주지 않았다.

맨 앞에 갈 여학생과, 맨 뒤에 갈 여학생을 뽑아야한다.

즉, 여학생 4명 중 2명을 뽑아서

맨앞자리와 맨뒷자리에 배열해야한다.

이것도 나름대로의 순열의 상황인 것이다.

4명 중 2명 뽑아서 배열하는 경우의 수는,

₄P₂ = 4×3 = 12

아직 5명을 배열하지 않았고,

문제에서 시키는 대로 여학생 2명을 양 끝에 보냈으니

이젠 조건없이 그냥 5명 배열해주면 된다.

5명 배열하는 경우의 수는, 5! = 5×4×3×2×1 = 120

 

이제 마무리 계산만 하면 된다.

여학생 두 명을 뽑아서 양 끝에 배열시키는 경우의 수 = 12

나머지 5명을 배열시키는 경우의 수 = 120

이 과정이 '7명을 모두 배열한다' 라는 시행 안에서 둘다 일어나므로,

이 둘은 곱의법칙을 적용해서 계산한다.

 

따라서, 최종적인 답은 12×120 = 1440

따라서 답은 1440

 

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- 5 : '적어도'의 조건 -

 

이것도 문제에서 하라는대로,

적어도 한쪽 끝엔 모음이 오도록만 나열하면 된다.

일단 자음과 모음부터 구별할 필요가 있어보인다.

따라서 모음은 2개, 자음은 4개이다.

 

모음 2개, 자음 4개를 일렬로 나열하는데,

'적어도' 한쪽 끝엔 모음이 오도록 나열해야한다.

일단 양끝에 자음이 오느냐 모음이 오느냐를 먼저 해결할것이다.

그것만 해결하고 나면, 나머지는 아무렇게나 배열하면 되기때문이다.

 

근데 이건 경우의 수를 세기 조금 곤란한 게,

양쪽 끝에 모음이 오라는것도 아니고

맨 뒤에 모음이 오라는것도 아니고

적어도 한쪽 끝엔 모음이 오게 하라 라고 한다.

이러면, 양쪽 끝이 모음인지, 한쪽 끝만 모음인지

한쪽 끝만 모음이라면, 왼쪽이 모음인지, 오른쪽이 모음인지

생각할게 좀 많아보인다.

그래서 양쪽 끝에 모음, 자음이 어떤식으로 올 수 있는지

일단 전체적으로 경우를 전부 나눠보겠다.

이렇게 4가지 경우가 있으며,

빨간색 체크표시 한것의 경우의 수를 세면 된다.

 

근데 세라면 셀 수 있겠지만, 좀 귀찮다.

경우의 수만 3번 구해야 하기 때문이다.

그리고, '문자들을 나열한다'는 '1회의 시행' 에서

저기 적힌 사건들은 동시에 일어나는 게 불가능하다.

왼쪽이 모음이면서 왼쪽이 자음인건 불가능하기 때문이다.

따라서, 저것들의 경우의 수를 각각 구한 뒤

'합의법칙'을 이용해서 각각의 경우의 수를 더해주면

최종적인 답이 된다.

 

왜 이런 귀찮은 일이 생겼느냐?

이게 다 '적어도' 라는 표현 때문이다.

적어도 하나는 모음이 되어야 하니까,

왼쪽만 모음일수도 있고,

오른쪽만 모음일수도 있고,

둘다 모음일수도 있으니

이걸 전부 구해야 하는것이다.

 

가능은 하지만 꽤 귀찮은 일이다.

그래서 여기선 센스가 필요한데, 어떻게 할거냐면

어차피 전체 경우의 수는 저 4가지에서 벗어날수가 없으므로,

위의 3가지를 다 구하지 말고,

전체 경우의 수에서

맨 아래의 경우의 수만 빼주면

남는게 바로 우리가 구하고자 하는 경우의 수이니

이렇게 구하는게 계산이 편할것이다.

 

그래서, 우리는 이제 경우의 수를 두번만 구하면 풀 수 있다.

1. 전체 경우의 수

2. 양쪽 끝에 자음이 오는 경우의 수

이 둘을 빼주면 된다.

 

전체 경우의 수 : 그냥 6개 아무렇게나 배열

따라서 6! = 720

 

양쪽 끝에 자음이 오는 경우의 수 : 우리가 하던대로

양쪽 끝에 자음을 일단 넣고본다.

자음 4개중 2개를 골라서 양쪽 끝(2자리)에 배열할거니까

양쪽 끝에 자음을 배열하는 경우의 수는 4×3 = 12

그리고 나머지를 배열하는 경우의 수는

4개 남았으니 4! = 24

따라서, 양쪽 끝에 자음이 오는 경우의 수는

12×24 = 288

 

우리가 구하고자 하는 최종적인 답은

720 이라는 전체 경우의 수에서

288 이라는 양쪽 끝에 모두 자음이 오는 경우의 수를

빼서 구해야하니까

최종적인 경우의 수는 720-288 = 432

 

따라서 답은 432

 

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- 6 : 점검 및 연습 -

 

상황이 꽤 복잡해서 만만치 않은 문제이다.

쎈 B단계의 상 난이도 문제를 조금 더 어렵게 변형한 문제이다.

 

a와 b가 이웃하거나, d와 e가 이웃하지 않게 나열하라는건

 

(1) a와 b가 이웃하고, d와 e가 이웃한 경우

(2) a와 b가 이웃하고, d와 e가 이웃하지 않은 경우

(3) a와 b가 이웃하지 않고, d와 e가 이웃한 경우

(4) a와 b가 이웃하지 않고, d와 e가 이웃하지 않은 경우

여기서 (1) 또는 (2) 또는 (4) 의 경우이다.

 

우리가 구해야할건 (1) 또는 (2) 또는 (4) 인 경우 이며,

달리 말하면, (3)이 아닌 경우 이다.

따라서, 이 문제 역시

'적어도' 라는 표현이 있는 문제와 사실상 똑같은 문제가 된다.

 

따라서, 전체 경우의 수에서 (3) 의 경우의 수를 빼주면 된다.

 

전체 경우의 수 : 그냥 6개 나열

따라서 전체 경우의 수는 6! = 720

 

 

- (3) 의 경우의 수 -

 

a와 b는 이웃하지 않게 해야하고,

d와 e는 이웃하게 해야한다.

 

d와 e가 이웃하게 하는건 쉬운데,

a와 b가 이웃하지 않게 하는게 만만치 않다.

왜냐면, a와 b가 이웃하지 않는다 하면

이것 나름대로 경우의 수를 꽤나 많이 나눠야한다.

해보면 알것이다.

그래서 이것도 번거로운 계산을 줄이기 위한 센스가 필요하다.

a와 b는 이웃하거나, 이웃하지 않거나 둘중 하나이다.

그런데 a와 b가 이웃하는 경우의 수는 구하기 쉽다.

 

따라서

d와 e가 이웃하는 경우의 수에서,

이때의 경우의 수를 빼는 방향으로 갈것이다.

따라서 (3)의 경우의 수를 구한다면

d와 e가 이웃하는 경우의 수 에서

d와 e가 이웃하면서, a와 b도 이웃하는 경우의 수

를 빼주면 된다.

이러면 d와 e는 이웃하지만 a와 b는 이웃하지 않는 경우만 남으면서

우리가 구하고자 하는 (3)의 경우의 수가 나올것이다.

 

 

d와 e가 이웃하는 경우의 수는

(d+e)를 하나로 묶어놓고 5개를 배열하면 되니

5! × 2 = 240 이다.

(식 작성과정 생략, 이해안되면 2번이나 3번문제 참고바람)

 

d와 e가 이웃하면서, a와 b도 이웃하는 경우의 수는

(d+e) 를 하나로 묶고, (a+b) 를 또 하나로 묶는다.

그럼 4개를 배열하는 상황이 된다.

4개를 배열하는 경우의 수는 4! = 24

이제 마무리로, (d+e)와 (a+b)가 어떤 순서로 묶였는지 모르니

이 묶음 내부에서도 나름대로 배열해줘야하고

(d+e) 내부에서 d와 e를 배열하는 경우의수는 2

(a+b) 내부에서 a와 b를 배열하는 경우의수도 2

따라서, 결론내자면

d와 e가 이웃하면서, a와 b도 아웃하는 경우의 수는

24×2×2 = 96 이다.

 

우리가 원하는건 d와 e가 이웃하는 경우의수에서 이걸 뺀거다.

따라서, (3)의 경우의 수는

240 - 96 = 144

 

 

이제 진짜 마무리 계산

( 전체 경우의 수 ) - ( (3)의 경우의 수 )

=

720 - 144 = 576

 

따라서 답은 576

 

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- 7 : 자연수의 개수 -

 

6번 문제에 비하면 쉬운 편이지만, 문제로 자주 등장는 소재이므로

나름 중요하다 생각하여 넣었다.

 

자연수가 짝수가 될 조건 : 2로 나누어떨어진다.

2로 나누어떨어진다 = 일의 자리 수가 짝수이다

 

따라서, 이 문제는 쉽게 말하자면

0, 1, 2, 3, 4 라는 5개의 숫자중 3개를 뽑아서 배열하되,

일의 자리 수에 짝수가 오도록 배열하시오.

라는 뜻이다.

4번 문제와 사실상 똑같은 소재였던 것이다.

 

0, 1, 2, 3, 4 중에 하나 뽑아서 일의 자리에 넣은다음,

나머지는 아무렇게나 배열하면 된다.

조심할건, 3개의 숫자를 이용해서 세 자리 숫자를 만들어야 하므로

맨 앞자리에 0이 올 수는 없다는것

 

 

일단 일의 자리에 짝수를 넣어야 하니까,

0, 1, 2, 3, 4 중 뭐가 짝수인지부터 봐야할것이다.

0, 2, 4가 짝수이다.

( 0도 짝수이다. 0÷2 = 0(정수) 이기 때문이다. )

따라서 0, 2, 4 중 하나를 뽑아서 일의자리로 보낼건데,

여기서 약간의 문제가 발생한다.

0을 일의 자리로 보내는 경우와

2나 4를 일의 자리로 보내는 경우는 조금 다르다.

 

왜냐면, 0을 일의 자리로 보냈다 치면

나머지 십의자리와 백의자리를 그냥 아무 숫자나 뽑아서 배열해도 되지만,

2나 4를 일의 자리로 보냈다면

나머지 두개의 자리에 배열할 때, 백의자리에 0이 오는 경우는 제외해줘야한다.

 

따라서 이것도 한번에 계산하기 곤란하니

경우를 나눠서 생각해야한다.

합의 법칙으로 계산하는 이유는,

일의 자리에 0이 온다는 사건과

일의 자리에 2나 4가 온다는 사건은

'세자리 숫자를 만든다'는 '1회의 시행' 에서

절대로 동시에 일어날 수 없기 때문이다.

 

 

일의 자리에 0이 오는 경우의 수는

그냥 일의자리에 0을 고정시켜놓고

남은 숫자 4개중 2개 뽑아서 아무렇게나 배열하면 되니

이 때 경우의 수는 ₄P₂ = 4×3 = 12

 

일의 자리에 2나 4가 오는 경우의 수는

일의자리에 2 또는 4가 올수 있으니

일의 자리에 숫자를 배열하는 경우의 수는 '2'

그다음엔 십의자리와 백의자리에 배열해야 하는데

백의자리만 '0이 올수없다' 라는 조건이 달려있으니

조건이 달려있는 백의자리를 먼저 처리할것이다.

백의 자리에 올 수 있는 숫자는

0, 1, 2, 3, 4 중에서

0은 안되고, 2와 4중 하나는 일의 자리에 보내는 데 썼으니

총 3개가 백의 자리에 갈 수 있다.

따라서 백의 자리에 숫자를 배열하는 경우의 수는 '3'이다.

이제 십의 자리만 배열하면 끝

십의 자리에 올 수 있는 숫자는

0, 1, 2, 3, 4 중에서

두 개를 썼으니, 3개 남았다.

따라서 십의 자리에 숫자를 배열하는 경우의 수는 '3'이다.

 

따라서, 일의 자리에 2나 4가 오는 경우의 수는

2×3×3 = 18

 

따라서, 종합하면

( 일의 자리에 0이 오는 경우의 수 )

+

( 일의 자리에 2나 4가 오는 경우의 수 )

=

12 + 18 = 30

 

따라서 답은 30